Đường tròn, bài toán liên quan đến đường tròn

CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN, BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRÒN (Nhóm Toán Trường THCS Xuân An) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Đường tròn, vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn, giữa đường tròn và đường tròn[.]

CHUYÊN ĐỀ:

ĐƯỜNG TRÒN, BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRÒN

(Nhóm Toán Trường THCS Xuân An)

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Đường tròn, vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn, giữa đường tròn và đường tròn.

2 Góc với đường tròn:

- Góc ở tâm

- Góc nội tiếp

- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

- Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn

3 Tứ giác nội tiếp:

*) Định nghĩa: Tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác

nội tiếp

*) Tính chất: Trong 1 tứ giác nội tiếp tổng số đo các góc đối diện bằng 1800

*) Dấu hiệu nhận biết: Để chứng minh một tứ giác nội tiếp đường tròn ta

chứng minh:

- Tứ giác có 4 đỉnh nằm trên đường tròn

- Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800

- Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh nối 2 đỉnh còn lại dưới 2 góc bằng nhau

- Tứ giác có góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối di

…

Ở mức độ nhận biết trong các đề thi TSTHPT thường sử dụng hai cách:

- Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800

- Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh dưới 2 góc bằng nhau

với hình vẽ có dạng sau:

D

B A

D

C M

TH 1: Tứ giác ABCD có :

Suy ra

Vậy tứ giác ABCD nội tiếp

Suy ra tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn

(Theo quỹ tích cung chứa góc)

4 Đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp Chu vi và diện tích hình tròn

- Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp, tính chất và dấu hiệu nhận biết

- Độ dài đường tròn, độ dài cung tròn

5 Bài toán liên quan đến tứ giác nội tiếp, tam giác đồng dạng, chứng minh vuông góc…

- Vận dụng các tính chất của tứ giác nội tiếp, các tính chất khác liên quan đến đường tròn để chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau, 2 góc bằng nhau…

II MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP:

Dạng 1 : CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP:

Bài 1.1: Cho đường tròn đường kính AB và D là một điểm thuộc đường tròn Trên tia

đối của tia BA lấy một điểm C Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt đường

thẳng AD tại M Chứng minh rằng tứ giác MCBD nội tiếp

Hướng dẫn :

Hãy chỉ ra

(Chú ý: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo bằng

90 0 ).

Q

N

P M

D

B A

S

E

A

C

I

B

D

C M

Bài 2.1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AB Đường thẳng

vuông góc với AO tại trung điểm I của AO cắt AC tại M và cắt tiếp tuyến tại C của đường tròn ở E

a Chứng minh tứ giác OCEI nội tiếp

b Chứng minh tứ giác IMCB nội tiếp

Hướng dẫn :

a Chỉ ra được:

b Chỉ ra được:

(Chú ý: Tiếp tuyến của một đường tròn thì vuông

góc với bán kính đi qua tiếp điểm)

Bài 3.1: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AD D BC  .Gọi I là trung

điểm của AC, kẻ AH vuông góc với BI tại H

a) Chứng minh tứ giác ABDH nội tiếp

Hướng dẫn:

Xét tứ giác AHDB Vcó:

0

0 0

90

90 90

AHB ADB





AHDB là tứ giác nội tiếp (có hai đỉnh ,D H kề nhau cùng nhìn cạnh AB dưới

các góc vuông)

Bài 4.1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đường tròn đường kính BC cắt

cạnh AB, AC lần lượt tại E và F ; BF cắt EC tại H Tia AH cắt đường thẳng BC tại N

K

H I D

A

Chứng minh tứ giác HFCN, ABNF nội tiếp.

Hướng dẫn

*) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp:

H N

F E

C B

A

Ta có :

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC)

Tứ giác HFCN có nên nội tiếp đường tròn đường kính HC) (đpcm)

*) Chứng minh tứ giác ABNF nội tiếp:

Theo CM trên: nên trong tam giác ABC có; BF, CE là hai đường cao, H là trực tâm nên AN ⊥ BC Do đó tứ giác ABNF có:

Suy ra tứ giác ABNF nội tiếp(vì có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn đoạn thẳng còn lại dưới hai góc bằng nhau)

Dạng 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐỂ CHỨNG

MINH CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC Ghi nhớ:

Khi tứ giác nội tiếp thì ta suy ra được:

- Hai góc đối bù nhau

- Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

- …

Bài 1.2: Cho đường tròn (O) và M là một điểm nằm bên ngoài đường tròn Từ M vẽ

hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn( A, B là các tiếp điểm) Gọi C là một điểm

trên cung nhỏ AB

Từ C kẻ CD  AB tại D; CE  MA tại E và CF  MB tại F Gọi I là giao điểm của

CA và DE; K là giao điểm của BC và DF

Chứng minh rằng:

a Các tứ giác ADCE, DCFB nội tiếp

b DC2 = CE.CF

c IK // AB

Hướng dẫn:

a Tính tổng số đo hai góc đối diện

b Chỉ ra: EDC  DFC(g.g):

c Chỉ ra hai cặp góc đồng vị bằng nhau:

+ Chứng minh tứ giác ICKD nội tiếp



Bài 2.2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD Gọi I là giao

điểm của AC và BD H là chân đường vuông góc hạ từ I xuống AD M là trung điểm của ID Chứng minh rằng:

a Các tứ giác ABIH, HICD nội tiếp

b Tia CA là tia phân giác của góc BCH suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp BCH

c Tứ giác BCMH nội tiếp

Hướng dẫn:

a Sử dụng phương pháp 1 “tổng hai góc

đối bằng 1800 ”

b Chỉ ra bằng cách:

M 0

I

B

C

H

K

I

M O

A

B

C E

F D

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB) và (do tứ giác CDHI nội tiếp)

Tương tự chứng minh BI là phân giác  Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH

c Chỉ ra bằng cách:

và

Bài 3.2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn

(O) Các đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt

nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N

Chứng minh:

a Các tứ giác ADHE, BEDC nội tiếp

b DE//MN

c OA  DE

Hướng dẫn:

a Chứng minh các tứ giác nội tiếp dựa vào hai trường hợp đặc biệt đã nêu ở trên

b Chứng minh

c Cách 1:  A là điểm chính giữa của cung MN

 OA  MN  OA  DE

Cách 2: Kẻ tiếp tuyến Ax, chứng minh  Ax//DE,

mà OA  Ax nên OA  DE

Dạng 3: CÁC BÀI TẬP THEO CẤU TRÚC MA TRẬN HD CỦA SGD

NĂM 2022.

Bài 1.3: Cho đường tròn tâm O và một điểm M nằm ngoài đường tròn Từ M kẻ

đường thẳng đi qua tâm O, cắt đường tròn tại hai điểm A, B (A nằm giữa M và B) kẻ đường thẳng thứ hai đi qua M, cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt C, D(C nằm giữa

x

D

A

M

N

M và D, C khác A) Đường thẳng vuông góc với MA tại M cắt đường thẳng BCtại N,

đường thẳng NAcắt đường tròn tại điểm thứ hai là E

a) Chứng minh AMNC là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh

Hướng dẫn :

E

N

C

B

M

D

a) (Từ giả thiết ta dễ dàng nhận thấy: mà hai góc này là hai góc đối của tứ giác AMNC)

Ta có:

là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) (kề bù với )

Tứ giác AMNC có:

Do đó AMNC là tứ giác nội tiếp

b)Ta có tứ giác AMNC nội tiếp (cmt) (hai góc nội tiếp cùng chắn )

Xét đường tròn (O) ta có:

là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn chắn cung và

(2)

là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn chắn cung và

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra BD = BE (2 cung bằng nhau căng 2 dây bằng nhau)

B nằm trên đường trung trực của DE (4)

Lại có: (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

, AB là cạnh chung; BD = BE (CMT)

AD = AE(hai cạnh tương ứng)

A nằm trên đường trung trực của DE (5)

Từ (4) và (5) AB là đường trung trực của DE

Bài 2.3: Cho đường tròn (O), đường kính AB Lấy điểm C khác A và B trên đường

tròn(CA < CB)Trên cung nhỏ AC lấy điểm M khác A và C Vẽ ME vuông góc với

AB tại E Đoạn thẳng ME và AC cắt nhau tại D Chứng minh rằng:

a) BCDE là tứ giác nội tiếp

b)

Hướng dẫn :

H

G

D

A

C M

a)Ta có: nên hay

Lại có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) hay

Tứ giác BCDE có mà hai góc này là hai góc đối của

tứ giác BCDE nên BCDE là tứ giác nội tiếp

b)Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)

vuông tại M

Áp dụng hệ thức lượng trong vuông tại M có đường cao ME ta có:

Xét và ta có: là góc chung;

AD.AC = AE.AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Bài 3.3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC, nội tiếp đường tròn

Vẽ đường kính AD của đường tròn , đường cao AH của tam giác ABC(H BC) và BE vuông góc với AD

a) Chứng minh tứ giác AEHB nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh AH.DC = AC.BH

Hướng dẫn:

a)

Tứ giác AEHB có

Tứ giác AEHB nội tiếp đường tròn đường kính AB

1 1

K

I

E

H

D

O

A

I

C

E

N

M

O

B A

b) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Lại có (2 gnt cùng chắn )

và là hai tam giác vuông có :

Bài 4.3: Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho

AI = AO Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn

MN sao cho C không trùng với M, N và B Nối AC cắt MN tại E

a) Chứng minh IECB là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh ∆AME và ∆ACM đồng dạng và AM2 = AE.AC

c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2

Giải:

a) Ta có: (do ở I)

và (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tứ giác IECB có nên nội tiếp được trong

một đường tròn

b) + Chứng minh ∆AME ∆ACM

Ta có: MN AB

∆AME và ∆ACM có chung,

Do đó: ∆AME ∆ACM (góc – góc) + Chứng minh AM2 = AE.AC

Vì ∆AME ∆ACM nên hay (1)

c) Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

vuông ở M, MI AB nên MI2 = AI.IB (2)

Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:

Mà (định lí Pi-ta-go cho tam giác MIA vuông ở I)

Suy ra : AE.AC - AI.IB = AI2

Bài 5.3: Cho (O, R) đường kính AB, M di chuyển trên đường tròn.

Tiếp tuyến tại M với (O) cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D

a) Chứng minh các tứ giác ACMO, BDMO nội tiếp

b) Chứng minh AC.BD không phụ thuộc vào vị trí của M

c) Chứng minh MN//BD

HƯỚNG DẪN GIẢI

a) Tứ giác ACMO có (Vì CA, CM là

tiếp tuyến của (O))

=> tứ giác ACMO nội tiếp Chứng minh tương tự ta có tứ giác BDMO nội tiếp

b) Vì CA, CM là tiếp tuyến của (O)

Vì BD, DM là tiếp tuyến của (O)

Có :

N

D

C

B O

M

A

Suy ra vuông tại O, có OM là đường cao

Suy ra AC.BD không phụ thuộc vào vị trí của M

c) Ta có AC//BD( cùng vuông góc với AB)

III MỘT SỐ LỖI HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI:

1) Vẽ hình không chính xác (vẽ sai hình thì bài hình sẽ không được chấm)

2) Vẽ hình vào trường hợp đặc biệt, dễ ngộ nhận(đề bài cho tam giác thường thì

không nên vẽ tam giác cân, tam giác đều hoặc tam giác vuông)

3) Tính toán sai, viết nhầm, đọc nhầm đề hoặc đọc thiếu các dữ kiện của đề dẫn đến cả bài toán bị sai. Khi mắc các sai lầm này thì gần như học sinh sẽ không có điểm cho câu hỏi đó

4) Quên nối hình, không điền tên điểm (khi cần đặt thêm điểm ta phải gọi tên

điểm cần thêm trong bài giải), ngộ nhận trong chứng minh… những lỗi sai này

thường do tính cẩu thả, tính chủ quan của học sinh gây ra

5) Dùng điều bài toán yêu cầu chứng minh để giải quyết bài toán

6) Kí hiệu hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng sai thứ tự đỉnh tương ứng 7) HS giải thích lí do hai góc bằng nhau trong đường tròn: vì cùng chắn cung…

Có những HS ngộ nhận: 1 góc nội tiếp và 1 góc có đỉnh ở bên trong đường tròn cùng chắn 1 cung cũng bằng nhau…

Nên nói rõ loại góc nào cùng chắn cung… hoặc dùng kí hiệu: =1/2 sđ …

8) Trình bày quá vắn tắt nên bị mất điểm ở một số bước

9) Có những học sinh khi làm bài hình có nhiều ý thường vẽ tất cả các dữ kiện vào một hình từ đầu Một bài hình có nhiều ý mà lại vẽ chung tất cả vào một hình từ đầu

sẽ rất rối, khó nhìn ra để giải quyết