Chuan bi cho ki thi tốt nghiện THPT va thi vao Đại học rong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng những năm gần đây, chúng ta gặp khá nhiều bài toán giải hệ phương trình eli Ngo
Trang 1Chuan bi cho ki thi
tốt nghiện THPT
va thi vao Đại học
rong các đề thi tuyển sinh vào Đại học,
Cao đẳng những năm gần đây, chúng
ta gặp khá nhiều bài toán giải hệ phương
trình eli Ngoai những hệ đối xứng loại |,
loại 2 cơ bản mà các bạn đã biết cách giải,
trong bài báo này chúng tôi xin giới thiệu thêm
với các bạn một số dạng toán VỀ giải HPT và
những phương pháp để giải chúng
I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐÔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Phương pháp này chủ yếu là sử dụng các kĩ
nang biến đổi đồng nhất đặc biệt la ki nang
phân tích nhằm đưa một PT trong hệ về dạng
đơn giản (có thể rút x theo v hoặc ngược lại)
rồi thế vào PT còn lại trong hệ
LOẠI 1 Trong hệ có một phương trình bác
nhất với ân x hoặc y, khi đó ta tùn cách rit y
theo x hoặc ngược lại
* Thí dụ 1 Gidi hệ phương trình
ee =3x?-4x+1 (1)
(2) Loi giai Ta thay x = 0 khong thoa man PT (2)
xy+x+l=x?
2
Với v # 0 từ (2) có w+l= , thay vào (1)
X
ta được
xé =Ìl x*-1l)\ ,
He “1)(2x2 ~ 1) = (x—1)(3x~1)
> (x—-1)(2x3 + 2x? —x-1) = (x-1)(3x-1)
x =0 (loai)
—4x)=0<>|x=1
x=-72
«>(x—1)(2x!+2x?
:
Hệ có hai nghiệm (x ; y) là (1-1), (-2; = )
GIAT HE PHUONG TRINH
NGUYEN MINH NHIEN (GV THPT Qué V6 1, Bac Ninh)
LOẠI 2 Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai án
* Thí dụ 2 G¡¿ï hệ phương trình
v/2y —yjx—l=2x—2y (2)
Lời giải Điều kiện x 3 l ; y > 0
PT (1) <> x? -xy—2y* -(x+y) =0
> (x+y)(x-2y-1)=0
©x—2y—] =0 (từ điều kiện ta có x + y > 0)
>x=2y'+l thay vào PT (2) và biến đối ta được
(v+1)(J2y -2}=0 œ@ y=2(do y>0)
=x=5 Hệ có nghiệm (v; y) = (Š : 2)
LOẠI 3 Một PT của hệ là PT bậc hai theo
- - / Pa ` £7 “ +
một an, chang han do la an y Luc dé ta xem x
là tham số và biếu điện được y qua x bang cách giải PT bậc hai ấn y
* Thí dụ 3 Giải hệ phương trình
y? —5x* —4xy+16x-8y+16=0 (2)
Lời giải Biến đổi PT (2) về dạng
y‡—(4x+8)y—5x?+16x+16=0 Coi PT (2) là PT bậc hai ẩn y (tham số +) ta có
y=3x+4
A' =8, tưđó|
=4—x
e Voi y = Sx + 4, thay vào (1) được
spall =>y=9
3
(5x+4) =(5x+4)(4—-x) ©
xe =p yond,
Trang 2e Voi y = 4 —x, thay vao (1) được
2 t= 4 —> y= ()
(4-x) =x+9)(4~x)©| A
Hệ có ba nghiệm (+ ; y) là
4 N
0:4.4:01| =2 0]
= cj
y=0 pes
II PHUONG PHAP DAT AN PHU
Điểm quan trọng nhất trong việc giải hệ là
phát hiện ẩn phụ wv = /(x,y): v= g{x,y) có
ngay trong từng phương trình hoặc xuát hiện
sau một số phép biến đổi hãng đăng thức cơ
bản hoặc phép chia cho một biêu thức khác 0
để đưa hệ về dạng đơn giản hơn
* Thí dụ 4 Giới hệ phương trình
x?+1+v(y+x)=4y (1)
Lời giải Ta thấy y = 0 khéng thoa man PT(1)
oo +y+x=4 nên HỮI<> F
2
Dat uv = a
Giải hé duoc = v = Ì, từ đó ta có hệ
x°+l=y
[ +}y=3
Hệ này bạn đọc có thể giải được dé dang
Hệ có hai nghiệm (+x: y) là (1 ; 2) và (—2 ; 5)
utv=2
v= yprx—-2 tacé
* Thí dụ Š Gi¿¡ hệ phương trình
4xy+4(x?+y?)+ 3 x=ĩ
1
I2 + Be
x+y
Lời giải Điều kiện « + y #0 Khi d6 ta có
3(x+y) +(x-y) + lu saÖƒ
(x+ vì ˆ
1
X+y+———+x—y=ả
x+y
Đặt w=xtyt (juj22);v=x—-y ta
x+y
_ (3u2 +2 =13
duoc hé
utv=3
Giải hệ ta duoc u = 2, v = 1 (do lal > 2), tir dé
ta có hệ
x+y+ ; = ễ Íx+y=l =
4 x-y=!] y= x—y=l
II PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
LOẠI 1 Một phương trình trong hệ có dạng f(x) = fly) , phuong trinh con lai gitip ta giới
han duoc x, y dé trén dé ham sé f don diéu
Từ đó swV ra X = V
* Thí du 6 G¡di hệ phương trình
Lời gừải Từ PT (2) ta có AŸ < 1, vÌ < 1
sts 1, brs kt
Xét hàm số f(t)=O8-5t, te[-1il] cé
f'(t)=32-5 <0, Wte[-1; 1] Do đó hàm
ƒ() nghịch bién trén khoang (—] ; 1) nên từ
PT (1) suy ra x =y Thay vao PT (2) ta được
x+xi—l=0
Đặt z = x°> 0 và giải PT tương ứng ta được -l#+v5
ats vadiltHii5,
LOẠI 2 Hệ đổi xứng loại hai mà khi giat
thường dân đến một trong hai PL của hệ có dạng fix) = 0 hode fix) = f(y) trong dé f la
ham don diéu
* Thí dụ 7 Giải hệ phương trình
x+⁄x?-2x+2 =3! +l
L + Jy? —2y 42 =3"! +
Lời giai Đặt a = x—], bồ = y—T ta được hệ
Trang 3
'Hrừ theo vế hai PT trên, ta được
a+VJa? +1+3¢ =b+4 Vb? +143! (3)
Jt? +14
i (i )= = Ae oa -
Vive +l>ve 2-1 VP +14+1>0> (1) > 0M
do đó hàm số ƒ{z) đồng biến trên iš
Từ đó PT (3) œa=b thay vào PT (1) ta được
Me SEL N 3 1n3
Theo nhan xét trén thi a + Ja? +1 > 0 nên
PT(4) = In{a+ va? +] }- aln3=0
Xét hàm số s(a) = In[a+va? + I)- aln3 có
#(4)~=~=—-3<1- In3<0,Vaek,
Va? +1
nên hàm số g(a) nghich bién trén ik va do
PT (4) c6é nghiém a = 0Ö nên PT (4) có nghiệm
duy nhất z = 0 Từ đó ta được nghiệm của hệ
ban dau 1A (x; y) = (1; 1)
IV PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GLÁ
Với phương pháp này, cần lưu ý phat hién cac
biểu thức không âm trong hệ và nắm vững
cách vận dụng các bất đăng thức cơ bản
* Thí dụ 8 Giải hệ phương trình
2xye
Xe = x? +
$x?—2x+9
= yp? +x
ee
Lời giải Công theo vế hai PT của hệ ta được
Vx? -2x+9 tư nã
Ta có ÄŸx?—2x+9 =ÿ(x-1 +8>2
=- ee <
Jx?—2x+9 đx —2x+9 2 “bởi:
————— = X“ +? (1)
= Tuong tu Te
Cauchy x? +? 2 hel nén VT(1)S VP(1)
sẤ lxy| mà theo BĐT
] thử lại ta
0 được nghiệm (x ; y) của hệ là (Ô ; Ø), (1; 1)
Dau bang xay ra khi —
* Thí dụ 9 Gidi hệ phương trình
[y=—x*+3x+4
lx =2y>-6y-2
Lời giải Hệ da cho tương đương với
y-2= ~(x+1) (x~2) (1)
>
Nếu x > 2 thì từ (1) suy ra y— 2 < 0 điều này mâu thuẫn với PI(2) có (x — 2) và (y — 2) cùng dấu Tương tự với x < 2 ta cũng suy ra điều vô lí
Vậy nghiệm của hệ là x = y = 2
Hi vọng một số thí dụ trên sẽ giúp bạn phan nao ki nang giải HPT Để kết thúc bài viết mời
các bạn cùng giải các hệ phương trình sau
1 xy—3x—2y = l6 2 x3(2+3y)=8
xt+y?®—2x-4y=33 |x(y?—-2)=06
x?+3y=9
M ys +4 (2x-3)y?—48y~
) 2(x3 + 2x-y-l)=x?(y +1)
y*+4x+1+ln(y° + 2x)=0
48x+155=0
4
5) VxtVx+2 +x+4 =Jy-l + y—3 + fp—5
x+y++f _ =44
y aan = Popes —-y=0