Càng xa khe nứt thì ứng suất trong cốt thép càng giảm vì có sự truyền lực qua lại thông qua lực dính giữa cốt thép và bê tông vùng chịu kéo, hay bê tông cũng chịu kéo một phần cùng cốt t
Trang 185
chương 7 Tính toán cấu kiện bê tông cốt thép theo trạng thái
giới hạn thứ hai (điều kiện về sử dụng) 7.1 Khái niệm chung
Ngày nay kết cấu bê tông cốt thép lắp ghép với các tiết diện thanh mảnh, các loại vật liệu có trọng lượng cao ngày càng được sử dụng rộng rãi Điều đó có thể làm cho kết cấu bê tông cốt thép bị võng xuống trong quá trình sử dụng và có nguy cơ
mở rộng khe nứt Mặt khác trong xây dựng ngày nay có những công trình yêu cầu chống nứt bê tông rất cao (không cho phép vết nứt) Do đó cần thiết phải có nghiên cứu và tính toán kết cấu bê tông cốt thép theo trạng tái giới hạn thứ 2 trạng thái về
sử dụng( độ võng và độ mở khe nứt)
7.2 Tính độ võng của cấu kiện BTCT chịu uốn
7.2.1 Đặc điểm
Cấu kiện có độ võng quá lớn sẽ có ảnh hưởng đến việc sử dụng kết cấu một cách bình thường: làm mất mỹ quan, làm bong lớp ốp, trát hoặc gây tâm lý sợ hãi cho người sử dụng Vì vậy, trong thiết kế đòi hỏi phải có tiêu chuẩn về độ võng do tải trọng gây ra không được vượt quá những giới hạn cho phép
Bảng 7.1: Một số giới hạn về độ võng lớn nhất cho phép của kết cấu BTCT
Tên cấu kiện Giới hạn độ võng
1 Dầm cần trục chạy điện (1/600)L
2 Sàn có trần phẳng, cấu kiện của mái
Khi nhịp L < 6m Khi 6L ≤ 7,5m Khi L > 7,5m
(1/200)L 3cm (1/250)L
ở đây L là nhịp tính toán của dầm hoặc bản kê lên hai gối Với các công xôn thì L = 2L1
(L1 - là độ vươn xa của công xôn)
Khi tính toán độ võng cho cấu kiện, ta phải tính với tải trọng tiêu chuẩn vì đấy là tải trọng tác dụng lên kết cấu khi làm việc bình thường Trong trường hợp có vượt tải cũng chỉ là nhất thời, độ võng tăng lên nhất thời sau đó sẽ trở lại bình thường
Do đó khi tính toán cần phân biệt tải trọng tác dụng dài hạn và tải trọng tác dụng ngắn hạn Tải trọng dài hạn bao gồm trọng lượng bản thân và một phần của tải trọng sử dụng, trong tiêu chuẩn của nhà nước "tải trọng và tác động " (TCVN-2737-90) có đưa ra những quy định cụ thể
7.2.2 Độ cong của trục dầm và độ cứng của dầm
Độ cứng của dầm có thể được xác định bằng công thức sau (trong môn SBVL):
EJ
M
=
ρ
1
(7.1) Trong đó:
M - mô men gây uốn 1/ρ - độ cong của trục dầm
EJ - độ cứng của dầm với vật liệu là đàn hồi đồng nhất và đẳng hướng
Bê tông cốt thép là vật liệu đàn hồi dẻo, không đồng nhất đẳng hướng, thường có khe nứt ở vùng chịu kéo lên không thể lấy EJ làm độ cứng của dầm được Người ta thường gọi độ cứng của dầm bê tông cốt thép là B theo mối quan hệ sau:
Trang 286
B
M
=
ρ
1
(7.2)
7.2.2.1 Trạng thái ứng suất biến dạng của dầm sau khi xuất hiện khe nứt
Xét quá trình làm việc của một dầm BTCT chịu uốn thuần tuý, sau khi xuất hiện khư nứt thì trạng thái ứng suất biến dạng có một số đặc điểm sau:
- Trục trung hoà có hình lượn sóng Chiều cao vùng chịu nén ở tiết diện có khe nứt
sẽ có giá trị nhỏ nhất là x như hình vẽ (7.1)
σ bk
l n
l n
σ b
σ a F a
Hình 7.1 Trạng thái ứng suât biến dạng của dầm sau khi xuất hiện khe nứt
Tại vị trí khe nứt thì ứng suất nén của thớ bê tông ngoài cùng kí hiệu là σb Gọi xtb
là chiều cao trung bình của vùng chịu nén và σtb là ứng suất trung bình của thớ bê tông ngoài cùng vùng chịu nén thì ta có mối quan hệ như sau:
σtb = ψbσb (7.3) với ψb ≤ 1
Đồng thời bằng thực nghiệm người ta cũng xác định được quan hệ của x và xtb như sau:
) 1 100
7 , 0 1 (
+
ư
=
à
tb
x
x (7.4)
- Tại tiết diện có khe nứt, ứng suất của cốt thép có giá trị lớn nhất vì bê tông không
có tác dụng chịu kéo nữa và kí hiệu giá trị ứng suất max đó là σa Càng xa khe nứt thì ứng suất trong cốt thép càng giảm vì có sự truyền lực qua lại (thông qua lực dính) giữa cốt thép và bê tông vùng chịu kéo, hay bê tông cũng chịu kéo một phần cùng cốt thép Khả năng chịu kéo của bê tông chưa đến trạng thái giới hạn Gọi giá trị trung bình của ứng suất trong cốt thép chịu kéo là σatb ta có:
σatb = ψaσa (7.5) Trong đó: ψa - hệ số xét đến sự làm việc chịu kéo của bê tông nằm giữa hai khe nứt
ψa ≤ 1
- Càng xa khe nứt thì ứng suất kéo trong bê tông càng tăng và đạt giá trị cực đại ở tiết diện giữa 2 khe nứt
Trang 387
- Chấp nhận giả thiết tiết diện ngang luôn thẳng góc với một dầm quy ước có chiều cao vùng nén là xtb, biến dạng tỉ đối của vùng bê tông nén là εbtb và biến dạng tỉ đối của cốt thép là εatb được xác định theo công thức sau:
εatb =
a
a a a
atb
E E
σ ψ
(7.6)
εbtb =
b
b b ba
btb
E
σ ψ
(8.7)
Người ta thường lấy ψb = 0,9 còn giá trị ψa được xác định bằng tính toán
- Tại tiết diện có khe nứt, biểu đồ ứng suất trong vùng bê tông chịu nén được coi như hình chữ nhật như hình vẽ (7.1) Cân bằng mô men nội lực và ngoại lực ta có:
1
Z F
M
a
c
σ (7.8)
1
Z F
M
b
c
σ (7.9) Trong đó:
Fa - diện tích cốt thép chịu kéo
Fb - diện tích vùng bê tông chịu nén
Z1 - cánh tay đòn của nội ngẫu lực tại tiết diện có khe nứt
Trong trường hợp có đặt cốt thép ở cả vùng chịu nén và vùng chịu kéo, phải qui đổi diện tích cốt thép chịu nén Fa/ thành diện tích bê tông tương đương, khi đó:
1
Z F
M
bq
c
σ (7.10) Trong đó: Fbq - Diện tích quy đổi của vùng bê tông chịu nén
Fbq = Fb +
v
n
Fa/ (7.11)
ở đây: n - tỷ số mô đun đàn hồi của cốt thép và bê tông n =
b
a
E E
ν - Hệ số đàn hồi đặc trưng cho tính đàn hồi dẻo của bê tông vùng nén, phụ thuộc vào độ ẩm của môi trường và tính chất dài hạn, ngắn hạn của tải trọng
ν = 0,45 đối với tải trọng ngắn hạn
ν = 0,15 đối với tải trọng dài hạn và độ ẩm của môi trường lơn hơn 40%
7.2.2.2 Độ cong của trục dầm và độ cứng của dầm
Xét đoạn dầm nằm giữa hai khe nứt, khoảng cách giữa hai khe nứt trên trục trung hoà là ln bán kính cong trung bình của đoạn dầm là ρ sơ đồ tính như hình vẽ (7.2)
Từ phép tính đồng dạng trong tam giác ta có:
0
) (
h
l
l n εatb εbtb n ρ
+
= (7.12)
Từ đó rút ra được độ cong của trục dầm được xác định theo công thức sau:
0
) (
1
h
btb
ε ρ
+
= (7.13)
Trang 488
h0
l n
ε atb l n
εtbb.l n
Hình 7.2: Sơ đồ xác định độ cong của trục dầm
Thay các giá trị của (7.6), (7.7) , (7.8), (7.9) vào biểu thức (7.13) ta có độ cong của trục dầm nh− sau:
) (
1
1
b a
a a c
F E F E Z h
M
ν
ψ ψ
Mặt khác
B
M
=
ρ
1
Nên ta có:
) (
1
b a
a a c
F E F E Z h
M B
M
ν
ψ ψ
+
= từ đây ta có thể suy ra đ−ợc độ cứng của dầm B nh− sau:
bq b b a
a
a
F E F E
Z h B
ν
ψ ψ
+
= 0 1 (7.15)
Từ công thức (7.15) ta thấy rằng độ cứng của dầm BTCT không những phụ thuộc vào đặc tr−ng hình học h0, Z1 của tiết diện dầm, mà còn phụ thuộc vào tính chất đàn hồi dẻo của bê tông Để tăng độ cứng của cấu kiện (giảm độ võng) thì tăng chiều cao tiết diện là có hiệu quả nhất so với tăng diện tích cốt thép, tăng số hiệu của bê tông hay tăng bề rộng của tiết diện
7.2.2.3 Xác định diện tích quy đổi F bq của vùng bê tông chịu nén
- Xác định chiều cao vùng bê tông chịu nén:
Có thể xác định x thông qua công thức )
1 100
7 , 0 1 (
+
−
=
à
tb x
sử dụng nhiều hệ số thực nghiệm Tiêu chuẩn cho phép tính chiều cao x theo công thức thực nghiệm với tiết diện chữ I (Hình 7.3) nh− sau:
Trang 589
F a
σ a
F a
σ a
D
Hình 9.3: Tiết diện chữ I và sơ đồ ứng suất
n
T L h
x
à
ξ
10
) ( 5 1 8 , 1
1
+
=
Trong đó:
2 0
bh R
M L
nc
c
2 1 ( δ
=
0
/
h
h c
=
′
0
bh
F a
=
b
a E
E
0
/ /
) ( ) (
bh
F v
n h b
=
′
γ
Đối với tiết diện chữ nhật hay chữ T có cánh nằm trong vùng kéo, cho hc/ = 0 Khi 0
/
h
h c
<
ξ thì tính toán như đối với tiết diện chữ nhật có chiều rộng là Bc
Đối với tiết diện chữ nhật có kể đến cốt chịu nén Fa/ thì lấy
0
2
h
a′
=
′
Nếu
0
h
a′
<
ξ thì phải tính lại với điều kiện không kể đến cốt thép Fa/ Biết chiều cao tương đối của vùng bê tông chịu nén có thể xác định được diện tích
bê tông quy đổi của vùng nén
Fbq = (γ′ + ξ)bh0 (7.17)
7.2.2.4 Xác định cánh tay đòn Z 1
Z1 là khoảng cách từ trọng tâm cốt thép Fa đến điểm đặt của hợp lực vùng nén tại tiết diện có khe nứt (tức là lực D trong hình 7.3) Với giả thiết biểu đồ ứng suất của vùng bê tông chịu nén có dạng hình chữ nhật, thì trị số Z1 được xác định theo công thức sau:
0
0 1
) (
) (
bh
a h F v
n S F
S Z
a b
bq
bq
ξ
γ ′ +
′
ư
′ +
=
= (7.18)
Trong đó:
Sbq - mô men tĩnh của diện tích vùng nén đã được quy đổi với trục đi qua trọng tâm cốt chịu kéo
Fbq - Diện tích bê tông quy đổi vùng nén Sau khi biến đổi ta có Z1 được xác định bằng công thức sau:
Trang 690
2 1
) ( 2
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
′
+
′
′
ư
=
ξ γ
ξ γ δ
(7.19)
7.2.2.5 Xác định hệ số ψa
Có thể xác định ψa theo công thức thực nghiệm sau:
1 25
,
= kc c n a
M
W R S
ψ (7.20) Trong đó:
S - hệ số xét đến ảnh hưởng của tải trọng dài hạn và loại cốt thép
+ Khi tải trọng ngắn hạn:
S = 1,1 với cốt thép có gờ; S = 1,0 với cốt tròn trơn
+ Khi tải trọng tác dụng dài hạn:
S = 0,8 với các loại cốt thép
Wn - mô men kháng đàn hồi dẻo của tiết diện quy đổi ngay trước khi nứt đối với thớ chịu kéo ngoài cùng
F a
F a
b c
R kc 2R kc
σ a
σ b
F a
σ a
F a
B c
M n
Hình 7.4: Biểu đồ ứng suất trên tiết diện ngang ngay trước khi nứt
Gọi Mn là mô men mà tiết diện chịu được (khả năng chịu lực) ngay trước khi xuất hiện vết nứt, có thể viết:
Mn = RkcWn (7.21) Chấp nhận biểu đồ ứng suất trong tiết diện ngay trước khi nứt như trên hình (7.4) (tức là ν = 0,5 đối với bê tông kéo và ν = 1 đối với bê tông vùng vùng nén) và giả thiết tiết diện phẳng, bằng phương trình hình chiếu các lực lên phương trục của cấu kiện (sau khi tính các giá trị σb, σa, σa/ theo Rkc) có thể xác định được chiều cao vùng chịu nén x theo công thức sau:
c qd
a c
c
F F
F n F
bh h
x
ư
′
′
ư +
′
′
ư +
ư
=
=
2
) 1 ( 2 ) 1 ( 2
Trong đó:
Fc/ = (Bc - b)hc/
Fc = (bc - b)hc ;
h
h c
c
2
′
=
′
h
a′
=
′
δ
Fqd = bh + Fc/ + Fc + n(Fa +Fa/)
Trang 791
Viết phương trình cân bằng mô men nội và ngoại lực đối với trục song song và cách mép trên của tiết diện một đoạn x/3 rồi so sánh với (7.21) ta sẽ nhận được Wn theo công thức sau:
) 3 ( 2
) 3 ( 2
) 2 3 ( ) 5 , 0 ( 2 ) 3 2 ( ) 6 2 )(
(
x h
a x F n
x h nF
h x x
h
h x F x h h F x h x h b W
a a
c c
c c
c n
′
ư
ư
′
ư
′ +
ư +
′
ư
ư
′
ư
′ +
ư
ư + +
ư
=
(7.22)
Đối với tiết diện chữ nhật đặt cốt thép đơn:
) 1 ( 2
1 1
) (
2
1
1
à
ξ
n nF
bh
bh h
x
+
ư
=
= (7.23)
Với
bh
F a
= 1
à Từ đó ta có:
) 3 ( 2 ) 6 2 )(
(h x h x nF h0 x b
W n = ư + + a ư (7.24) Trong thực tế có thể lấy gần đúng giá trị ξ= 1/2, khi đó công thức (7.22) sẽ có giá trị gần đúng như sau:
2
1
1 0 , 15 ) 75
, 0 292 , 0
W n = + γ + γ′ (7.25) Với:
bh
nF h
b
( 1
+
ư
=
bh
F n h b
=
′ ( ) 1
γ Công thức (7.25) cho giá trị sai không đáng kể khi nà1 ≤ 0,25 và γ1′ ≤ 0,3
Đối với tiết diện chữ nhật không có cốt thép (Fa = Fa/ = 0) ta có ξ= 1/2, khi đó Wn mang ký hiệu Wbn và có giá tri như sau:
Wbn = (7/24)bh2 (7.26) tức là mô men kháng đàn hồi dẻo lớn hơn mô men đàn hồi 7/4 lần Cũng có thể xác
định Wn từ mô men kháng đàn hồi W0:
Wn = γW0 (7.27) Trong đó: γ - hệ số kể đến biến dạng không đàn hồi của bê tông vùng kéo và phụ thuộc vào hình dạng tiết diện Trị số γ cho trong phụ lục 10
7.2.8 Tính độ võng của dầm
7.2.8.1 Dầm đơn giản có tiết diện không đổi
Sơ đồ tính toán thể hiện như hình vẽ (7.5)
d)
a)
b)
c)
Mc2/ B 1 c
M 1/ B 1
B 1= B min
M maxc
c
M 1=
P1c
l
P2c
Hình 7.5: Độ cứng và độ cong của dầm đơn giản
a) sơ đồ tải trọng b) sơ đồ mô men c) sơ đồ độ cứng d) sơ đồ độ cong
Trang 892
Độ cứng B của dầm không chỉ phụ thuộc vào kích thước tiết diện bê tông, diện tích cốt thép mà còn phụ thuộc vào độ lớn của tải trọng Như vậy, cho dù dầm có tiết diện và cốt thép dọc không đổi dọc theo trục của nó, nếu mô men tải trọng thay đổi thì độ cứng B của dầm cũng thay đổi, nên độ cứng của dầm được xác định dựa vào giá trị mô men cực đại
Ví dụ đối với dầm đơn giản một nhịp l, chịu tải trọng phân bố đều q, độ võng f ở giữa nhịp được tính theo công thức sau:
max 2
4
) min
( 48
5 min 384
5
l B
M B
ql
Trong đó: Mmax = ql2/8
Đối với các dạng dầm và tải trọng khác nhau có thể biểu diễn một cách tổng quát
minl
B
M
f =β (7.29) Trong đó: β - hệ số phụ thuộc sơ đồ dầm và sơ đồ tải trọng
Chú ý:
ρ
1 min
max =
B
M
chính là độ cong của dầm dọc theo trục của nó hình(7.5d) Có thể tính được độ võng của một tiết diện bất kỳ bằng cách tính mô men tại tiết diện đó trên dầm ảo do tải trọng M/Bmin gây ra theo phương tải trọng ảo
7.2.8.2 Dầm liên tục
Đối với dầm liên tục, người ta xem độ cứng là không thay đổi trên cả đoạn dầm có mô men cùng dấu Độ cứng của dầm được xác định dựa vào giá trị mô men lớn nhất tác dụng trên đoạn dầm đó
M 2 / B 2
c
M 1 / B 1
B 2
c
B 1
M 2
M 1
d )
a )
b )
c )
c
M 5 / B 5
c
M 4 / B 4
B 5
B 4
B 3
c
M 5
c
M 4
c
M 3
c
M 3 / B 3
Hình 7.6: Sự thay đổi độ cứng và độ cong dọc theo dầm liên tục a) Sơ đồ dầm ; b) Sơ đồ mô men ; c) Sơ đồ độ cứng ; d) Sơ đồ độ cong
7.2.8.3 Độ võng toàn phần của dầm
Độ võng toàn phần của dầm là độ võng do cả tải trọng ngắn hạn và tải trọng dài hạn gây ra Theo tiêu chuẩn thiết kế, độ võng toàn phần được xác định như sau:
f = f1 - f2 + f3 (7.30) Trong đó:
f1 - độ võng do tác dụng ngắn hạn của toàn bộ tải trọng gây ra
f2 - độ võng do tác dụng ngắn hạn của tải trọng dài hạn
f3 - độ võng do tác dụng dài hạn của tải trọng dài hạn
Trang 993
Khi tính f1 và f2 các giá trị ν và ψa phải ứng với tính chất ngắn hạn của tải trọng, còn khi tính f3 các giá trị ν và ψa ứng với tính chất dài hạn của tải trọng
Sau khi tính được độ võng f, tiêu chuẩn thiết kế còn yêu cầu điều chỉnh (tăng hoặc giảm) để xét đến những sai lệch do thi công và ảnh hưởng của lực cắt
7.3 Tính bề rộng của khe nứt
7.3.1 Đặc điểm
Đối với cấu kiện bê tông cốt thép nói chung, khe nứt có thể xuất hiện do biến dạng ván khuôn, do co ngót của bê tông, do sự thay đổi nhiệt độ và độ ẩm, do tác dụng của tải trọng và các tác động khác Khi trong bê tông xuất hiện ứng suất kéo vượt quá giới hạn cường độ chịu kéo của bê tông thì bê tông bắt đầu nứt ở thời điểm mới nứt, mắt thường khó nhận ra được, chỉ khi bề rộng khe nứt từ 0,005mm trở lên mới thấy được Khe nứt có thể làm cho bê tông mất khả năng chống thấm, cốt thép trong bê tông bị ăn mòn vì tác dụng xâm thực của môi trường Tuy nhiên không phải mọi khe nứt xuất hiện đều nguy hiểm, ngay cả khi có tải trọng tác dụng vẫn có thể cho phép hoặc không cho phép xuất hiện khe nứt Theo tiêu chuẩn thiết kế, khả năng chống nứt của kết cấu được chia thành ba cấp phụ thuộc vào điều kiện làm việc của chúng và loại cốt thép được dùng
Cấp I: Không cho phép xuất hiện khe nứt Cấp II: Cho phép có khe nứt ngắn hạn với bề rộng hạn chế, khi tải trọng ngắn hạn thôi tác dụng thì khe nứt phải khép kín trở lại
Cấp III: Cho phép khe nứt với bề rộng hạn chế
Những yêu cầu chi tiết về chống nứt cho trong phụ lục 11
7.3.2 Bề rộng khe nứt trên tiết diện thẳng góc
7.3.2.1 Công thức tổng quát a n
Bề rộng của khe nứt tại vị trí của cốt dọc được xác định từ điều kiện hình học sau
đây: dộ giãn dài của thớ bê tông ở ngang tầm cốt dọc cộng với bề rộng khe nứt bằng độ giãn dài của cốt dọc như hình 7.7:
bk n n
ε (7.31)
εa l n+ l n
a n /2
Hình 7.7: Sơ đồ khe nứt
Trang 1094
Trong đó:
εatb - biến dạng trung bình của cốt dọc
ln - khoảng cách giữa hai khe nứt
an - bề rộng khe nứt
∆bk - độ giãn của thớ bê tông ở ngang tầm cốt dọc
Vì độ giãn ∆bk của bê tông chịu kéo rất bé so với độ giãn của cốt thép dọc, do đó có thể bỏ qua Nh− vậy công thức bề rộng khe nứt có dạng:
a n = εatb l n (7.32)
Trong đó:
εatb = ψaσa/Ea (7.33)
Với σa là ứng suất của cốt thép ở tiết diện có khe nứt Thay vào biểu thức (7.32) ta có:
an = ψa(σa/Ea)ln (7.34)
Từ (7.34) có thể thấy rằng bề rộng khe nứt sẽ lớn nếu ứng suất làm việc của cốt thép lớn và các khe nứt ở cách xa nhau
Đối với cấu kiện chịu uốn giá trị σa và ψa đ−ợc xác định giống khi tính độ võng
7.3.2.2 Khoảng cách giữa các khe nứt
Xét một dầm có trị số mômen uốn không đổi Khi ứng suất kéo trong bê tông đạt
đến trị số tới hạn Rkc thì khe nứt đầu tiên xuất hiện tại tiêt diện nào đó mà bê tông chịu kéo yếu nhất Tại vị trí có khe nứt, ứng suất kéo trong bê tông bằng không, ứng suất kéo trong cốt thép là σan nh− hình (7.8) Càng xa tiết diện bị nứt, ứng suất kéo của bê tông tăng dần do có sự truyền lực từ cốt thép sang bê tông thông qua lực dính, còn ứng suất trong cốt thép thì giảm dần Tại tiết diện mà ứng suất kéo trong
bê tông đạt tới Rkc lại xuất hiện một khe nứt mới
τ d)
Rkc c)
σan b)
f) e)
a)
σa1
σbk
l n
σak
Quá trình xuất hiện khe nứt cứ tiếp tục nh− vậy Gọi ln là khoảng cách giữa 2 khe nứt, tức là khoảng cách từ khe nứt đầu tiên đến tiết diện gần nhất mà tại đó ứng suất kéo trong bê tông đạt đến Rkc Tại tiết diện mà ứng suất kéo trong bê tông đạt giá trị Rkc thì ứng suất trong cốt thép sẽ là:
Hình 7.8: Sơ đồ ứng suất của bê tông
và cốt thép chiu kéo sau khi xuất
hiện khe nứt a) Sơ đồ khe nứt;
b), c), d) ứng suất trong cốt thép, bê tông
và lực dính ngay sau khi xuất hiện khe nứt thứ nhất bên trái
f) ứng suất trong cốt thép, bê tông ngay sau khi có vết nứt thứ 2 bên phải