2022 2023 đại số tuyến tính training ck k17

Các ví dụ minh họa cho cơ sở chính tắc và chiều của các không gian vectorNhư vậy: dim M2x2 = 4 ⇒ Tổng quát: Mmxn tương tự ; dim Mmxn = mxn III... Các ví dụ minh họa cho cơ sở chính tắc v

Nguyễn Thị Nguyệt Ánh

1

1) KHÔNG GIAN VECTOR CON

Chứng minh W có phải là không gian vector con của V không:

- Nếu θ ∉ W thì kết luận W không là không gian con của V

- Nếu θ ∈ W thì làm tiếp bước 2

Bước 2: Lấy x, y là 2 vector bất kỳ trong W, từ đó suy ra dạng của x, y (dựa vào

tính chất của W) Kiểm tra x + y và αx có thỏa tính chất của W không

- Nếu thỏa thì suy ra x + y ∈ W và αx ∈ W, kết luận W là không gian con của V

- Nếu không thỏa thì chỉ ra một trường hợp cụ thể và kết luận W không là không

gian con của V

I NHẮC LẠI

3

1) KHÔNG GIAN VECTOR CON

Bài tập: Trên ℝ5 cho tập hợp W = x1, x2, x3, x4, x5 2x1 + x2 − x3 + 2x4 + 4x5 = 0

Chứng minh W là không gian vector con của ℝ5

1) KHÔNG GIAN VECTOR CON

Bài tập: Trên ℝ5 cho tập hợp W = x1, x2, x3, x4, x5 2x1 + x2 − x3 + 2x4 + 4x5 = 0

Chứng minh W là không gian vector con của ℝ5

• Nếu r(A) = n = số vector ⇒ Hệ S độc

• Nếu det(A) = 0 ⇒ Hệ S phụ thuộctuyến tính

- Trường hợp các vector là đa thức,

ma trận, :Đưa về hệ phương trình tuyến tínhthuần nhất

• Hệ có nghiệm tầm thường ⇒ Hệđộc lập tuyến tính

• Hệ vô số nghiệm ⇒ Hệ phụ thuộctuyến tính

6

• V có thể có nhiều cơ sở khác nhau.

• Kgvt bé nhất V = {θ} không có cơ sở và có chiều bằng 0

- Nếu hệ S chỉ thỏa (**), người ta gọi S là hệ sinh của không gian V

II CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VECTOR

7

2) ĐỊNH LÝ

Ví dụ: Cho không gian con W của ℝ4 : W = (x1, x2, x3, x4) ∈ ℝ4 ቊ x1 − 2x2 − x4 = 0

2x1 − 3x2 − x3 = 0Hãy tìm hệ sinh, cơ sở và số chiều của W

h2=h2−2h1 1 −2 0

−12

⇒ r(A) = 2 < 4 (số ẩn) ⇒ (*) có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số

2) ĐỊNH LÝ

Ví dụ: Cho không gian con W của ℝ4 : W = (x1, x2, x3, x4) ∈ ℝ4 ቊ x1 − 2x2 − x4 = 0

2x1 − 3x2 − x3 = 0Hãy tìm hệ sinh, cơ sở và số chiều của W

Từ (1), (2) suy ra S là một cơ sở của W ⇒ dim W = 2

II CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VECTOR

10

Các ví dụ minh họa cho cơ sở chính tắc và chiều của các không gian vector

Như vậy: dim M2x2 = 4

⇒ Tổng quát: Mmxn tương tự ; dim Mmxn = mxn

III CƠ SỞ CHÍNH TẮC

11

Các ví dụ minh họa cho cơ sở chính tắc và chiều của các không gian vector

⇒ det(A) = -1 ≠ 0 ⇒ độc lập tuyến tính

Mà dim ℝ3 = 3 = số phần tử của hệVậy hệ trên là một cơ sở của ℝ3

13

IV TỌA ĐỘ CỦA VECTOR

−12

⇔ ቐ

x1 = −30

x2 = −19

x3 = 4Vậy tọa độ của x theo cơ sở 𝛼 là [x]𝛼

V MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ

Định nghĩa: Cho kgvt V có các cơ sở

(a) = {a1, a2, , an}(b) = {b1, b2, , bn}

⇔ [𝛼1]𝛽 = 11

−1 [𝛼2]𝛽 ⇔

2 1 0

⇔ [𝛼2]𝛽 = 21

−1 [𝛼3]𝛽 ⇔

3 4

⇔ [𝛽1](e)= 11

0,

Chương 4.

I TÍCH VÔ HƯỚNG

II ĐỘ DÀI VECTOR

III GÓC GIỮA 2 VECTOR

IV TRỰC GIAO – TRỰC CHUẨN

KHÔNG GIAN EUCLIDE

19

➢ Ví dụ : Trong không gian ℝ2, cho 2 vector u = 𝑥1, 𝑥2 , v = (𝑦1,𝑦2) và u,v = 𝑥1𝑦1

I TÍCH VÔ HƯỚNG

2

• Khai triển theo đa thức :

24

IV TRỰC GIAO – TRỰC CHUẨN

S được gọi là trực giao  𝑥𝑖 ⊥ 𝑥𝑗 , ∀ 𝑖 ≠ 𝑗

Cơ sở S là hệ trực giao gọi là cơ sở trực giao

𝒚𝒊,𝒚𝒊

Vậy cơ sở trực giao S’ = ሼ𝑦1, 𝑦2, … 𝑦𝑛}

25

CHƯƠNG 5.

I TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG

II CHÉO HÓA MA TRẬN

III CHÉO HÓA TRỰC GIAO

CHÉO HÓA MA TRẬN DẠNG TOÀN PHƯƠNG

27

→ v không là vector riêng

28

Cho A là ma trận vuông cấp n với hệ số phụ thuộc ℝ Số λ∈ ℝ được gọi là giá trị

riêng của A nếu tồn tại ma trận cột X =

≠ 0 được gọi là vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng λ

Định lý: λ là giá trị riêng của ma trận A  λ là nghiệm của phương trình:

det (A - λI) = 0

I TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG

29

Ví dụ: Tìm các giá trị riêng và các vector riêng của ma trận A trên tập số thực ℝ

Ví dụ: Tìm các giá trị riêng và các vector riêng của ma trận A trên tập số thực ℝ

→ −1 03 0 −31

1 0 −1

ቮ

0 0 0

→ −1 03 0 −31

0 0 0

ቮ

0 0 0

→ −1 0 10 0 0

0 0 0

ቮ

0 0 0

Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số: ቐ

(a, b ∈ ℝ và a, b không đồng thời bằng 0)

I TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG

31

Ví dụ: Tìm các giá trị riêng và các vector riêng của ma trận A trên tập số thực ℝ

→ 1 03 2 −31

1 0 1

ቮ

0 0 0

→ 1 03 2 −31

0 0 0

ቮ

0 0 0

Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số: ቐ

Mệnh đề: Cho A là ma trận vuông cấp n:

- Ma trận A khả nghịch (A−1)  λ ≠ 0

- Nếu λ là giá trị riêng của A thì λ𝑚 là một giá trị riêng của A𝑚 với mọi m ∈ 

- Nếu ቊλ là giá trị riêng của A

1

λ là giá trị riêng của A−1

- Nếu λ1, λ2, …, λ𝑛 là các giá trị riêng của A thì detA = λ1 λ2.… λ𝑛

Định lý: Cho 𝑃𝐴(λ) là đa thức đặc trưng của ma trận A cấp n Khi đó 𝑃𝐴(A) = 0 (ma

Định nghĩa: Một ma trận vuông A gọi là chéo hóa được nếu tồn tại một ma trận

khả nghịch P sao cho P−𝟏𝑨P=D là một ma trận chéo

Định lý: Một ma trận vuông A cấp n là chéo hóa được khi và chỉ khi A có n

vector độc lập tuyến tính Khi đó tồn tại một ma trận P có các cột là các vector

riêng của ma trận A sao cho P−1AP là một ma trận chéo với các phần tử trên

đường chéo là các giá trị riêng của A

II CHÉO HÓA MA TRẬN

34

II CHÉO HÓA MA TRẬN

(−1)𝑛 0

−2 3

1 3 2

3

2 3

Một ma trận vuông A được gọi là trực giao nếu A -1 = A T

VD: Chéo hoá trực giao ma trận đối xứng: −3 4

0 0 ቤ

0

0 ⇒ Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào một tham số ൝𝑥 = 𝑎2

𝑦 = 𝑎 Nghiệm cơ bản: u1 = (1;2)

- Với λ1 = -5, giải phương trình (A + 5I) X = 0

III CHÉO HÓA TRỰC GIAO

39

VD: Chéo hoá trực giao ma trận đối xứng: −3 4

−2 5 2

5

1 5

và P -1 AP = 5 0

III CHÉO HÓA TRỰC GIAO

40

Chương 6.

I DẠNG SONG TUYẾN TÍNH

II DẠNG TOÀN PHƯƠNG

III DẠNG CHÍNH TẮC CỦA DẠNG TOÀN

Giả sử V là một không gian vector trên ℝ Ánh xạ 𝑓 : V x V → ℝ được gọi là một

dạng song tuyến tính nếu  x, y, z  V và  a ℝ, ta có:

Nếu 𝑓 là một dạng song tuyến tính và 𝑓(x, y) = 𝑓(y, x), x, y  V thì ta nói 𝑓 là

dạng song tuyến tính đối xứng

Ví dụ: Cho ánh xạ 𝑓 : ℝ2 x ℝ2 → ℝ xác định  x = (x1, x2), y = (y1, y2)  ℝ có

𝑓(x, y) = x1y1 + x1y2 + 4x2y1 + 4x2y2 Khi đó 𝑓 là một dạng song tuyến tính đối xứng

I DẠNG SONG TUYẾN TÍNH

43

Cho ánh xạ 𝑓 : V x V → ℝ là một dạng song tuyến tính đối xứng Khi đó ánh xạ

q : V → ℝ xác định bởi q(x) = 𝑓(x, x)  ℝ,  x  V được gọi là dạng toàn phương xác

định bởi dạng song tuyến tính 𝑓.

Dạng toàn phương trong ℝ𝑛 là một hàm thực f : ℝ𝑛 → ℝ, 𝑥 =

trong đó M là ma trận đối xứng thực và được gọi là ma trận của dạng toàn

phương (trong cơ sở chính tắc)

Ví dụ: cho f(x) = f(x1,x2) = 2x12 + 3x22 – 6x1x2 là một dạng toàn phương

II DẠNG TOÀN PHƯƠNG

45

Cho q là một dạng toàn phương trên V Nếu có một cơ sở B sao cho  x V, biểu

thức của q có dạng:

q(x) = a1x12 + a2x22 + … + anxn2

trong đó (x1, x2, …, xn) = (x)B thì ta nói q có dạng chính tắc và cơ sở B được gọi là

cơ sở chính tắc tương ứng với q

Định lý Lagrange: cho V là một ℝ - không gian vector và q là dạng toàn phương

trên V Khi đó luôn có một cơ sở E là chính tắc tương ứng với q (tức là q có dạng

chính tắc đối với cơ sở E)

Cho q là một dạng toàn phương trên trên một không gian Euclide ℝ𝑛, khi đó tồn

tại một cơ sở trực chuẩn là cơ sở chính tắc tương ứng với q

III DẠNG CHÍNH TẮC CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG

47

Có 3 phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

- Phương pháp Lagrange

- Phương pháp Jacobi

- Phương pháp chéo hóa trực giao

IV ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

48

Phương pháp Lagrange

Lập thành 2 nhóm : một nhóm gồm tất cả hệ số chứa xk, nhóm còn lại không

chứa số hạng này

Bước 2: trong nhóm đầu tiên, lập thành tổng bình phương

Ta sẽ có một tổng bình phương và một dạng toàn phương không chứa hệ số xk

Chú ý: Nếu trong dạng toàn phương ban đầu, tất cả hệ số xk2 đều bằng 0, thì ta

chọn thừa số khác 0 của xixj

IV ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

49

Ví dụ 1: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi

Lagrange Nêu rõ phép biến đổi

𝑓 𝑥1,𝑥2, 𝑥3 = 9𝑥12 + 6𝑥22 + 6𝑥32 − 6𝑥1𝑥2 − 6𝑥1𝑥3 + 12𝑥2𝑥3

GIẢI

Chọn thừa số 9𝑥12 lập thành hai nhóm

𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 9𝑥12 − 6𝑥1𝑥2 − 6𝑥1𝑥3 + (6𝑥22 + 6𝑥32 + 12𝑥2𝑥3) Lập tổng bình phương ở nhóm 1

Ví dụ 1: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi

Lagrange Nêu rõ phép biến đổi

𝑓 = 𝑦12 + 5𝑦22(∗) là phép biến đổi cần tìm

IV ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

51

Chú ý: Nếu trong biểu thức của dạng toàn phương có aii = 0, i= 1, 2, 3,…,n thì sẽ

aij ≠ 0 𝑖, 𝑗 1, 𝑛, 𝑖 ≠ 𝑗 Ta dùng phép biến đổi:

𝑓 = 𝑎12𝑥1𝑥2 + 𝑎12𝑥1𝑥3 + ⋯ = 𝑎12 𝑦12 − 𝑦22 + 𝑎13 𝑦1 − 𝑦2 𝑥3 + ⋯

= 𝑎12𝑦12 − 𝑎12𝑦22 + ⋯

IV ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

52

Ví dụ 2: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi

Lagrange Nêu rõ phép biến đổi

Ví dụ 2: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi

Lagrange Nêu rõ phép biến đổi

Ví dụ 3: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc và tìm cơ sở tương ứng

Ví dụ 3: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc và tìm cơ sở tương ứng