Bài giang về hình học vecter trong không gian

+Chương 2: Đường bậc haiXét trong mặt phẳng +Chương 3: Mặt bậc hai Xét trong không gian Chương 1: Nhắc lại các khái niệm về vectơ, các phép toán liên quan đến vectơ một cách tổng quát và

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 3

CHƯƠNG 1 :NHẮC LẠI KIẾN THỨC VỀ ĐẠI SỐ VECTƠ 4

BÀI 2:CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VECTƠ 6

BÀI 3: VECTƠ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 8

BÀI 4: CHIẾU VECTƠ 10

BÀI 5: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 12

BÀI 6: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 13

BÀI 7: TÍCH HỖN TẠP CỦA BA VECTƠ 16

BÀI 8: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ 18

CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG BẬC HAI 23

BÀI 9: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MẶT VÀ ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN 24

BÀI 10: PHÉP BIẾN ĐỔI HỆ TỌA ĐỘ 27

BÀI 11: KHÁI NIỆM ĐƯỜNG BẬC HAI 32

VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN 32

BÀI 12: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG BẬC HAI 39

BÀI 13: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN TÂM ĐƯỜNG BẬC HAI: 48

BÀI 14: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG BẬC HAI 54

BÀI 15: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG KÍNH LIÊN HỢP ĐƯỜNG BẬC HAI 58

BÀI 16: PHÂN LOẠI CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI 61

BÀI 17: CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHÂN LOẠI ĐƯỜNG BẬC HAI 66

CHƯƠNG 3: MẶT BẬC HAI 74

BÀI 18: MẶT BẬC HAI VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN 75

BÀI 19: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI………79

BÀI 20: MẶT KẺ 80

BÀI 21: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN MẶT KẺ BẬC HAI 83

PHỤ LỤC 96

LỜI NÓI ĐẦU

Cuốn tiểu luận được biên soạn theo chương trình Hình học giải tích trong chương trình giảng dạy ở trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.Cuốn tiểu luận được chia làm ba chương lớn:

+Chương 1: Nhắc lại kiến thức về vectơ

+Chương 2: Đường bậc hai(Xét trong mặt phẳng)

+Chương 3: Mặt bậc hai (Xét trong không gian)

Chương 1: Nhắc lại các khái niệm về vectơ, các phép toán liên quan đến vectơ một cách tổng quát và cụ thể nhất để làm nền tảng lý thuyết và ứng dung cho các chương sau Chương này chủ yếu là lý thuyết song sau mỗi định lý quan trọng chúng tôi đều đưa ra các ví dụ cụ thể để thấy rõ ứng dụng và khắc sâu kiến thức

Chương 2:Mở rộng về đường bậc hai mà ta chỉ xét trong mặt phẳng Oxy.Các khái niệm, định nghĩa tưởng chừng rất quen thuộc từ thời phổ thông như tiếp tuyến, tiệm cận, tâm hay đường kính đều được nói đến một cách tổng quát và có phần mới

mẻ, kĩ lưỡng hơn.Để người đọc nắm kĩ kiến thức, các bài tập được phân theo dạng và

có phương pháp cụ thể cho mỗi dạng sau đó là phần bài tập ứng dụng có lời giải

Chương 3:Đề cập tới khái niệm hoàn toàn mới mẻ:Mặt bậc hai.Tuy nhiên với nhiều nét có phần giống với kiến thức phần bậc hai nên ở phần này chúng tôi đi sâu vào khái niệm mặt kẻ và đường sinh.Để mô phỏng rõ tính chất hình học, mỗi loại mặt bậc hai đều có hình vẽ minh họa trực quan sinh động dễ hiểu

Xin cảm ơn tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh đã giúp đỡ tận tình chúng tôi trong quá trình thực hiện tiểu luận này Xin cảm ơn các tác giả những tài liệu tham khảo mà chúng tôi đã sử dụng Trong quá trình thực hiện tiểu luận còn có một vài sai sót, xin bạn đọc thông cảm Mọi thắc mắc và góp ý xin liên hệ email

Xin trân trọng cảm ơn quý bạn đọc

B(ngọn)

BÀI 1: KHÁI NIỆM VECTƠ

I/ Định nghĩa:

Một đoạn thẳng trên đó có quy định thứ tự 2 đầu (có hướng) được gọi là 1 Vectơ.

Đường thẳng đi qua 2 đầu mút gọi là giá của vectơ

Độ dài đoạn thẳng nối 2 đầu mút gọi là Môđun của

vectơ ( như vậy môđun là 1 số không âm)

Môđun của a kí hiệu là a

+ Vectơ đơn vị : Vectơ có môđun bằng 1

+ Vectơ “không” ( 0): là vectơ 2 đầu mút trùng nhau Có môđun bằng 0 và chiều tùy

chọn

+ 2 Vectơ cộng tuyến (cùng phương): là 2 vectơ có 2 giá là 2 đường thẳng trùng

nhau hoặc song song 2 vectơ cùng phương nếu cùng chiều thì gọi là 2 vectơ cùng hướng, nếungược chiều thì gọi là 2 vectơ ngược hướng

+ 2 Vectơ bằng nhau: nếu cùng hướng và môđun bằng nhau

Trên hình: a= b, a và b ngược hướng với c

Ta thấy rằng, các vectơ bằng nhau chỉ khác nhau ở vị trí gốc Nếu đem chúng lạichung gốc thì chúng “trùng nhau” Trong nhiều trường hợp ta chỉ chú đến phương, chiều vàmôđun của vectơ mà không quan tâm đến vị trí gốc

Từ đó đưa đến khái niệm vectơ tự do : là vectơ mà gốc có thể đặt tùy trong không

gian

Thường dùng chữ nhỏ thường với mũi tên trên đầu để gọi tên cho vectơ

tự do

Trên hình: a= b, a và b ngược hướng với c

Vectơ có gốc xác định, ví dụ vectơ AB gọi là vectơ buộc

4 Buộc vectơ tự do ở điểm A

Trên hình: Cộng nhiều vectơ

BÀI 2:CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VECTƠ

Hoặc có thể dùng quy tắc hình bình hành: buộc

2 vectơ a và bvào chung điểm O, a = OA , b= OB , khi

đó c được xác định là vectơ đường chéo hình bình hành

có 2 cạnh là OA, OB , với gốc là O : c= OC (Quy tắc

này phù hợp với quy tắc tổng hợp 2 lực trong Vật Lí )

p qa  pq a (3)

p a b pa pb  (4)(p q a )pa qa  (5)

+ Cộng với phần tử đối Đầu tiên ta định nghĩa “Hai vectơ đối nhau” : là 2 vectơ cùng

phương, ngược chiều, môđun bằng nhau Ví dụ: AB và BA đối nhau Ta ghi : AB = - BA

Dựa vào Bất đẳng thức tam giác, ta có thể suy ra

4/ Nhân một vecto với một số:

BÀI 3: VECTƠ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ

2/ Các vectơ phụ thuộc tuyến tính:

Hệ vectơ a a a  1, , ,2 3 an gọi là không độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính khi:

0

i

k

  sao cho k a1 1 k a2 2 k a3 3 k a n n 0

II/ Định lý về điều kiện để các vectơ phụ thuộc tuyến tính:

Các vectơ a a a  1, , ,2 3 an (n>1) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một trong các vectơ ấy là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.

+ Trong mặt phẳng cho trước 2 vectơ bất kỳ e e 1, 2độc lập tuyến tính, mọi vectơ akhác

của mặt phẳng đề được phân tích duy nhất theo e e 1, 2:

 Hãy chứng minh ví dụ trên ?

( Hãy áp dụng định lý điều kiện để các vectơ phụ thuộc tuyến tính cho 2 vectơ a a 1, 2)

Ta cần chứng minh: Hai vectơ a a 1, 2 phụ thuộc tuyến tính Chúng cùng phương Thật vậy.

o Ta chứng minh điều kiện cần:

Giả sử a a 1, 2 phụ thuộc tuyến tính, theo điều kiện phụ thuộc tuyến tính ta có a1ka2hoặc a2 la1 Vậy a a 1, 2cùng phương.

o Ta chứng minh điều kiện đủ:

Giả sử a a 1, 2 cùng phương  k 0 :a1 ka2  a1 ka2 0

Vậy ta có a a 1, 2phụ thuộc tuyến tính.

Vd2: Trong không gian, 3 vectơ bất kỳ không đồng phẳng thì độc lập tuyến tính 3vectơ đồng phẳng thì phụ thuộc tuyến tính

BÀI 4: CHIẾU VECTƠ

Các điểm A’,B’ gọi là các điểm chiếu của các điểm A,B trên  theo phương P Ta có' '

A B



= p e

Ta gọi p là chiếu của vectơ AB trên  theo phương P Nếu ' 'A B cùng phương với

e thì p >0 và nếu ' 'A B không cùng phương với e thì p<0

BÀI 5: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

I/ Định nghĩa:

Ta gọi tích vô hướng của 2 vectơ là một số bằng tích của mođun của 2 vectơ với

cosin của góc giữa 2 vectơ ấy Ký hiệu tích vô hướng của 2 vectơ ,a b là a b và góc giữa haivectơ ,a b là  thì:

a b = cos a b  Chú ý: Tích vô hướng của vectơ là một số chứ không phải là một vectơ

 Hệ quả: Từ định nghĩa của tích vô hướng ta có ngay:

+ Bình phương vô hướng của vectơ bằng bình phương vô hướng của nó

+Hai vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0

.( ) ( ) .( )

p a b  p a b a p b  3/ Tính chất 3: (Tính phân phối)

a b c  a b a c 

BÀI 6: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

I/Định nghĩa:

Tam diện tạo bởi ba vectơ OA , OB , OC không đồng phẳng lấy theo thứ tự ấy gọi là

thuận (nghịch) nếu một người dứng dọc theo vectơ thứ ba OC , hướng của vectơ là hướng từ

chân tới đầu, thấy hướng quay từ vectơ thứ nhất OA , đến vectơ thứ hai OB ,theo góc nhỏ nhất

là ngược hướng quay kim đồng hồ

Người ta gọi tích có hướng của hai vectơ a và blà một vectơ cthỏa mãn những điềukiên sau:

1/ c a và c b;

2/ c = a b sin( ) ,ở đây  là góc giữa hai vectơ a và b

3/ Tam diện tạo bởi ba vectơ a,b, clà thuận

Thường người ta kí hiệu tích có hướng của hai vectơ a và blà a  b

Chú ý: tích có hướng của hai vectơ là một vectơ

Hệ quả 1: Trong không gian, hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi tích có hướng của

chúng bằng không

Hệ quả 2: môđun của tích có hướng của hai vectơ bằng diện tích hình bình hành tạo

bởi hai vectơ ấy

Bây giờ giả sử a và bkhông cùng phương Môđun của hai vectơ a  bvàb a bằng nhau

vì cùng bằng diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ a và b Hai vectơ a  bvàb a

cùng phương vì cùng vuông góc với vectơ a và b Cuối cùng, hai vectơ a  bvàb a

ngược hướng vì các tam diện tạo bởi ba vectơ a,b, a  bvàb,a , b ađiều là thuận (do

đó tam diện tạo bởi ba vectơ a,bvà b a là nghịch)

Chứng minh:

Ta chỉ cần chứng minh đẳng thức đầu Nếu a và bcùng phương thì đẳng thức trên rõràng là đúng Bây giờ giả sử a và bkhông cùng phương Gọi  là góc giữa hai vectơ a và

b Nếu p>0 thì pa cùng phương với a Do dó pa  blà một vectơ cùng phương với a 

b, tức là cùng phương với p(a  b) Ngoài ra,

theo hướng quay kim đồng hồ nếu nhìn từ góc nhọn của vectơ v xuống

Giả sử v0, Mỗi vectơ uđiều phân tích được thành tổng của hai vectơ 'u

va "u Trong đó'

u vuông góc với v còn "u cùng phương với v Gọi  là góc giữa hai vectơ u và v Ta có: ' sin( )

a b   a b  a b

Theo nhận xét 2 ta chỉ cần chứng minh đẳng thức(a b  ) c(a c ) ( b c  )

Gọi elà vectơ đơn vị cùng hướng với c, nghĩa là e= 1 c

Theo nhận xét 1 thì muốn nhân có hướng một vectơ với một vectơ đơn vị vuông góc

vói nó, người ta quay vectơ thú nhất một góc

2

 Nhưng khi quay các vectơ 'a và 'b xung

quanh e một góc

2

 thì đường chéo của hình bình hành tao nên từ các vectơ 'a và 'b và

cũng quay xung quanh emột góc

2

 Vậy đẵng thức đã được chứng minh

Cuối cùng ta có:

( 'a b') c( 'a  c) ( ' b  c)

Tính chất 3 đã được chứng minh

BÀI 7: TÍCH HỖN TẠP CỦA BA VECTƠ

I/Định nghĩa:

Cho ba vectơ a,b, c Nhân có hướng hai vectơ a,bta được vectơ a  b, rồi nhân

vô hướng vectơ ấy với c ta được số c a  b, gọi là tích hỗn tạp của ba vectơ a,b, c Kíhiệu tích hỗn tạp của ba vectơ là ( , , )a b c   Vậy

( , , )a b c   = c a  b

Chú ý: tích hỗn tạp của ba vectơ là một số

II/ Ý nghĩa hình học của tích hỗn tạp của ba vectơ:

Cho ba vectơ không đồng phẳng a,b, c Ta có

( , , )a b c   = c( a  b)

Nếu các vectơ a,b, c tạo nên một tam diên thuận thì góc giữa vectơ c và vectơ a 

b là góc nhọn và là một số dương bằng đướng cao h của hình hộp dựng trên các vectơ a,

b, c Ta đã biết a b  = S , ở đây S là diện tích đáy hình hộp ấy Như vậy ( , , )a b c   = c a

ấy tạo nên một tam diên thuận, âm nếu ba vectơ ấy tạo nên một tam diện nghịch

Chú ý: nếu ba vectơ a,b, c ấy tạo nên một tam diện thuận ( nghịch ) thì ba vectơ b,

III/ Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:

1/ Định li 8: Điều kiện cần và đủ để ba vectơ đồng phẳng là tích hỗn tạp của chúngbăng không

Chưng minh:

Cần: Cho ba vectơ a,b, cđồng phẳng nếu a và bcùng phương thì a  b= 0, do đó a

 b c = 0 Nếua và b không cùng phương thì a  b a và a  b b ta suy ra

Từ định lí và định lí 8 ta suy ra:

Hệ Quả : Điều kiên cần và đủ để ba vectơ phụ thuộc tuyến tính là tích hỗn tạp củachúng bằng không

BÀI 8: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ

I/ Hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc:

Để xác định vị trí của một điểm trong mặt phẳng hoặc trong không gian người tathường dùng hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc

1)Trong mặt phẳng:

Hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc gồm hai đường thẳng vuông góc x’Ox và y’Oy, trên đó

chọn hai vectơ đơn vị e v e 1 à  2

Hai đường thẳng ấy được gọi là hai trục tọa độ

 x’Ox :là trục hoành

 y’Oy: là trục tung

 e e 1, 2: là các vectơ cơ sở

 Điểm O là gốc tọa độ

2)Trong không gian :

Ba đường thẳng x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc vơi nhau từng đôi một trên đó chọn ba

vectơ đơn vị e e e  1, ,2 3 Ba đường thẳng ấy được gọi là ba trục tọa độ:trục hoành, trục tung vàtrục cao

các số x, y, z gọi là tọa độ của điểm M Kí hiệu: M(x,y,z)

III/Tọa độ của vectơ:

1/Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ tự do a Ta có:

a xe 1ye2



các số x, y được gọi là tọa độ của vectơ tự do a trong mặt phẳng Oxy

Nếu ta có hai điểm A x y v A x y Khi đó ta có:1( , ) à ( , )1 1 2 2 2

= (x2 x y1, 2 y1) là tọa độ của vectơ buộc

Tổng , hiệu của hai vecto tự do.Cho hai vectơ: a(x y ), b1, 1 (x y )2, 2

=> a b  =(x1x y2, 1y2)

a b  = (x2 x y1, 2 y1)

Tích của một vectơ với một số

Trong mặt phẳng Oxy cho vecto a=(x,y)]thì

thì x, y, z gọi là tọa độ của vectơ tự do a trong Oxyz

Nếu có điểm A x y z v1( , , ) à A ( , , )1 1 1 2 x y z và Tương tự ta cũng có vectơ buộc2 2 2

IV/Biểu thức tích vô hướng của hai vectơ theo tọa độ của chúng:

Trong mặt phẳng Oxy cho a(a a ) và b1, 2 (b b ) ta có:1, 2

V/ Toạ độ tích có hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a a a a v b b b b( , , ) à ( , , )1 2 3  1 2 3

VD2:mCho vecto (0,1,1) à (1, 2,3) a v b Tính diện tích hình bình hành dựng trên hai vecto đó

và đường cao ứng với cạnh đáy a

Giải: Gọi S là diện tích của hình bình hành Ta có:

a

S

h

a

   (vớih là đường co của hình bình hành ứng với cạnh đáy a a )

VI/ Biểu thức của tích hỗn tạp của ba vectơ theo tọa độ của chúng:

HỆ QUẢ: Điều kiện cần và đủ để ba vectơ: , ,a b c   đồng phẳng là:

BÀI 9: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MẶT VÀ ĐƯỜNG

TRONG KHÔNG GIAN

I/Phương trình của mặt:

1/ Định nghĩa:

 Mọi mặt trong không gian có thể coi như quỹ tích những điểm thỏa mãn một điều kiệnnào đó, thể hiện bằng một đẳng thức Ví dụ mặt cầu tâm I bán kính R là quỹ tích những điểmtrong không gian cách I bằng một khoảng R

Giả sử S là một mặt nào đó trong không gian Oxy Khi điểm M x y z chạy trên mặt( , , )thì các tọa độ x y z, , của nó thay đổi nhưng liên hệ với nhau bởi một hệ thức ( , , ) 0F x y z 

nào đó, đặc trưng cho mọi điểm của mặt S nếu điểm M x y z nằm trên mặt S thì tọa độ của( , , )

nó thỏa mẵn phương trình ( , , ) 0F x y z  nếu điểm ( , , ) M x y z không nằm trên mặt S thì tọa

độ của nó không thảa mãn phương trình ( , , ) 0F x y z 

Từ đó ta có IM2 R2 hay IM R, nghĩa là M nằm trên mặt cầu ( , ).I R

Vậy phương trình mặt cầu ( , )I R là: (x a )2(y b )2(z c )2 R2

3/ Ví dụ 2:

Lập phương trình tham số của mặt cầu đơn vị (mặt cầu có bán kính bằng đơn vị, tâm

O ), trong không gian Oxyz

'cos sin cos

sin sin sin

sin cossin sincos

 Mọi đường trong không gian đều có thể xem như giao tuyến của hai mặt

Vì vậy trong không gian Oxyz , phương trình của đường có dạng:

1

2

( , , ) 0( , , ) 0

4/ Ví dụ 3: trong không gian Oxyz , lập phương trình của đường tròn tâm O, bán kính R và nằm trong mặt phẳng Oxy

BÀI 10: PHÉP BIẾN ĐỔI HỆ TỌA ĐỘ

I/ Phép biến đổi trong mặt phẳng:

Trong mặt phẳng cho hai trục tọa độ Đêcac vuông góc Oxy và ' ' ' O x y giả sử điểm M có

tọa độ (x,y) ứng với hệ Oxy và có tọa độ (x’,y’) ứng với hệ O’x’y’ (h.31) ta cần tìm sự liên hệ

giữa x, y và x’ ,y’

Tương tự trong không gian cho hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz và O’x’y’z’ và mộtđiểm M giả sử điểm M có tọa độ (x,y,z) tương ứng với hệ Oxyz và có tọa độ (x’,y’,z’) tươngứng với hệ O’x’y’z’

1/Phép tịnh tiến trên mặt phẳng:

Cho hai hệ trục vuông góc Oxy và hệ Oxy là ảnh của phép tịnh tiến xác định bởi (h.33).giả sử với Oxy thì OO’ = {a, b} xét tùy ý trong mặt phẳng điểm M có tọa độ (x,y) với (x’,y’)ứng với hệ Oxy và O’x’y’và OM = OO’ + O’M

 O’M = OM – OO’ Ta suy ra:

' '

Trong mặt phẳng ho hai trục tọa độ Đêcac vuông góc Oxy và O’x’y’, trong đó hệ Ox’y’ làảnh của hệ Oxy trong phép quay tâm O, góc u giả sử một điểm M tùy ý trong mặt phẳng cótọa độ (x,y) và (x’,y’) ứng với hệ Oxy và Ox’y’

Trước hết ta tìm tọa độ ác véctỏ cơ sở e1 và e2 hệ Ox’y’ với hệ Oxy

Ta có thể biểu diễn x’, y’ theo x, y bằng cách đổi chỗ x, y cho x’, y’ và thay u bởi –u trogcông thức trên.ta được:

' '

Trong mặt phẳng ho hai trục tọa độ Đêcac vuông góc Oxy và O’x’y’, biết điểm O’ có tọa

độ (a,b) ứng với hệ Oxy và góc (e1,e1’) = u (h.35)

Giả sử một điểm M tùy ý trong mặt phẳng có tọa độ (x,y) và (x’,y’) ứng với hệ Oxy vàOx’y’ ta cần tìm sự liên hệ giữa x,y và x’, y’

Trước hết dựng tọa độ Đêcac vuông góc O’x”y”, ảnh của hệ Oxy trong phép tịnh tiến theoOO’ Giả sử ứng với hệ O’x”y”, điểm M có tọa độ (x”,y”) theo 69 ta có:

'' ''

Như vậy:

e1 = cosu1e1 + cosv1e2 _+ cosw1e3

e2= cosu2e1 + cosv2e2 _+ cosw2e3

e3 = cosu3e1 + cosv3e2 _+ cosw3e3

Xét một điểm M tùy ý trong không gian có tọa độ (x,y,z) và (x’,y’,a’) ứng với hệOxyz và hệ O’x’y’z’

OM = x’e1 + y’e2 + z’e3 = i1(x’cosu1 + y’cosu2 + z’cosu3) + i2(x’cosv1 + y’cosv2 +z’cosv3) + i3(x’cosw1 + y’cosw2 + z’cosw3)

Ta suy ra:

x = x’cosu1 + y’cosu2 + z’cosu3

y = x’cosv1 + y’cosv2 + z’cosv3

z = x’cosw1 + y’cosw2 + z’cosw3

Ta có thể viết bảng trên thành

Từ đó ta có thể biểu diễn x’, y’, z’ theo x,y,z và thay thế các góc trong bảng (1)bởi các góc chung vị trí trong bảng

x’ = xcosu1 + ycosv1 + zcosw1

y’ = xcosu2 + ycosv2 + zcosw2

z’ = xcosu3 + ycosv3 + zcosw3

Chú ý: 1) vì e1 = {cosu1, cosv1, cosw1} Theo 46 ta có

cos 2 u1+ cos 2 u2+ cos 2u3 = 1

tương tự ta có

2) vì eiej = 0 (I, j = 1, 2, 2) nên từ 44 ta suy ra

cosu1cosu2 + cosv1cosv2 + cosw1cosw2 = 0

cosu2cosu3 + cosv2cosv3 + cosw2cosw3 = 0

cosu3cosu1 + cosv3cosv1 + cosw3cosw1 = 0

Như vậy giữa chín cosin của chns góc của bảng (1) tồn tại sáu hệ thức nên chỉ có bacosin độc lập với nhau

Với chin góc của bảng (1’) ta có sáu hệ thức tương tự sau đây:

cos 2 u1+ cos 2 u2+ cos 2u3 = 1

cos 2 v1+ cos 2 v2+ cos 2v3 = 1

cos 2 w1+ cos 2 w2+ cos 2w3 = 1

cosu1cosv1 + cosu2cosv2 + cosu3cosv3 = 0

cosv1cosw1 + cosv2cosw2 + cosv3cosw3 = 0

cosw1cosu1 + cosw2cosu2 + cosw3cosu3 = 0

3/Phép dời:

Trong không gian cho hai trục tọa độ Đecac vuông góc Oxyz và O’x’y’z’, biết điểm O’ cótọa độ (a, b, c) ứng với hệ Oxyz và các góc ui, vi, wi (i = 1, 2, 3) tạo bởi các vecto cơ dơ tạobởi bảng (I) giả sử một điểm M tùy ý trong không gian có tọa độ (x, y, z) và (x’, y’, z’) ứngvới hệ Oxyz và O’x’y’z’ (h.39)

Ứng dụng phương pháp tương tự như phép dời trong mặt phẳng, từ các công thức

75 và 77 ta suy ra:

x = a + x’cosu1 – y’sinu2 + z’cosu3

y = b + x’sinv1 + y’cosv2 + z’cosv3

z = c + x’sinw1 + y’cosw2 + z’cosw3

Ta có thể biểu diễn x’, y’, z’ theo x, y, z bằng cách sử dụng công thức (76), (78) Tađược

x’ = (x – a)cosu1 + (y – b)cosv1 + (z – c)cosw1

y’ = (x – a)cosu2 + (y – b)cosv2 + (z – c)cosw2

z’ = (x – a)cosu3 + (y – b)cosv3 + (z – c)cosw3

Ví dụ: Trong không gian vecto Oxyz cho ba điểm A(3, 2, 4), B(6, 8, -2), C(10, -2, -1),người ta dời hệ trục Oxyz đến vị trí Ax’y’z’ sao cho điểm B nằm trên trục hoành Ax’ và cóhoành độ x’ > 0, điểm C nằm trê mặt phẳng Ax’y’ và có tung độ y’ > 0 hãy lập công thứcbiến đổi tọa độ từ hệ Oxyz sang hệ Ax’y’z’

y= 2 + 2/3x’ – 2/3y – 1/3z’

z = 4 – 2/3x’ – 1/3y – 2/3z

BÀI 11: KHÁI NIỆM ĐƯỜNG BẬC HAI

VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN

I/ Định nghĩa đường bậc hai:

Hàm số F(x,y) có dạng :

( , ) 2 2 2 0

F x y ax  bxy  cy  dx  ey  f  ; ( , , ) (0,0,0)a b c 

gọi là hàm số bậc hai theo biến x,y

Đường bậc hai (C) trong mặt phẳng Oxy là tập hợp tất cả các điểm M(x,y) có tọa độ

thỏa phương trình: ( , ) 0F x y 

Ta nói ( , ) 0F x y  là phương trình của đường (C) hay đường (C) có phương trình là

( , ) 0

F x y  .

II/ Tâm đường bậc hai:

1/Tâm của đường bậc hai:

Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường bậc hai (C) có phương trình : F(x,y)= 0 I gọi là tâm bậc hai của (C) khi và chỉ khi trong hệ tọa độ Ix’y’, phương trình của (C) không có số hạng bậc một

2/Tìm tâm của đường bậc hai:

Gọi I (x0,y0) là tâm đường bậc hai thì phương trình F(x,y)= 0 không có số hạng bậc

b  c e : Hệ trên có vô số nghiệm

Vậy tâm của đường bậc hai có thể có một, có thể không có và có thể có vô số

Khi đường bậc hai chỉ có 1 tâm thì ta nói đó là đường bậc hai có tâm

III/ Tiếp tuyến đường bậc hai:

1/ Giao của 1 đường thẳng và 1 đường bậc hai:

Cho đường bậc hai (C) có phương trình:

Nhận xét: Số nghiệm phương trình (2) là số giao điểm của (C) và .

Ta sẽ tìm số giao điểm đó bằng cách biện luận phương trình (2) :

 Nếu P = 0; phương trình (2) trở thành: Qt + R = 0.

 Q0  t = R

Q

 :  (C) tại 1 điểm

 (2)> 0 :  (C) tại 2 điểm phân biệt

 (2)= 0 :  (C) tại 2 điểm trùng nhau

 (2)< 0 :  (C) tại 2 điểm ảo liên hợp.

2/ Tiếp tuyến đường bậc hai:

a/ Định nghĩa : Cho một đường bậc hai (C) Một đường thẳng  cắt (C) tại 2 điểm trùngnhau hoặc  nằm trên (C) được gọi là tiếp tuyến của đường bậc hai (C).

Khi đó, điểm chung của (C) và  được gọi là tiếp điểm

b/ Phương trình tiếp tuyến của một đường bậc hai:

Giả sử M (x0, yo) là tiếp điểm của đường bậc hai (C) và đường thẳng 

Ta sẽ đi lập phương trình tiếp tuyến  phương ( , )  đi qua điểm M (x0, yo) ;

Khi đó phương trình của đường thẳng  có dạng: 0

là tiếp tuyến của đường bậc hai (C) nếu cắt (C) tại 2 điểm trùng nhau

 phương trình (3) có 2 nghiệm trùng nhau

Suy ra :  là tiếp tuyến của đường bậc hai (C) nếu và chỉ nếu Q  0

 Với Elip (E):

Theo (6), phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0) thuộc (P) có dạng: yy0 p x x(  0) 0

IV/ Phương tiệm cận và đường tiệm cận:

Để tìm đường tiệm cận của đường bậc 2 (C) ta thực hiên trình tự sau:

1 Tìm tọa độ tâm I(x,y)

2 Kiểm tra tâm I có thuộc (C) hay không để khẳng định tiệm cận (I thuộc,suy ra không có tiệm cận,I không thuộc,suy ra có tiệm cận)

3 Tìm phương tiệm cận bẳng cách cho P=0

V/ Đường kính liên hợp:

Cho phương V = (α,β) ≠ (0,0) và không là phương tiệm cận của (C)

Xét bài toán : 1 đường thẳng thay đổi d phương V cắt (C) tại 2 điểm M1, M2 Tìm tập hợp trung điểm M0 của M1M2

Phương pháp chung khi tìm phương trình đường kính liên hợp với phương

BÀI 12: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG BẬC HAI

I/ Dạng 1: Xác định phương trình đường bậc hai khi cho biết các yếu tố về giao điểm với các đường thẳng:

Bài 12.1: Đường cong bậc hai đi qua các điểm (0, 0); (0,2); (2,4) và chỉ cắt mỗi đường thẳng : 3x – 2y +1 =0 và 2x +y – 5 =0 tại một điểm Lập phương trình đường cong.

(a – 4a + 12b +9c =0.b + 4a + 12b +9c =0.c )x 2 + (2d – 4a + 12b +9c =0.e +10b – 20c) + 25c + 10e = 0 (**)

(d 1 ) chỉ cắt (C) tại một điểm khi và chỉ khi phương trình (**) chỉ có một nghiệm.

a – 4a + 12b +9c =0.b + 4a + 12b +9c =0.c =0.

Mặt khác (C) đi qua các điểm (0, 2); (2, 4a + 12b +9c =0.) nên:

4a + 12b +9c =0.c + 4a + 12b +9c =0.e =0 và 4a + 12b +9c =0.a + 16b + 16c + 4a + 12b +9c =0.d + 8e = 0.

Tóm lại ta có hệ :

010

Vậy phương trình đường cong cần tìm : xy – y 2 +2y =0

Bài 12.2: Một đường cong bậc hai chỉ cắt mỗi trục tọa độ tại gốc tọa độ Ngoài ra biết nó đi qua 2 điểm (2, -1) và (-2, 2) Lập phương trình đường cong.

b d e

Vậy phương trình đường cong cần tìm là : xy + 4a + 12b +9c =0.x + 6y =0

Bài 12.3: Viết phương trình (C) đi qua 5 điểm (0,0), (0,2), (-1,0), (-2,1), (-1,3)

Giải

Phương trình tổng quát (C): ax 2 +2bxy+cy 2 +2dx+2ey+f=0

Vậy (C): 3x 2 +2xy+2y 2 +3x-4a + 12b +9c =0.y=0

II/ Dạng 2: Xác định phương trình đường bậc hai khi cho biết các yếu tố về tâm đường bậc hai:

Bài 12.4 : Đường cong bậc hai có tâm (0,-1), đi qua ( 3, 0) và chỉ cắt mỗi đường 2x – 3y + 1 = và x + y – 5 =0 tại một điểm Lập phương trình đường cong đó