A Đ T V N Đ Ặ Ấ Ề Hi n nay, s nghi p giáo d c và đào t o đang đ i m i tr c yêuệ ự ệ ụ ạ ổ ớ ướ c u phát tri n kinh t xã h i theo h ng công nghi p hoá và hi n đ iầ ể ế ộ ướ ệ ệ ạ hoá c a đ t n c Đó l[.]
Trang 1A. Đ T V N Đ :Ặ Ấ Ề
Hi n nay, s nghi p giáo d c và đào t o đang đ i m i trệ ự ệ ụ ạ ổ ớ ước yêu
c u phát tri n kinh t xã h i theo hầ ể ế ộ ướng công nghi p hoá và hi n đ iệ ệ ạ hoá c a đ t nủ ấ ước. Đó là đào t o con ngạ ười năng đ ng, sáng t o, chộ ạ ủ
đ ng trong h c t p, thích nghi t t v i cu c s ng và lao đ ng. Vì th ,ộ ọ ậ ố ớ ộ ố ộ ế
người giáo viên bên c nh vi c d y cho h c sinh n m v ng các n iạ ệ ạ ọ ắ ữ ộ dung c b n v ki n th c, còn ph i d y cho h c sinh bi t suy nghĩ, tơ ả ề ế ứ ả ạ ọ ế ư duy sáng t o, t o cho h c sinh có nhu c u nh n th c trong quá trìnhạ ạ ọ ầ ậ ứ
h c t p.ọ ậ Trong t t cá các môn h c c p THCS, toán h c nói chung và hìnhấ ọ ấ ọ
h c nói riêng thì hình h c là m t phân môn r t quan tr ng trong vi cọ ọ ộ ấ ọ ệ rèn luy n tính lôgic, t duy sáng t o, giúp h c sinh không nh ng h cệ ư ạ ọ ữ ọ
t t môn Toán mà còn có th h c t t các môn h c khác. Vi c khai thác,ố ể ọ ố ọ ệ phát tri n m t bài toán đ n gi n góp ph n r t quan tr ng trong vi cể ộ ơ ả ầ ấ ọ ệ nâng cao năng l c t duy cho h c sinh. Qua nhi u năm gi ng d y, b nự ư ọ ề ả ạ ả thân tôi nh n th y:ậ ấ
Các giáo viên gi ng d y toán đ u đánh giá cao t m quan tr ng c aả ạ ề ầ ọ ủ
vi c khai thác, phát tri n t m t bài toán mà h c sinh đã gi i đệ ể ừ ộ ọ ả ượ c
Vi c khai thác gi thi t, khai thác sâu thêm k t qu c a bài toán đ t oệ ả ế ế ả ủ ể ạ
ra các bài toán khác (đ n gi n ho c ph c t p h n)ơ ả ặ ứ ạ ơ là r t quan tr ng vàấ ọ
có ích. Nó không ch giúp ngỉ ườ ại d y và ngườ ọi h c n m b t kĩ ki nắ ắ ế
th c c a m t d ng toán mà nó còn nâng cao tính khái quát hoá, đ c bi tứ ủ ộ ạ ặ ệ hoá, t ng quát hoá m t bài toán; t đó phát tri n t duy, nâng cao tínhổ ộ ừ ể ư sáng t o, linh ho t cho các em h c sinh; giúp cho h c sinh n m ch c,ạ ạ ọ ọ ắ ắ
hi u sâu r ng ki n th c h n m t cách lôgic, khoa h c; t o h ng thúể ộ ế ứ ơ ộ ọ ạ ứ yêu thích b môn toán h n. Nh ng h u h t h c sinh ( k c h c sinhộ ơ ư ầ ế ọ ể ả ọ khá gi i) sau khi gi i xong m t bài toán đ u thoã mãn v i nó mà khôngỏ ả ộ ề ớ
có ý th c khai thác, phát tri n nó thành chùm bài toán liên quan nhau.ứ ể Chính đi u này làm h n ch s phát tri n t duy, tính sáng t o và linhề ạ ế ự ể ư ạ
ho t c a h c sinh. ạ ủ ọ Chúng ta bi t r ng, m i m t bài toán đ u có gi thi t và k t lu nế ằ ỗ ộ ề ả ế ế ậ
c a nó. Vi c ch ng minh k t lu n đó là yêu c u b t bu c h c sinhủ ệ ứ ế ậ ầ ắ ộ ọ
ph i th c hi n. Song, chúng ta c n rèn cho h c sinh suy nghĩ đ ng sauả ự ệ ầ ọ ằ
Trang 2l p 8 tôi xin trao đ i kinh nghi m: ớ ổ ệ “Khai thác và phát tri n t m t ể ừ ộ bài toán đ n gi n đ b i d ơ ả ể ồ ưỡ ng toán 8“.
B. GI I QUY T V N Đ Ả Ế Ấ Ề
Chúng ta b t đ u b ng bài toán c b n sau:ắ ầ ằ ơ ả Bài toán 1 ( Bài toán c b n):ơ ả
Cho hình vuông ABCD. G i I là mọ ột đi m thay đ i trên c nh AB.ể ổ ạ
Đường th ng qua D vuông góc v i DI c t tia BC t i L. Ch ng minhẳ ớ ắ ạ ứ
r ng: Tam giác DIL cân. ằ
Hướng d n:ẫ
ADI, CDL có:
AD=CD = =90 ( tính ch t hình vuông)ấ = ( cùng ph v i )ụ ớ
ADI = CDL ( c.g.c)
DI = DL
V y : ậ DIL cân t i D. ạ
Khai thác bài toán: T bài toán 1, n u ta k đ ng phân giác c từ ế ẻ ườ ắ
c nh BC t i M. ạ ạ
3 2 1
L
D
I A
M
A
I B C
D
L
1 2
3
Trang 3Khi đó: = 45 LDM = IDM
ML = MI
P = IB + BM + MI = IB + BM + ML = IB + BC + CL = BC + BA = P ( V i P là chu vi )ớ
Do đó ta có bài toán 2 sau đây:
Bài toán 2:
Cho hình vuông ABCD. G i I là mọ ột đi m thay đ i trên c nh AB.ể ổ ạ
L y đi m M trên c nh BC sao cho = 45 . ấ ể ạ
Ch ng minh r ng: Chu vi ứ ằ IBM b ng m t n a chu vi hình vuôngằ ộ ữ ABCD
Hướng d n:ẫ
Nh v y t bài toán 1, ta c n ph i t o ra ư ậ ừ ầ ả ạ ADI = CDL ( c.g.c)
b ng cách v thêm đằ ẽ ường ph nh sau:ụ ư Trên tia đ i c a tia CB, l y đi m L sao cho CL=AIố ủ ấ ể
3 2
4 45°
1
L
D
B I A
M
Trang 4Do đó: P = IB + BM + MI = IB + BM + ML = IB + BM + CL + CM = IB + BM + AI + CM = (BI + AI) + (BM + MC) = AB + BC= P
Đ d y cho h c sinh đ i trà, ta có th chia bài toán thành nhi u ý ể ạ ọ ạ ể ề
nh sau: ư
“Cho hình vuông ABCD. G i I là m ọ ộ t đi m thay đ i trên c nh AB ể ổ ạ
L y đi m M trên c nh BC sao cho = 45 . ấ ể ạ
a, Trên tia đ i c a tia CB, l y đi m L sao cho CL=AI. Ch ng minh ố ủ ấ ể ứ
r ng: ằ CLD = AID.
b, Ch ng minh r ng: ML = MI ứ ằ
c, Ch ng minh r ng: Chu vi ứ ằ IBM b ng m t n a chu vi hình ằ ộ ữ vuông ABCD.”
Khai thác bài toán: Đ t câu h i ng c l i v i bài toán 2, n u chuặ ỏ ượ ạ ớ ế
vi IBM b ng m t n a chu vi hình vuông ABCD thì s đo = 45 hayằ ộ ữ ố không?
Ta có ti p bài toán 3 sau đây:ế Bài toán 3:
Cho hình vuông ABCD. G i I là mọ ột đi m thay đ i trên c nh AB.ể ổ ạ
L y đi m M trên c nh BC sao cho chu vi ấ ể ạ IBM b ng m t n a chu viằ ộ ữ hình vuông ABCD. Ch ng minh r ng: = 45. ứ ằ
Hướng d n:ẫ
V n t bài toán 1, ta c n ph i t o ra ẫ ừ ầ ả ạ ADI = CDL ( c.g.c) b ngằ cách v thêm đẽ ường ph nh sau:ụ ư
Trên tia đ i c a tia CB, l y đi m L sao cho CL=AIố ủ ấ ể
4
M
A
I B C
D
L
1 2 3
Trang 5CLD= AID (c.g.c) DL=DI, = (1)
Ta có:P = P
IB + BM + MI = AB + BC
IB + BM + MI = BI + AI + BM + MC
MI = AI + MC (2)
T 1,2 suy ra: MI = CL + MC = MLừ LDM = IDM (c.c.c)
= hay + = + =
Mà + + = = 90 ( tính ch t hình vuông)ấ = 45.
V y : = 45 ậ
Đ d y cho h c sinh đ i trà, ta có th chia bài toán thành nhi u ý ể ạ ọ ạ ể ề
nh sau: ư
“Cho hình vuông ABCD. G i I là m ọ ộ t đi m thay đ i trên c nh AB ể ổ ạ
L y đi m M trên c nh BC sao cho chu vi ấ ể ạ IBM b ng m t n a chu vi ằ ộ ữ hình vuông ABCD.
a, Trên tia đ i c a tia CB, l y đi m L sao cho CL=AI. Ch ng minh ố ủ ấ ể ứ
r ng: ằ CLD= AID.
b, Ch ng minh r ng: ứ ằ LDM = IDM
c, Ch ng minh r ng: = 45.” ứ ằ Khai thác bài toán: Trong bài toán 3, chu vi IBM b ng m t n aằ ộ ữ chu vi hình vuông ABCD. Nên chu vi IBM b ng 2a ( v i a là đ dàiằ ớ ộ
Trang 6thay đ i trên c nh AB. L y đi m M trên c nh BC sao cho chu vi ổ ạ ấ ể ạ IBM
b ng m t n a chu vi hình vuông ABCD. Xác đ nh v trí c a đi m M vàằ ộ ữ ị ị ủ ể
I đ di n tích ể ệ DMI đ t giá tr l n nh t và tìm giá tr đó?ạ ị ớ ấ ị
Hướng d n:ẫ
Theo bài toán 3, thì CLD = AID (c.g.c); LDM = IDM (c.c.c)
S = S ( S + S + S ) = S ( S + S + S ) = S ( S + S ) = S ( S + S ) 2S = S S
S = S S = a S
S a. D u “ = “ x y ra khi và ch khi S = 0 ấ ả ỉ
I B và M C ho c I ặ A và M B
V y: S đ t giá tr l n nh t là a khi và ch khi I ậ ạ ị ớ ấ ỉ B và M C
ho c ặ
I A và M B
Bài toán này ch y u dành cho h c sinh gi i ủ ế ọ ỏ Khai thác bài toán: Tr l i bài toán 1, khi đi m I thay đ i trên ABở ạ ể ổ kéo theo đ dài đo n th ng LI cũng thay đ i. Nên trung đi m M c a LIộ ạ ẳ ổ ể ủ
là m t đi m di đ ng nh ng kho ng cách t M t i D và t i B thì nhộ ể ộ ư ả ừ ớ ớ ư
th nào v i nhau? DB là đo n th ng c đ nh vì sao? V y M di đ ngế ớ ạ ẳ ố ị ậ ộ trên đường c đ nh nào?ố ị
4
M
A
I B C
D
L
1 2 3
Trang 7V i s khai thác gi thi t bài toán 1 theo hớ ự ả ế ướng này cho ta bài toán ch ng minh đi m di đ ng trên m t đứ ể ộ ộ ường c đ nh nh sau:ố ị ư
Bài toán 5:
Cho hình vuông ABCD. G i I là mọ ột đi m thay đ i trên c nh AB.ể ổ ạ
Đường th ng qua D vuông góc v i DI c t tia BC t i L. M là trung đi mẳ ớ ắ ạ ể
c a IL.Ch ng minh r ng: M di chuy n trên đủ ứ ằ ể ường c đ nh khi I thayố ị
đ i trên AB.ổ
Hướng d n:ẫ
DIL vuông t i D(gt) và M là trung đi m c a c nh huy n ILạ ể ủ ạ ề
MD = LI (1) BIL vuông t i B(gt) và M là trung đi m c a c nh huy n ILạ ể ủ ạ ề
MB = LI ( 2). T 1,2 suy ra: MD = MBừ
M cách đ u hai đ u đo n th ng BDề ầ ạ ẳ
Mà đo n th ng c đ nh BD ( do hình vuông ABCD c đ nh) nênạ ẳ ố ị ố ị
đường trung tr c c a BD c đ nh khi I thay đ i trên AB.ự ủ ố ị ổ
V y: M di đ ng đậ ộ ường trung tr c BD c đ nh khi I thay đ i trênự ố ị ổ AB
Đ d y cho h c sinh đ i trà, ta có th vi t bài toán thành nh ể ạ ọ ạ ể ế ư sau:
Cho hình vuông ABCD. G i I là m ọ ộ t đi m thay đ i trên c nh AB ể ổ ạ
Đ ườ ng th ng qua D vuông góc v i DI c t tia BC t i L. M là trung đi m ẳ ớ ắ ạ ể
c a IL.Ch ng minh r ng: M n m trên đ ủ ứ ằ ằ ườ ng trung tr c c a đo n ự ủ ạ
M
A
I B C
D
L