Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Không gian véc tơ

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Không gian véc tơ, cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Không gian vectơ; Không gian con sinh bởi tập hữu hạn; Cơ sở và số chiều; Tìm cơ sở một số không gian con; Độc lập - Phụ thuộc tuyến tính; Tọa độ của vec-tơ theo cơ sở. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chương 4:

Không gian véc tơ

/46

1

Nội dung

/46

2

1 Không gian vectơ

2 Kgian con sinh bởi tập hữu hạn

1 Không gian véc tơ

2 (x + y) + z = x + (y + z)

3 Tồn tại véc tơ không, ký hiệu 0 sao cho x + 0 = x

4 Mọi x thuộc V, tồn tại vectơ, ký hiệu –x sao cho

1 Không gian véc tơ

Tính chất của không gian véctơ

1) Véctơ không là duy nhất

2) Phần tử đối xứng của véctơ x là duy nhất

4) α 0 0 = α ∈ K

5) -x = (-1)x x V ∈

3) 0x = 0 x V ∈

1 Không gian véc tơ

}

V1 = ( 1, 2, 3) i ∈

),

,(

),,(),,(x1 x2 x3 y1 y2 y3 x1 y1 x2 y2 x3 y3y

),

,(

),,(x1 x2 x3 x1 x2 x3

2 2

1 1

y x

y x

y

x y

x

Ví dụ 1

V 1-Không gian véctơ trên trường R3 số thực

Định nghĩa phép cộng hai véctơ như sau:

Định nghĩa phép nhân véctơ với một số thực như

sau:

Định nghĩa sự bằng nhau:

1 Không gian véc tơ

} {ax bx c a b c R

V2 = 2 + + , , ∈

Ví dụ 2

V 2 - Không gian véctơ P2[x]

Định nghĩa phép cộng hai véctơ: là phép cộng

hai đa thức thông thường, đã biết ở phổ thông

Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: là phép nhân đa thức với một số thực thông thường, đã biết

ở phổ thông

Định nghĩa sự bằng nhau: hai véc tơ bằng nhau

nếu hai đa thức bằng nhau, tức là các hệ số

tương ứng bằng nhau)

1 Không gian véc tơ

b

a

Ví dụ 3

V 3 - Không gian véctơ M2[R]

Định nghĩa phép cộng hai véctơ: là phép cộng hai ma trận đã biết trong chương ma trận

Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: là phép nhân ma trận với một số đã biết

Định nghĩa sự bằng nhau của hai véctơ: hai véc

tơ bằng nhau hai ma trận bằng nhau

1 Không gian véc tơ

} {

V = ( , , ) x x x x ∈ R ∧ x + x + x =

Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số

giống như trong ví dụ 1

V 4 - là KGVT

Ví dụ 4

CHÚ Ý: Có nhiều cách khác nhau để định nghĩa hai

phép toán trên V 1 , ( hoặc V 2 , hoặc V 3 ) sao cho V1

( hoặc V 2 , hoặc V 3 ) là không gian véctơ

1 Không gian véc tơ

y

Ví dụ 5

1 Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

2 Véctơ x = (2,-1,3) có là tổ hợp tuyến tính của họ M?

Giải câu 1 Giả sử α ( , , ) 1 1 1 + β ( , , ) 2 1 3 + γ ( , , ) 1 2 0 = 0

Vậy véctơ x không là tổ hợp tuyến tính của M

Hệ pt vô nghiệm, suy ra không tồn tại bộ số α β γ , ,

C ó n g h i ệ m

khác không

M – độc lập tuyến tính

Trong không gian véctơ V cho họ

a Vécto 2x + 3y có là tổ hợp tuyến tính của x, y, z

b M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

Trong không gian véctơ V cho độc lập tuyến tính, z không là tổ hợp tuyến tính của x và

2 Độc lập-phụ thuộc tuyến tính

Thêm một số véctơ vào họ phụ thuộc tuyến tính ta thu được một họ phụ thuộc tuyến tính

?

Bỏ đi một số véctơ của họ độc lập tuyến tính

ta thu được họ độc lập tuyến tính

2 Độc lập-phụ thuộc tuyến tính

M ={x1, x2, !, xm, !} ⊂V

Định nghĩa hạng của họ véctơ

Hạng của họ M là k nếu tồn tại k véctơ độc lập tuyến tính của M và mọi tập con của M chứa nhiều hơn k véctơ thì phụ thuộc tuyến

tính

Hạng của họ M là số tối đại các véctơ độc lập

tuyến tính của M

2 Độc lập-phụ thuộc tuyến tính

Định lý về hạng:

Cho A là ma trận cở mxn trên trường K

Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ véctơ hàng A

Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ véctơ cột của A

2 Độc lập-phụ thuộc tuyến tính

Cho tập hợp M chứa m véctơ

1 Nếu hạng của M bằng với m (số véctơ của M) thì M độc lập tuyến tính

2 Nếu hạng của M nhỏ hơn m (số véctơ của M ) thì M phụ thuộc tuyến tính

3 Nếu hạng của M bằng với hạng của M thêm

véctơ x, thì x là tổ hợp tuyến tính của M

3 Cơ sở và số chiều

M ={x1, x2, !, xm, !} ⊂V

Định nghĩa tập sinh

Tập hợp M được gọi là tập sinh của không gian

véctơ V nếu mọi véctơ x của V là tổ hợp tuyến

tính của M Khi đó có thể nói M sinh ra V hoặc không gian véctơ V được sinh ra bởi M

3 Cơ sở và số chiều

Ví dụKiểm tra tập sau đây có là tập sinh của không gian

3 Cơ sở và số chiều

Ví dụKiểm tra tập sau đây có là tập sinh của không gian

Tồn tại x để hệ vô nghiệm, ví dụ: v =0 ( , , ) 1 2 1

Hay v 0 không là tổ hợp của M M không sinh ra R3.

V – là không gian hữu hạn

chiều dim V = Số véctơ

trong một cơ sở của V Nếu V không được sinh ra bởi tập hữu hạn, thì

V được gọi là không gian vô hạn chiều

4 Không gian véc tơ con

Tập con

V là K-kgvt

Tập con F 2 phép toán trong V K- kgvt F

Kg con F

4 Không gian véc tơ con

Tập con khác rỗng F của K-kgvt V là không gian con của V khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây thỏa

1 ∀ f g F , ∈ : f + ∈ g F

2 ∀ ∈ f F , ∀ ∈ α K : α f ∈ F

Định lý

4 Không gian véc tơ con

{ ( , , )1 2 3 3 | 1 2 2 3 0 }

F = x x x ∈ R x + x − x =

Ví dụ

1 Chứng tỏ F là không gian con của R 3

2 Tìm cơ sở và chiều của F

4 Không gian véc tơ con

Suy ra là tập sinh của F E = { (1,0,1);(0,1,2) }

Kiểm tra thấy E độc lập tuyến tính

dim( ) 2

4 Không gian véc tơ con

L(M)=Span {v1,v2, ,vn} ={ α1v1 + α2v2 + !+ αnvn ∀ αi ∈ R}

M ={v1,v2, !,vn} ⊂V

1 L(M) là không gian con của V

2 dim(L(M)) = Hạng của họ M

4 Không gian véc tơ con

hạng M = hạng M thêm vectơ x

Kgian con <M>

Chiều kgian con M = hạng M

4 Không gian véc tơ con

Cho F =< (1,1,1);(2,1,1);(3,1,1) >

Tìm cơ sở và chiều của F

Ví dụ

4 Không gian véc tơ con

Cho x = (1, 2,3); − M = {(1,1,1);(2,1,0);(3, 1,3)} −

x có thuộc không gian con sinh ra bởi M?

Ví dụ

4 Không gian véc tơ con

Cho x = (1,0, ); m M = {(1,1,1);(2,3,1);(3,2,0)}

Tìm tất cả giá trị của m để x thuộc không gian con sinh ra bởi M?

Ví dụ

4 Không gian véc tơ con

Cho F và G là hai không gian con của K-kgvt V

Giao của hai không gian con F và G là tập hợp

con của V, ký hiệu bởi

Định nghĩa giao của hai không gian con

F ∩ G = {x ∈ V | x ∈ F, x ∈ G}

Tổng của hai không gian con F và G là tập hợp

con của V, ký hiệu bởi

Định nghĩa tổng của hai không gian con

F + G = { f + g | f ∈ F, g ∈ G}

4 Không gian véc tơ con

2

Định lý

1 là hai không gian con của V F ∩ G & F +G

dim(F +G) = dim(F) + dim(G) − dim(F ∩ G)

Kết quả

F ∩ G ⊆ F ⊆ F +G ⊆V

F ∩ G ⊆ G ⊆ F +G ⊆V

4 Không gian véc tơ con

Các bước để tìm không gian con F+G

1 Tìm tập sinh của F Giả sử là {f 1 , f 2 , …, f n}

1 2 1 2

3 F G + =< f f , , , , , f g gn , , gn >

2 Tìm tập sinh của G Giả sử là {g 1 , g 2 , …, g n}

4 Không gian véc tơ con

Cho F và G là hai không gian con của R3, với

1 Tìm cơ sở và chiều của

2 Tìm cơ sở và chiều của F G +

4 Không gian véc tơ con

⇔ x = α (1,3,2) (1,3,2)

4 Không gian véc tơ con

Giải câu 2 Bước 1 Tìm tập sinh của F E =1 {(-1,1,0),(2,0,1)}

4 Không gian véc tơ con

Cho F và G là hai không gian con của R3, với

1 Tìm cơ sở và chiều của

2 Tìm cơ sở và chiều của F G +

4 Không gian véc tơ con

Cho F và G là không gian con của R3, với

1 Tìm cơ sở và chiều của

2 Tìm cơ sở và chiều của F G +

5 Tọa độ của véc tơ

Cho E={e 1 , e 2 , …, e n} là cơ sở sắp thứ tự của K-kgvt V

Định nghĩa toạ độ của véctơ

Bộ số được gọi là tọa độ của

véctơ x trong cơ sở E ( , , , ) x x1 2 x n

5 Tọa độ của véc tơ

5 Tọa độ của véc tơ

Bổ sung cơ sở

Định lý: (về cơ sở không toàn vẹn) Cho V là một kgvt hữu hạn chiều và S là một tập con độc lập tuyến tính của V Khi đó nếu S

không phải là một cơ sở của V thì có thể

thêm vào S một số véc tơ để được một cơ sở của V

Cơ sở

v   Định lý:

Cho V là một kgvt hữu hạn chiều và S là

một tập sinh của V Khi đó nếu S không phải

là cơ sở của V thì ta có thể loại bỏ một số

véc tơ của S để được một cơ sở của V

Tổng trực tiếp

v   Định nghĩa:

Cho W1, W2 là các không gian con của V Ta nói W là không gian con tổng trực tiếp của W1, W2, ký hiệu

Nếu

W!⨁W!

! = !! + !! & !! ∩ !!={0}

Tổng trực tiếp

v   Định nghĩa

Cho W1, W2, …,Wn là các không gian con

của V Ta nói W là không gian con tổng trực tiếp của W1, W2, ,Wn ký hiệu

Nếu

!!⨁!!⨁ … ⊕ !!

! = !! + !! + ⋯ + W_n & W!⋂( !!! W!)={0}