CHUYÊN Đ 1 T GIÁC VÀ HÌNH THANGỀ Ứ A/ LÝ THUY T Ế I/ T giác ứ * T giác ABCD là hình g m 4 đo n th ng AB, BC, CD, DA, trong đó b t k hai đo n th ngứ ồ ạ ẳ ấ ỳ ạ ẳ nào cũng không cùng n m trên m t đ ng[.]
Trang 1CHUYÊN Đ 1: T GIÁC VÀ HÌNH THANG Ề Ứ
A/ LÝ THUY T.Ế
I/ T giác.ứ
* T giác ABCD là hình g m 4 đo n th ng AB, BC, CD, DA, trong đó b t k hai đo n th ngứ ồ ạ ẳ ấ ỳ ạ ẳ nào cũng không cùng n m trên m t đằ ộ ường th ng.ẳ
* T giác l i là t giác luôn n m trong m t n a m t ph ng có b là đứ ồ ứ ằ ộ ử ặ ẳ ờ ường th ng ch a b tẳ ứ ấ
k c nh nào c a t giác.ỳ ạ ủ ứ
* Đ nh lý: T ng các góc c a m t t giác b ng 180ị ổ ủ ộ ứ ằ 0
II/ Hình thang
1. Đ nh nghĩa:ị
T giác ABCD là hình thang ứ
AB // CD
BC // AD 2.Tính ch t: ấ
N u m t hình thang có hai c nh đáy b ng nhau thì nó làế ộ ạ ằ
hình bình hành
3. Hình thang vuông:
Hình thang vuông là hình thang có hai góc vuông
4. Hình thang cân
T giác ABCD là hình thang cân ứ
ﾵ ﾵ
ﾵ ﾵ
AB // CD
C = D
A = B
* Tính ch t: Trong hình thang cân:ấ
+ Hai c nh bên b ng nhauạ ằ
+ Hai đường chéo b ng nhauằ
* D u hi u nhân bi t:ấ ệ ế
+ Hình thang có hai đường chéo b ng nhau là hình thang cân.ằ
+ Hình thang có hai góc chung m t c nh đáy b ng nhau là hình thang cân.ộ ạ ằ
c nh bênạ
c nh đáy l nạ ớ
c nh bênạ
c nh đáy nhạ ỏ
c nh bênạ
c nh đáy l nạ ớ
c nh bênạ
c nh đáy nhạ ỏ
c nh bênạ
c nh đáy l nạ ớ
c nh bênạ
c nh đáy nhạ ỏ
Trang 2B/ CÁC D NG TOÁN.Ạ
D NG 1: TÍNH CÁC GÓC C A T GIÁC (HÌNH THANG).Ạ Ủ Ứ
I/ Phương pháp: V n d ng các ki n th c sau:ậ ụ ế ứ
T ng các góc trong m t t giác b ng 360ổ ộ ứ ằ o
T ng hai góc k bù b ng 180ổ ề ằ o
T ng các góc trong m t tam giác b ng 180ổ ộ ằ o
Hai góc nh n trong tam giác vuông có t ng b ng 90ọ ổ ằ o
N u là hình thang, liên quan t i hai đáy song song ta có:ế ớ
+ Hai góc so le trong b ng nhau. Hai góc đ ng v b ng nhau.ằ ồ ị ằ
+ Hai góc k m t c nh bên có t ng b ng 180ề ộ ạ ổ ằ o
II/ Bài t p v n d ng.ậ ậ ụ
Bài 1: Tìm x trong các hình v sau.ẽ
Bài 2: Tìm x trong các hình v sau.ẽ
Bài 3 (Trang 66 SGK) Góc k bù v i m t góc c a t giác g i là góc ngoài c a t giác.ề ớ ộ ủ ứ ọ ủ ứ a) Tính các góc ngoài c a t giác hình a.ủ ứ ở
Trang 3b) Tính t ng các góc ngoài c a t giác hình b (t i m i đ nh c a t giác ch ch n m t gócổ ủ ứ ở ạ ỗ ỉ ủ ứ ỉ ọ ộ ngoài):
c) Có nh n xét gì v t ng các góc ngoài c a t giác?ậ ề ổ ủ ứ
Bài 4: Cho t giác ABCD góc B = 80ứ o, D = 120o góc ngoài đ nh C b ng 130ỉ ằ o. Tính góc A?
Bài 5: Cho t giác ABCD, các tia phân giác góc A và góc B c t nhau t i M. Các tia phân giác góc Cứ ắ ạ
và góc D c t nhau t i N. Ch ng minh ?ắ ạ ứ
Bài 6: Cho t giác ABCD, bi t AB = AD; góc B = 90ứ ế 0, góc A = 600, góc D = 1350,
a) Tính góc C
b) T A ta k AE vuông góc v i đừ ẻ ớ ường th ng CD. Tính các góc c a tam giác AEC.ẳ ủ
Bài 7: Cho t giác l i ABCD, bi t có góc A = góc D = 90ứ ồ ế 0 ; góc B và C khác nhau
a) Ch ng minh: AB // DC.ứ
b) Ch ng t trong hai góc B và C ph i có m t góc nh n.ứ ỏ ả ộ ọ
c) Khi góc C nh n. ch ng minh AB < DCọ ứ
Bài 8 (Trang 71 SGK Toán 8 T p 1):ậ Tìm x và y trên hình 21, bi t r ng ABCD là hình thang có đáyế ằ
là AB và CD
Bài 9 (Trang 71 SGK Toán 8 T p 1):ậ Hình thang ABCD (AB // CD) có . Tính các góc c a hìnhủ thang
Bài 10. Hình thang vuông ABCD có A = D = 90o , đường chéo BD vuông góc BC và BD = BC
a) Tính các góc trong hình thang
Trang 4b) Bi t AB = 3cm. Tính BC và CDế
Bài 11. Cho t giác ABCD bi t ứ ế ﾵB+ ﾵC = 2000, ﾵB + ﾵD = 1800; ﾵC + ﾵD = 1200
a) Tính s đo các góc c a t giác.ố ủ ứ
b) G i I là giao đi m c a các tia phân giác c a ọ ể ủ ủ ﾵA và ﾵB c a t giác Ch ng minh:ủ ứ ứ
ﾵ C Dﾵ ﾵ
AIB
2
+
=
Bài gi i:ả
a) T gi thi t ta có: ừ ả ế 2B 2C 2D 200ﾵ + ﾵ + ﾵ = 0+1800+1200 B C D 250 ﾵ + + =ﾵ ﾵ 0
Vì A B C D 360ﾵ + + + =ﾵ ﾵ ﾵ 0 �A 110ﾵ = 0
B 250= − C D+ =250 −120 =130
.
C 200= − =B 200 −130 =70 .
D 120= − =C 120 −70 =50 .
b) Trong tam giác ABI:
AIB 180
Bài 12. Cho t giác l i ABCD có ứ ồ ﾵB + ﾵD = 1800, CB = CD. Ch ng minh AC là tia phân giácứ c aủ ﾵBAD
Bài gi i:ả
Trên tia đ i tia BA l y đi m I sao cho BI = AD.ố ấ ể
Ta có ADC IBCﾵ = ﾵ (cùng bù v i gócớ ﾵABC).
AD = IB, DC = BC. T đó ta có ừ ∆ADC= ∆IBC.
Suy ra: DAC BICﾵ = ﾵ và AC = IC.
Tam giác ACI cân t i C nên ạ BAC BIC DACﾵ = ﾵ = ﾵ .
V y AC là phân giác trong góc ậ ﾵBAD
I
A
B
C D
I B
A
D
C
Trang 5Bài 13. Cho t giác l i ABCD, hai c nh AD và BC c t nhau t i E, hai c nh DC và AB c t nhau t iứ ồ ạ ắ ạ ạ ắ ạ
F. K tia phân giác c a hai góc CED và BFC c t nhau t i I. Tính góc EIF theo các góc trong t giácẻ ủ ắ ạ ứ ABCD
Bài gi i:ả
FI c t BC t i K, suy ra K thu c đo n BCắ ạ ộ ạ
EIF EKI IEK= +
( ﾵEIF là góc ngoài c aủ ∆IKE)
= ﾵB BFK IEK+ﾵ +ﾵ (ﾵCKF là góc ngoài c aủ ∆
FBK)
ﾵ 0 (ﾵ ﾵ )
BFC 180= − B C+ ﾵ
ﾵ ﾵ
BFK 90
2
+
�
2
+
V y ậ
180
D NG 2: CH NG MINH T GIÁC LÀ HÌNH THANG (HÌNH THANG CÂN).Ạ Ứ Ứ
I/ Phương pháp
Ch ng minh t giác có 2 c nh đ i song song => T giác là hình thang.ứ ứ ạ ố ứ
Ch ng minh t giác là hình thang cân:ứ ứ
+ Bước 1: Ch ng minh t giác là hình thang.ứ ứ
+ Bước 2: Ch ng minh hình thang có hai đứ ường chéo b ng nhau (hai góc k m t đáy b ngằ ề ộ ằ nhau)
II/ Bài t p v n d ng.ậ ậ ụ
Bài 1: (Bài 9 trang 71 sgk Toán 8 t p 1). ậ T giác ABCD có AB = BC và AC là phân giác c a gócứ ủ
A. Ch ng minh r ng ABCD là hình thang.ứ ằ
góc Â. Ch ng minh r ng ABCD là hình thang.ứ ằ
Bài gi i:ả
K I
F
E
A
D
C B
C D
B A
Trang 6Ta có AD = DC nên tam giác ADC cân t i D.ạ
Suy ra DCA = DAC = BACﾵ ﾵ ﾵ
Suy ra AB//CD (hai góc so le trong b ng nhau)ằ
V y ABCD là hình thang.ậ
Bài 3. Cho hình thang ABCD, đáy AB = 40cm, CD = 80cm, BC = 50cm, AD = 30cm. Ch ng minhứ
r ng ABCD là hình thang vuông.ằ
Bài gi i:ả
G i H là trung đi m c a CD. Ta có DH = CH = 40cmọ ể ủ
Xét hai tam giác ABH và CHB có:
AB = CH = 40cm, ABH CHBﾵ = ﾵ (so le trong), BH = HB
Suy ra ABH = CHB∆ ∆ (cgc) AH = CB = 50cm.
Tam giác ADH có: AD2 + DH2 =402 + 302 = 502
= AH 2 Suy ra tam giác ADH vuông t i D. V y hình thang ABCD là hình thang vuông.ạ ậ
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông t i A BC = 2cm. phía ngoài tam giác ABC v tam giác ACEạ Ở ẽ vuông cân t i E.ạ
a) Ch ng minh t giác AECB là hình thang vuông?ứ ứ
b) Tính các góc và các c nh c a hình thang AECB.ạ ủ
Bài 5: Cho ∆ ABC vuông cân t i A. Trên n a m t ph ng b BC không ch a đi m A, v BDạ ử ặ ẳ ờ ứ ể ẽ vuông góc v i BC, và BD = BCớ
a) T giác ABCD là hình gì?ứ
b) Bi t AB = 5cm. Tính CDế
Bài 6: Cho ∆ đ u ABC. T đi m O trong tam giác k đ ng th ng song song v i BC c t AC D,ề ừ ể ẻ ườ ẳ ớ ắ ở
k đẻ ường th ng song song v i AB c t CB E, k đẳ ớ ắ ở ẻ ường th ng song song v i AC c t AB F.ẳ ớ ắ ở
Ch ng minh t giác ADOF là hình thang cân.ứ ứ
Bài 7: Cho ∆ ABC cân t i A. L y đi m D trên c nh AB, đi m E trên c nh AC sao cho AD = AE.ạ ấ ể ạ ể ạ
Ch ng minh t giác BDEC là hình thang cân.ứ ứ
Bài 8: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), phân giác BD và CE. G i I là trung đi m c a BC, J làọ ể ủ trung đi m c a ED, O là giao đi m c a BD và CE. Ch ng minh: ể ủ ể ủ ứ
a) T giác BEDC là hình thang cân. ứ
H
Trang 7c) B n đi m A, I, O, J th ng hàng.ố ể ẳ
Bài 9
: Trên đo n th ng AB l y đi m C (CA > CB). Trên cùng m t n a m t ph ng b AB v các ạ ẳ ấ ể ộ ử ặ ẳ ờ ẽ tam giác đ u ACD và BCE. G i M, N, P, Q l n lề ọ ầ ượt là trung đi m c a AE, CD, BD, CE.ể ủ
a) T giác MNPQ là hình gì?ứ
b) Ch ng minh MP =ứ
D NG 3: BI T T GIÁC LÀ HÌNH THANG – CH NG MINH CÁC Y U T KHÁC.Ạ Ế Ứ Ứ Ế Ố
I/ Phương pháp
D a vào các đ c đi m c a hình thang cân, hình thang vuông: ự ặ ể ủ c nh bên b ng nhau, đ ạ ằ ườ ng chéo b ng nhau, hai góc k m t đáy b ng nhau, các góc so le trong (đ ng v ) t o b i hai đáy song ằ ề ộ ằ ồ ị ạ ở song, y u t vuông góc … ế ố đ t đó ch ng minh các y u t liên quan trong hình nh :ể ừ ứ ế ố ư
+ Hai đo n th ng b ng nhauạ ẳ ằ
+ Hai góc nào đó b ng nhauằ
+ Tam giác là tam giác cân
…
II/ Bài t p v n d ng.ậ ậ ụ
Bài 1: Hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. K đ ng cao AH, BK. Ch ng minh DH =ẻ ườ ứ CK
Bài 2: Hình thang cân ABCD có AB // CD, g i O là giao đi m hai đ ng chéo. Ch ng minh OA =ọ ể ườ ứ
OB ; OC = OD
Bài 3: Hình thang cân ABCD, đáy nh AB b ng c nh bên AD. Ch ng minh CA là tia phân giác gócỏ ằ ạ ứ C
Bài 4: Hình thang cân ABCD có đ ng chéo DB vuông góc v i c nh bên BC, DB là phân giác góc D.ườ ớ ạ
Bi t BC = 3cm. Tính chu vi hình thang.ế
Bài 5: Hình thang cân ABCD , g i O là giao đi m c a hai c nh bên AD và BC; g i E là giao đi mọ ể ủ ạ ọ ể hai đường chéo. Ch ng minh OE là đứ ường trung tr c c hai đáy.ự ủ
Bài 6. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD), O là giao đi m c a AC và BD, I là giaoể ủ
đi m c a AD và BC. ể ủ
a) Ch ng minh OA = OB, OC = OD. ứ