Chuyên đề phương trình bậc hai và hệ thức vi ét

Chuyên đề “ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ HỆ THỨC VI ÉT (THCS Tiên Yên và THCS Thành Mỹ) A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1 Phương trình bậc hai một ẩn 1 1 Định nghĩa Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạn[.]

Chuyên đề “ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ HỆ THỨC VI-ÉT.

(THCS Tiên Yên và THCS Thành Mỹ)

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1 Phương trình bậc hai một ẩn

1.1 Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng

trong đó x là ẩn, a,b,c là những số cho trước gọi là các hệ số và

1.2 Các trường hợp đặc biệt

+ Với c = 0, phương trình có dạng

+ Với b = 0, phương trình có dạng Nếu thì

Nếu thì phương trình vô nghiệm

1.3 Công thức nghiệm

a Đối với phương trình ( ) và biệt số

+ Nếu  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

x1 = ; x2 =

+ Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

+ Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm

b Công thức nghiệm thu gọn:

Đối với phương trình ( ) và biệt số

+ Nếu ’> 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

x1 = ; x2 =

+Nếu ’= 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

+Nếu ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

Chú ý: Nếu a.c < 0 (a, c trái dấu) thì phương trình ( ) có hai

nghiệm phân biệt trái dấu

1.4 Định lí Vi-ét Cho phương trình ( )

- Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình thì

- Hệ quả :

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 =

Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 =

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

- Định lí: (đảo Vi-ét)

Nếu hai số u và v thỏa mãn và thì u, v là nghiệm của phương trình: x2 - S x + P = 0

Chú ý:

+ Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm (tức là  ≥ 0)

2 Phương trình quy về phương trình bậc hai

2.1 Phương trình trùng phương

Phương trình có dạng

Đặt ta được phương trình

2.2 Phương trình tích

Phương trình tích là phương trình có dạng

Để giải phương trình ta áp dụng tính chất

2.3 Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình

Bước 2: khử mẫu đưa phương trình về dạng thông thường

Bước 3: kiểm tra điều kiện cho các nghiệm tìm được rồi kết luận

B BÀI TOÁN CƠ BẢN

Phương trình bậc hai không chứa tham số

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

a b c

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau:

Lời giải:

a Ta có thể giải một trong các cách sau:

Cách 1: ta có: do đó nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

Cách 2: Sử dụng công thức nghiệm tổng quát

Cách 3: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn

b Ta có

Nên phương trình vô nghiệm

c

ta có: , suy ra

Phương trình có hai nghiệm phân biêt

d Ta có: , suy ra

Phương trình có nghiệm kép

Phương trình có hai nghiệm phân biêt

Phương trình có hai nghiệm phân biêt

Lưu ý - Khi giải phương trình bậc hai nên sử dụng công thức nghiệm để tránh

những sai sót về dấu trong khi tính toán

- Đối với phương trình có hệ số a < 0 thì nên nhân hai vế của phương trình với -1 để phương trình có hệ số a > 0

- Đối với phương trình có hệ số là phân số hay hệ số lớn nên quy đồng hay rút gọn ( nếu có thể) để tránh việc tính toán phức tạp

Dạng 2 Phương trình bậc hai chứa tham số.

Ví dụ 1 Cho phương trình ( m là tham số) Tìm m để

phương trình:

a Có một nghiệm bằng 2

b Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Lời giải:

a Phương trình có một nghiệm bằng 2 khi và chỉ khi

Vậy thì phương trình có một nghiệm bằng 2

b Ta có

vì với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2 Cho phương trình ( m là tham số) tìm m để phương trình :

a Có hai nghiệm phân biệt.

b Có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó

c Vô nghiệm

d Có đúng một nghiệm.

Lời giải Nếu m = 0 thì phương trình trở thành đây là phương trình bậc nhất, nó chỉ có một nghiệm là

Nếu Khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc 2 có

a Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi kết

hợp với điều kiện , ta có thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

b Phương trình có nghiệm kép Khi đó phương trình

có nghiệm kép

c Phương trình vô nghiệm

d Phương trình có đúng một nghiệm

tham số thì ta phải xét a = 0, khi phương trình mới là phương trình bậc hai lúc đó ta mới xét điều kiện của

Dạng 3 Ứng dụng của hệ thức Vi-ét

Ví dụ 1 a Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 14 và tích của chúng bằng 45.

b Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm và

Lời giải a Nếu hai số này tồn tại thì chúng là hai nghiệm của phương trình

Ta có:

Vậy hai số cần tìm là 5 và 9

b ta có

Vậy phương trình bậc hai cần lập là

Ví dụ 2 Cho phương trình (với m là tham số)

a Tìm giá trị m để phương trình đã cho có một nghiệm -2 Tìm nghiệm còn lại.

b Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.

c Gọi là hai nghiệm phân biệt của phương trình đã cho Tìm các giá tri của m

để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

a Phương trình có nghiệm bằng -2 khi và chỉ khi

theo định lí Vi ét ta có

với m = -1 thì phương trình có nghiệm kép

với m = 0 thì phương trình có hai nghiệm

b Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

c Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi

áp dụng định lí Vi-ét, ta có:

Dấu bằng xảy ra khi ( thỏa mãn điều kiện m > -1) Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là

Ví dụ 3 Cho phương trình: ( m là tham số)

Gọi là hai nghiệm phân biệt của phương trình đã cho Tìm các giá trị của m

để thỏa mãn các điều kiện sau:

a b c

Lời giải.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Áp dụng đinh lí Vi-ét, ta có:

(1) (2)

Ta có

do đó

Đối chiếu với điều kiện m =2 thỏa mãn

b ta có

thay vào (1) ta được

suy ra

Đối chiếu với điều kiện ta thấy thõa mãn

c Có thể giải theo một trong hai cách sau

Lưu ý: Khi giải dạng toán này, các gíá trị tham số tìm được phải đối chiếu với điều

kiện phương trình bậc hai có nghiệm hay có hai nghiệm phân biệt và phải có điều

C CÁC BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI , HỆ THỨC VI-ÉT

TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TỈNH HÀ TĨNH

Bài 1: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2022– 2023)

Cho phương trình x2 - 2( m - 1) x + m2 – 4 = 0 ( m tham số )

Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x1 ( x1 – 3) + x2 ( x2 – 3) = 6

Lời giải :

- Tính ∆'=[− (m−1)]2

−(m2 −4) = -2m +5

- Điều kiện để Phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 là:

∆ ' >0⇔−2m+5>0⇔ m<5

2(*)

- Áp dụng định lý Vi ét ta có:

{x1+x2=2m−2 x1 x2=m2 −4(**)

- Theo đề bài ta có: x1 ( x1 – 3) + x2 ( x2 – 3) = 6

Biến đổi biểu thức trên ta được: (x1+x2)2−2x1x2−3(x1+x2)= 6

- Thay (**) vào biểu thức trên ta được :

(2m−2) 2−2(m2−4)−3(2m−2)= 6

Suy ra: m2 – 7m + 6 = 0 ⇔[m=1

m=6

- Đối chiếu điều kiện (*) m = 1 là giá trị cần tìm

Bài 2: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2021– 2022)

Cho phương trình x2 - 2( m +1) x + m2 = 0 ( m tham số )

a) Giải phương trình với m = 1

b) Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thõa mãn: x12 + x22 + 6 = 4x1x2

Lời giải :

a) Thay m = 1 vào phương trình x2 - 2( m +1) x + m2 = 0 ( m tham số )

Ta được phương trình: x2 – 4x + 1 = 0

∆ '=4−1=3

Do ∆' > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1=2+√3; x2=2−√3 b) - Tính ∆ '= (m+1) 2−m2 = 2m + 1

- Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 là

∆ ' ≥ 0

⇔2m + 1≥ 0⇔m ≥ −12 (*)

{x1+x2=2m+2 x1 x2=m2 (**)

- Theo đề bài ta có x12 + x22 + 6 = 4x1x2

Biến đổi biểu thức trên ta được: (x1+x2)2−2x1x2+6=4 x1x2

Thay (**) vào biểu thức trên ta được

(2m+2)2−2m2+6=4 m2⇔2m2−8m−10=0

⇔m2−4 m−5=0 ⟺[m=−1

m=5

- Đối chiếu điều kiện (*) thì m = 5 là giá trị cần tìm

Bài 3: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2019 – 2020)

Cho phương trình x2 – 6x + m- 3 = 0 ( m tham số) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: ( x1 - 1) ( x22 – 5x2 + m – 4) = 2

Lời giải

- Tính ∆' = 9 – m + 3 = 12 – m

- Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 là

∆ '>0 ⇔12-m >0⇔m<12(*)

- Áp dụng định lý Vi ét ta có:

x1 x2=m−3(**)

- Theo đề bài ta có ( x1 - 1) ( x22 – 5x2 + m – 4) = 2

Biến đổi biểu thức trên ta được: ( x1 - 1) (x22 – 6x2 +x2 – 1 + m – 3) = 2 Suy ra: (x1−1)[x2(x2−6)+x2−1+x1 x2]=2

⟺(x1−1)(x2−1) = 2

⟺ x1x2−(x1+x2) +1=2

- Thay (**) vào biểu thức trên ta được

m−3−6+1=2⟺ m=10

Đối chiếu điều kiện (*) Vậy m = 10 là giá trị cần tìm

Bài 4: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2018 – 2019)

Cho phương trình x2 - 2( m – 1) x + m2 – m = 0 ( m tham số ) Tìm giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thõa mãn: ( 1+ x1 )2 + ( 1 + x2 )2 = 6

Lời giải

- Tính ∆'=[− (m−1)]2

−(m2−m)

= - m +1

- Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 là

∆ ' ≥ 0

⇔-m + 1≥ 0 ⇔m ≤1(*)

- Áp dụng định lý Vi ét ta có:

{x1+x2=2m−2 x1 x2=m2−m(**)

- Theo đề bài ta có

( 1+ x1 )2 + ( 1 + x2 )2 = 6

⟺ x12 + x22 +2(x1+x2) =4

⟺(x1+ x2)2−2x1x2+2(x1+x2)=4

- Thay (**) vào biểu thức trên ta được:

(2m−2) 2−2(m2−m)+2(2m−2) =4

⟺m2−m−2=0⟺[m=−1

m=2

- Đối chiếu điều kiện (*), vậy m = -1 là giá trị cần tìm

Bài 5: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2017 – 2018)

Cho phương trình x2 - 2( m +2) x + m2 = 0 ( m tham số ) Tìm giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thõa mãn: (x1 + 3) (x2 + 3) = 28

Lời giải :

Tính ∆'= (m+2) 2−m2 = 4m + 4

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 là

∆ ' ≥ 0

- Áp dụng định lý Vi ét ta có:

{x1+x2=2m+4 x1 x2=m2 (**)

- Theo đề bài ta có

(x1 + 3) (x2 + 3) = 28 ⟺ x1x2+3(x1+x2)+9=28

⟺ x1x2+3(x1+x2)=19

- Thay (**) vào biểu thức trên ta được:

m2 +3 (2m+4)=9 ⟺m2+6m+3=0⟺[m1=−3+√6

m2=−3−√6

- Đối chiếu điều kiện (*), vậy m = -3 + √6

Bài 6: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2016 – 2017)

Cho phương trình : x2 – 2( m + 2) x + m2 +m +3= 0

a) Giải phương trình với m = 1

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm , thão mãn:

Lời giải :

a) Thay m = 1 vào Phương trình: x2 – 2( m + 2) x + m2 +m +3= 0 ta tinh được:

x2 - 6x +5 = 0⟺[x1=1

x2=5 Vậy: khi m = 1 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=1;x2=5

b) - Tính ∆ '=(m+2) 2 − ¿¿+m+3) = 3m + 1

- Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 là

∆ ' ≥ 0

⇔3m+1≥ 0⇔m≥ −1

3 (*)

- Áp dụng định lý Vi ét ta có:

{ x1+x2=2m+4

x1 x2=m2+m+3(**)

- Theo đề bài ta có

⟺ x12+x22=5 x1 x2

⟺(x1+ x2) 2−2x1x2=5 x1x2

⟺(x1+ x2)2−7x1x2=0

- Thay (**) vào biểu thức trên ta được: (2m+4) 2−7(m2+m+3)=0

⟺3m2−9m+5=0

⟺[m1= 9+√21

6

m2= 9−√21

6

- Đối chiếu điều kiện (*),m1= 9+√21

6 ; m2= 9−√21

6 là giá trị cần tìm

Bài 7: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2015 – 2016)

Cho phương trình bậc hai x2 – 2( m + 1) x + m2 +m +1= 0 ( m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thõa mãn: x12 + x22 = 4x1x2 – 2

Lời giải :

- Tính ∆ '=(m+1) 2 − ¿¿+m+1) = m

- Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 là

∆ '>0

⇔m>0(*)

- Áp dụng định lý Vi ét ta có:

{ x1+x2=2m+2 x1 x2 =m2+m+1(**)

- Theo đề bài ta có

x12 + x22 = 4x1x2 – 2

⟺(x1+ x2)2−6 x1x2=−2

- Thay (**) vào biểu thức trên ta được: (2m+2) 2 −6(m2+m+1)=−2

⟺ 2m2−2m=0

⟺[m1=1

m2=0

- Đối chiếu điều kiện (*),m=1,là giá trị cần tìm

Bài 8: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2014 – 2015)

Cho phương trình bậc hai x2 – 2mx + m2 – m +1= 0

a) Giải phương trình khi m= 2

b) Tìm tất cả các gái trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thõa mãn: x12 + x22 = 3x1x2 – 1

Lời giải :

a) Thay m = 2 vào Phương trình: x2 – 2mx + m2 – m +1= 0

ta được: x2 - 4x +3 = 0⟺[x1=1

x2=3 Vậy: khi m = 1 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=1;x2=3

b) - Tính ∆' =m2− ¿¿-m+1) = m - 1

- Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 là

∆ '>0

⇔m−1>0 ⇔m>1(*)

- Áp dụng định lý Vi ét ta có:

x1 x2 =m2−m+1(**)

- Theo đề bài ta có

x12 + x22 = 3x1x2 – 1

⟺(x1+ x2)2−2x1x2=3 x1x2−1

⟺(x1+ x2)2−5x1x2=−1

- Thay (**) vào biểu thức trên ta được: (2m) 2 −5(m2−m+1)=−1

⟺m2−5m+4=0

⟺[m1=1

m2=4

- Đối chiếu điều kiện (*),m=4là giá trị cần tìm

D LƯỜNG TRƯỚC NHŨNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH.

I Lỗi thường gặp của HS khi giải pt bậc 2:

- Nhớ nhầm công thức tính delta, tính nghiệm;

- Nhầm lẫn khi thực hiện các phép tính

- Quên xét điều kiện phương trình có nghiệm;

- Quên điều kiện để xét dấu của nghiệm của phương trình;

II Lỗi thường gặp của học sinh khi áp dụng hệ thức Vi-ét:

1) Chưa biết phương trình bậc hai có hai nghiệm hay không

VD: Tìm m để phương trình bậc hai: có hai nghiệm thoả mãn hệ thức

Lời giải sai: Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Khi đó

Vậy với thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn

Đây là sai sót rất cơ bản mà đa số HS gặp phải vì khi đọc đề cứ nghĩ bài ra đã cho phương trình có 2 nghiệm rồi

Các bước giải đúng:

- Tìm ĐK m để phương trình có 2 nghiệm ( )

- Áp dụng Vi-ét, tìm m

- Đối chiếu ĐK của m và trả lời

2) Hiểu sai về ĐK có nghiệm của phương trình

HS hay nhầm lẫn rằng phương trình bậc hai được vận dụng Vi-ét khi nó phải có 2 nghiệm phân biệt, tức là , cần lưu ý cho HS rằng 2 nghiệm bằng nhau vẫn áp dụng được Vi-ét, tức ĐK áp dụng ở đây chính là

3) Không xét ĐK của hệ số a

VD: Tìm m để phương trình bậc hai : có 2 nghiệm thoả mãn

(1)

Lời giải sai:

Để phương trình (1) có 2 nghiệm thì

Với thì PT có 2 nghiệm Giả sử 2 nghiệm là

Áp dụng HT Viet ta có:

Khi đó:

( Thoả mãn)

Vậy với thì pt có hai nghiệm thoả mãn

BT trên kết luận thì pt có hai nghiệm Vậy nếu trong TH tìm ra không phải là mà có thể là m = 0 (<1) cũng thoả mãn ĐK của , nhưng với m = 0

thử lại thì phương trình chỉ có 1 nghiệm duy nhất là , vậy không thể áp dụng được HT Vi-ét trong TH này được

Sai lầm của HS là không xét ĐK của hệ số a trong phương trình bậc 2 dẫn tới m tìm được không chính xác

Các bước giải đúng:

- Tìm ĐK để phương trình có 2 nghiệm:

- Áp dụng Vi-ét, tìm m

- Đối chiếu ĐK của m và trả lời