Bài giảng vật lý đại cương a2 chương vi cơ học lượng tử

CHƯƠNG VI CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Cơ học cổ điển khảo sát dạng vận động cơ của các vật vĩ mô Tuy nhiên, khi đi sâu vào thế giới vi mô nghĩa là khi nghiên cứu sự vận động của vật chất trong phạm vi kích thước[.]

CHƯƠNG VI

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Cơ học cổ điển khảo sát dạng vận động cơ của

các vật vĩ mô Tuy nhiên, khi đi sâu vào thế giới

vi mô nghĩa là khi nghiên cứu sự vận động của

vật chất trong phạm vi kích thước phân tử,

nguyên tử trở xuống, qui luật vận động của nó về bản chất khác hẳn qui luật vận động của các vật

vĩ mô Do đó, cơ học cổ điển bị hạn chế, không

thể áp dụng cho các hạt vận động trong thế giới

vi mô Vì lẽ đó môn cơ học lượng tử đã ra đời

Trong chương này chỉ nêu lên những điểm cơ

bản, khái niệm mở đầu của cơ học lượng tử để

giúp chúng ta hiểu được một cách khái quát về sự vận động của vật chất trong thế giới vi mô.

I Lưỡng tính Sóng – Hạt của vật chất

1 Lưỡng tính sóng hạt của AS

Lưỡng tính sóng hạt của AS đã được Einstein nêu lên trong trong thuyết lượng tử AS.Theo thuyết này, ánh sáng cấu tạo bởi các hạt photon, mỗi hạt mang năng lượng:

Và động lượng:

Từ các biểu thức này ta thấy rõ những đại lượng đặc trưng cho tính chất hạt và cho tính

chất sóng của AS liên hệ trực tiếp với nhau

c





c

mc

( , )  p

( , )  

2 Hàm sóng phẳng ánh sáng:

Xét một chùm AS đơn sắc song song Các mặt

sóng là các mặt phẳng vuông góc với tia sóng

Nếu dao động sáng tại O là thì dao động sáng tại mọi điểm trên mặt sóng đi qua M, cách mặt sóng đi qua O một đoạn d là:

O

M

n 

r



cos 2

cos 2 ( d ) cos 2 ( d )

c



d

Mà :

là vecto pháp tuyến đơn vị nằm theo phương truyền sóng AS

Như vậy biểu thức dao động ở trên có thể viết dưới dạng:

gọi là hàm sóng phẳng đơn sắc của ánh sáng

Trong phép biểu diễn phức hàm này có dạng:

d  r   r n

n

cos 2 ( r n )

a   t





 

.

2 i t r n

ae

 





   



 

• Khi biểu diễn ν và λ qua ε và p tương ứng, ta có :

 

2

34

1, 05.10 2

h

h

h

h

J s













 



• Khi biểu diễn theo vectơ sóng với:

Khi đó hàm sóng phẳng đơn sắc còn có thể viết:

2



   



k 

2

i

t p r i t k r

i h t k r i t k r

h







• Tóm lại hàm sóng phẳng ánh sáng đơn sắc có thể

biểu diễn :

• Hoặc dưới dạng phức:

• Với:

cos 2 ( r n )



 

   . 

i

t p r i t k r



2

      

3.Giả thuyết De Broglie

Trên cơ sở lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng, De Broglie đã suy rộng tính chất đó cho mọi đối

tượng vật chất khác

Một vi hạt tự do có năng lượng xác định, động

lượng xác định tương ứng với một sóng phẳng đơn sắc xác định.

Năng lượng và động lượng của vi hạt liên hệ với tần số và bước sóng của sóng theo các hệ thức:

2 2

h







Chú ý: Đối với photon, vì ta có nên chỉ cần một hệ thức là có thể suy ra bước sóng và tần

số từ các tính chất hạt là năng lượng và động

lượng Còn đối với các vi hạt khác thì phải có hai

hệ thức để suy ra bước sóng ( ) và tần số

( )

• Ví dụ: Tính bước sóng cho vật với khối lượng 1g

chuyển động với vận tốc 1m/s.

Ta có:

Bước sóng này quá nhỏ nên ta không thể quan sát được tính chất sóng của vật.

34

34 3

6.625.10

6.625.10 1.10 1

m









   

/

c

  

/ p

h

  / h

  

2



4.Thực nghiệm xác nhận giả thuyết De Broglie.

a)Thí nghiệm nhiễu xạ điện tử do Davisson và

Germer thực hiện năm 1927 Hai ông cho một

chùm điện tử có năng lượng 54 eV đập vào một đơn tinh thể Ni và nghiên cứu sự

phụ thuộc vào góc phản xạ của

cường độ chùm tia phản xạ.

Các ông đã thu được bức tranh nhiễu

xạ điện tử Bước sóng tính theo công thức về cực đại nhiễu xạ Vulf-Bragg rất phù hợp với bước

sóng De Broglie.

Hình a và b là hình ảnh nhiễu xạ chụp được khi cho chùm tia X tán xạ trên bột đa tinh thể, và chùm electron đi qua cùng vật liệu đó

(hình a) (hình b)

b)Thí nghiệm 2

Cho một chùm electron qua một khe hẹp Sau khi qua khe hẹp, các electron bị nhiễu xạ theo mọi

phương và trên màn huỳnh quang

cũng thu được các vân

nhiễu xạ giống như trường

hợp nhiễu xạ của chùm sáng qua

khe hẹp Kết quả thí nghiệm không thay đổi nếu

ta cho lần lượt các electron qua khe trong thời

gian dài.

II Hàm sóng phẳng De Broglie

1 Hàm sóng:

Theo giả thuyết của De Broglie, chuyển động của hạt tự do được mô tả bởi hàm sóng tương tự

như sóng phẳng ánh sáng đơn sắc, được gọi là

hàm sóng De Broglie:

Trong đó là biên độ của hàm sóng được xác định bởi:

là liên hiệp phức của

i

Et p r i t k r

        

   



2

0



*

2 Ý nghĩa xác xuất của sóng De Broglie:

Trước khi có giả thuyết De Broglie, người ta chỉ biết hai loại sóng cơ và sóng điện từ Hàm sóng

mô tả các các loại sóng này biểu diễn sự biến

thiên theo thời gian và không gian của các đại

lượng đặc trưng cho chúng Ví dụ độ lệch khỏi vị trí cân bằng trong sóng cơ, hay vecto cường độ

điện trường, từ trường trong sóng điện từ Sóng

De Broglie không phải là sóng cơ và sóng điện từ

Để hiểu được ý nghĩa vật lý của sóng De Broglie,

ta trở lại lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng.

• Ý nghĩa xác xuất đối với photon: Xét một chùm

hạt photon chuyển động trong không gian qua

một phần tử có thể tích V bất kỳ bao quanh điểm

M Theo thuyết sóng AS thì cường độ sáng tại M

tỉ lệ với bình phương biên độ của biểu thức dao động sáng Theo thuyết hạt thì CĐ sáng tại M tỉ lệ với số photon mang năng lượng

hν đi qua một đơn vị thể tích bao quanh điểm M Vậy tỉ lệ với số photon trong một đơn vị thể tích bao quanh điểm M Nếu càng lớn thì số hạt photon trong một đơn vị thể tích càng nhiều nên xác xuất tìm thấy hạt photon càng lớn.

2

*

I    

2



2



• Ý nghĩa xác xuất đối với các hạt vi mô

Dựa trên kết quả của thí nghiệm tương tự về

nhiễu xạ các hạt vi mô trên màng kim loại Max Born đã đưa ra giả thuyết cho rằng trong biểu

thức biểu diễn sóng De Broglie, bình phương biên

độ sóng tại một vị trí nào đó trong không gian sẽ

tỉ lệ với xác xuất tìm thấy hạt tại vị trí đó

gọi là mật độ xác xuất (xác xuất thấy hạt trong một đơn vị thể tích) Như vậy hàm sóng không mô tả một sóng thực nào trong

không gian như sóng cơ, sóng điện từ trong vật lý

cổ điển mà chỉ cho phép ta tính xác suất tìm hạt

tại một trạng thái nào đó.

.

   



Xác xuất tìm thấy hạt trong thể tích bất kỳ dV là

• Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng: khi tìm hạt trong

toàn không gian, chúng ta chắc chắn tìm thấy

hạt, nghĩa là xác xuất tìm hạt trong toàn không gian bằng 1:

(1)

(1) gọi là điều kiện chuẩn hóa hàm sóng

2

dV



2

1

dV



• Cần chú ý một điểm khác nhau giữa cơ học

lượng tử và vật lý phân tử Trong vật lý

phân tử, qui luật thống kê có quan hệ với

tập hợp nhiều hạt (phân tử, nguyên tử) còn từng hạt riêng rẽ không có tính thống kê

Nhưng trong Cơ học lượng tử qui luật thống

kê có quan hệ ngay cả với từng vi hạt riêng biệt, cũng như đối với tập hợp hạt.

• Điều kiện của hàm sóng:

a) Hàm sóng phải giới nội, vì nếu hàm sóng không

giới nội thì tích phân (1) không thể giới nội

b) Hàm sóng phải đơn trị, vì nếu không đơn trị thì

ứng với mỗi trạng thái có nhiều xác suất tìm hạt Điều này trái với lý thuyết xác xuất.

c) Hàm sóng phải liên tục, vì không thể thay

đổi nhảy vọt.

d)Đạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục

2

