Bài giảng Cơ lý thuyết: Chương 2 - TS. Đặng Hoài Trung

Bài giảng Cơ lý thuyết: Chương 2 Các định luật bảo toàn, cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Tích phân chuyển động – định luật bảo toàn; định luật bảo toàn năng lượng; định luật bảo toàn động lượng; tâm quán tính; định luật bảo toàn mômen động lượng. Mời các bạn cùng tham khảo!

CHƯƠNG II

TS ĐẶNG HOÀI TRUNG

BM VẬT LÝ ĐỊA CẦU, KHOA VL – VLKT, TRƯỜNG ĐH KHTN – VNU-HCM Email: dhtrung@hcmus.edu.vn

1 TÍCH PHÂN CHUYỂN ĐỘNG – ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

- Tích phân chuyển động: là các hàm theo tọa độ và

vận tốc suy rộng, luôn giữ nguyên giá trị không đổi và

chỉ phụ thuộc vào điều kiện ban đầu

- Định lý Noether: với bất kỳ một vi phân đối xứng

nào, tác dụng của một hệ vật lý tương ứng với một định

luật bảo toàn

- Yêu cầu: chứng minh mỗi bất biến của hàm Lagrange

đối với phép biến đổi đối xứng của không gian hoặc

thời gian đều dẫn đến một tích phân chuyển động –

định luật bảo toàn.

Amalie Emmy Noether (23/3/1882 – 14/4/1935) Nhà toán học người Đức nổi tiếng vì những đóng góp nền tảng và đột phá trong lĩnh vực đại số trừu tượng và vật lý lý thuyết

2 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN NĂNG LƯỢNG

- Xét tính đồng nhất của thời gian – hàm Lagrange sẽ không phụ thuộc hiển

vào thời gian t

𝑑𝐿

𝑑𝑡 = ෍

𝑖

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖

𝜕𝑞𝑖

𝜕𝑡 + ෍

𝑖

𝜕𝐿

𝜕 ሶ𝑞𝑖

𝜕 ሶ𝑞𝑖

𝜕𝑡 +

𝜕𝐿

𝜕𝑡 = ෍

𝑖

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖 ሶ𝑞𝑖 + ෍

𝑖

𝜕𝐿

𝜕 ሶ𝑞𝑖 ሷ𝑞𝑖 = ෍

𝑖

𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕 ሶ𝑞𝑖 ሶ𝑞𝑖

𝑑

𝑖

𝜕𝐿

𝜕 ሶ𝑞𝑖 ሶ𝑞𝑖 − 𝐿 = 0

Đặt là: E

(2.1)

- Định lý Euler về các hàm thuần nhất: nếu f (x1, x2, …, xk) là hàm thuần nhất bậc n thì:

𝑥1 𝜕𝑓

𝜕𝑥1 + ⋯ + 𝑥𝑘

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑘 = 𝑛𝑓

- T là hàm thuần nhất bậc 2:

෍

𝑖

ሶ𝑞𝑖 𝜕𝐿

𝜕 ሶ𝑞𝑖 = ෍

𝑖

ሶ𝑞𝑖 𝜕𝑇

𝜕 ሶ𝑞𝑖 = 2𝑇

- Vậy: E là cơ năng của hệ

ሻ

𝑬 = ෍

𝒊

𝜕𝑳

𝜕 ሶ𝒒𝒊 ሶ𝒒𝒊 − 𝑳 = 𝑻 𝒒, ሶ𝒒 + 𝑼(𝒒 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝑡ሻ (2.1 và 2.2)

- Định luật bảo toàn cơ năng: trong cơ hệ kín năng lượng luôn giữ nguyên

không đổi trong suốt quá trình chuyển động

- Năng lượng có tính cộng được

- Các hệ cơ học có năng lượng được bảo toàn gọi là các hệ bảo thủ

- Hàm Lagrange cho cơ hệ kín (hoặc nằm trong trường ngoài không đổi):

ሻ

𝑳 = 𝑻 𝒒, ሶ𝒒 − 𝑼(𝒒

3 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ĐỘNG LƯỢNG

- Xét tính đồng nhất của không gian.

(3.1)

- Xét chuyển động vô cùng bé trên đoạn Ԧ𝜀, sao cho hàm Lagrange vẫn giữ nguyên không đổi

𝛿𝐿 = ෍

𝑗

𝜕𝐿

𝜕 Ԧ𝑟𝑗 𝛿 Ԧ𝑟𝑗 = Ԧ𝜀 ෍

𝑗

𝜕𝐿

𝜕 Ԧ𝑟𝑗 = 0

- Biến thiên của hàm Lagrange do sự thay đổi vô cùng bé của tọa độ, còn vận tốc không đổi

෍

𝑗

𝜕𝐿

𝜕 Ԧ𝑟𝑗 = − ෍

𝑗

𝜕𝑈

𝜕 Ԧ𝑟𝑗 = ෍

𝑗

Ԧ

𝐹𝑗 = 0

Không có lực nào hoặc tổng hợp lực tác dụng lên hệ bằng 0

Phương trình Lagrange và (3.1)

෍

𝑗

𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕 Ԧ𝑣𝑗 =

𝑑

𝑑𝑡 ෍

𝑗

𝜕𝐿

𝜕 Ԧ𝑣𝑗 = 0

𝒑 = ෍

𝒋

𝛛𝑳

𝛛𝒗𝒋 = ෍

𝒋

𝒎𝒋𝒗𝒋 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕

- Định luật bảo toàn động lượng: Nếu không có lực nào hoặc tổng hợp các

lực tác dụng lên hệ bằng 0 (hệ kín) thì động lượng của hệ sẽ được bảo toàn

- Đặc điểm:

+ Động lượng có tính cộng được.

- Lưu ý: Nếu chuyển động được miêu tả bằng các tọa độ suy rộng thì:

𝑝𝑖 = 𝜕𝐿

𝜕 ሶ𝑞𝑖 + Động lượng suy rộng:

𝐹𝑖 = 𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖 + Lực suy rộng:

- Động lượng suy rộng là hàm thuần nhất tuyến tính của các vận tốc suy rộng,

không được quy về tích khối lượng và vận tốc.

+ Các thành phần riêng biệt có thể được bảo toàn cả khi có trường ngoài nếu thế năng của trường đó không phụ thuộc vào một tọa độ tương ứng nào đó

Ví dụ: Xét một hạt khối lượng m chuyển động trong một

trường thế có dạng: V(r) = -k/r, với k là hằng số và r là khoảng cách để tâm trường.

a) Viết phương trình Lagrange cho hạt.

b) Tìm pr và pθ như là những hàm theo r, θ, ṙ và ሶθ Có hàm nào

là hằng số không?

4 TÂM QUÁN TÍNH

- Xét hqc K’ chuyển động với vận tốc 𝑉 so với hqc K

- Công thức cộng vận tốc:

- Động lượng của hqc K:

Ԧ

𝑣𝑗 = 𝑣′𝑗 + 𝑉

Ԧ

𝑝 = ෍

𝑗

𝑚𝑗𝑣Ԧ𝑗 = ෍

𝑗

𝑚𝑗𝑣′𝑗 + 𝑉 ෍

𝑗

𝑚𝑗 = Ԧ𝑝′ + 𝑉 ෍

𝑗

𝑚𝑗

- Chọn hqc K’ sao cho động lượng toàn phần của cơ hệ bằng 0, khi đó:

𝑉 = 𝑝Ԧ

σ𝑗 𝑚𝑗 =

σ𝑗 𝑚𝑗𝑣Ԧ𝑗

σ𝑗 𝑚𝑗

- Biểu thức trên có thể được biểu diễn như đạo hàm toàn phần theo thời gian của biểu thức:

𝑅 = σ𝑗 𝑚𝑗 Ԧ𝑟𝑗

σ𝑗 𝑚𝑗

5 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG

- Xét tính đẳng hướng của không gian.

- Độ dịch chuyển dài của đầu mút vectơ:

- Do 𝛿 Ԧ𝑟 vuông góc với mặt phẳng chứa Ԧ𝑟 và 𝛿𝜑:

- Tương tự:

𝛿 Ԧ𝑟 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝛿𝜑

𝛿 Ԧ𝑟 = 𝛿𝜑 × Ԧ𝑟

𝛿 Ԧ𝑣 = 𝛿𝜑 × Ԧ𝑣

- Lấy biến phân của hàm Lagrange: 𝛿𝐿 = ෍

𝑗

𝜕𝐿

𝜕 Ԧ𝑟𝑗 𝛿 Ԧ𝑟𝑗 +

𝜕𝐿

𝜕 Ԧ𝑣𝑗 𝛿 Ԧ𝑣𝑗 = 0

Ԧ

𝑝𝑗 ሶԦ𝑝

𝑗

𝛿𝐿 = ෍

𝑗

ሶԦ𝑝𝑗 𝛿𝜑 × Ԧ𝑟 + Ԧ𝑝𝑗 𝛿𝜑 × Ԧ𝑣 = 0 𝑑

𝑑𝑡 ෍

𝑗

Ԧ𝑟 × Ԧ𝑝𝑗 = 0

𝐿 = ෍

𝑗

Ԧ𝑟 × Ԧ𝑝𝑗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

- Định luật bảo toàn mômen động lượng: đối với một cơ hệ kín, mômen động

lượng sẽ được giữ nguyên không đổi trong suốt quá trình chuyển động

- Tính chất:

+ Tính cộng được: mômen động lượng của cơ hệ bằng tổng mômen động

lượng của các chất điểm

+ Tính bất định: giá trị của mômen động lượng phụ thuộc vào việc lựa chọn gốc tọa độ

Bài tập: Biểu diễn các thành phần theo hệ tọa độ Descartes

(Cartesian) của mômen động lượng của hạt chuyển động trong hệ tọa độ trụ.

𝐿𝑥 = 𝑚(𝑦𝑣𝑧 − 𝑧𝑣𝑦ሻ = 𝑚 𝑟 ሶ𝑧 − 𝑧 ሶ𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜑 − 𝑚𝑟𝑧𝑐𝑜𝑠𝜑 ሶ 𝜑

𝐿𝑦 = 𝑚 𝑧𝑣𝑥 − 𝑥𝑣𝑧 = −𝑚 𝑟 ሶ𝑧 − 𝑧 ሶ𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑚𝑟𝑧𝑠𝑖𝑛𝜑 ሶ 𝜑

𝐿𝑧 = 𝑚(𝑥𝑣𝑦 − 𝑦𝑣𝑥ሻ = 𝑚𝑟2𝜑 ሶ

𝐿2 = 𝑚2𝑟2𝜑 ሶ 2 𝑟2 + 𝑧2 + 𝑚2 𝑟 ሶ𝑧 − 𝑧 ሶ𝑟 2

Đáp án