ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN DƯƠNG THÀNH BÀI TỐN ỔN ĐỊNH CÁC HỆ TUYẾN TÍNH LỒI ĐA DIỆN CĨ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN DƯƠNG THÀNH BÀI TỐN ỔN ĐỊNH CÁC HỆ TUYẾN TÍNH LỒI ĐA DIỆN CĨ TRỄ Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH VŨ NGỌC PHÁT Thái Nguyên - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn2 i Mục lục Một số kí hiệu tốn học dùng luận văn iii Lời mở đầu iv Chương Cơ sở toán học 1.1 Hệ phương trình vi phân 1.1.1 Hệ phương trình vi phân tổng quát 1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm 1.1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm 1.2 Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân 1.2.1 Bài toán ổn định 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 1.2.3 Bài tốn ổn định hóa 10 1.3 Bài tốn ổn định, ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân điều khiển có trễ 12 1.4 Một số bổ đề bổ trợ 14 Chương Bài tốn ổn định hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ 16 2.1 Định nghĩa 16 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3 ii 2.2 Bài toán ổn định mũ cho hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ 18 2.3 Bài tốn ổn định hóa cho hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ 24 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4 iii MỘT SỐ KÍ HIỆU TỐN HỌC DÙNG TRONG LUẬN VĂN • R+ : Tập số thực khơng âm • Rn : Khơng gian véc tơ n -chiều với kí hiệu tích vô hướng , chuẩn véc tơ ã Rnìr : Khụng gian cỏc ma trn (n ì r)- chiu ã D: Lõn cn m ca Rn • C([a, b], Rn ): Tập hàm liên tục [a, b] nhận giá trị Rn • L2 ([a, b], Rm ): Tập hàm khả tích bậc hai [a, b] lấy giá trị Rm • AT : Ma trận chuyển vị ma trận A • I: Ma trận đơn vị • λ (A): Tập tất giá trị riêng A • λmax (A) := max{Reλ : λ ∈ λ (A)} • λmin (A) := min{Reλ : λ ∈ λ (A)} • A > 0: Ma trận A xác định dương Ax, x > 0, ∀x = • A ≥ 0: Ma trận A xác định không âm Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn • A = λmax (AT A): Chuẩn phổ ma trận A Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5 iv LỜI MỞ ĐẦU Lý Thuyết ổn định phần quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Lý thuyết ổn định nghiên cứu từ cuối kỉ 19 nhà toán học người Nga A M Lyapunov Trải qua kỉ, lý thuyết ngày phát triển mạnh mẽ lý thuyết toán học độc lập với nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực học, sinh thái học, kinh tế, khoa học kĩ thuật Hiện nay, lý thuyết ổn định phát triển theo hai hướng ứng dụng lí thuyết, nhiều nhà tốn học giới nước quan tâm nghiên cứu như: Yoshizawa T., Hale J K., Verduyn Lunel S M., Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung, Vũ Ngọc Phát, Nguyễn Hữu Dư thu nhiều kết quả, tính chất quan trọng ( xem [3, 4, 5]) Như biết, có nhiều phương pháp để nghiên cứu lý thuyết ổn định như: phương pháp thứ Lyapunov - phương pháp số mũ đặc trưng, phương pháp thứ hai Lyapunov - phương pháp hàm Lyapunov, phương pháp xấp xỉ Phương pháp hàm Lyapunov phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu tính chất ổn định hệ phương trình vi phân, lý thuyết hệ điều khiển, hệ động lực Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định, ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ phương pháp thứ hai Lyapunov - phương pháp hàm Lyapunov Luận văn giới thiệu cách tổng quan tính chất ổn định hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân tuyến tính, tốn ổn định tốn ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính lồi đa diện có trễ Bản luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận chương Cụ thể là: Chương 1: Cơ sở toán học Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6 v Trong chương này, trình bày số kiến thức sở hệ phương trình vi phân, tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân, đồng thời trình bày phương pháp hàm Lyapunov để giải toán ổn định hệ phương trình vi phân Cuối chương, chúng tơi nêu lên số tính chất tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm số bổ đề bổ trợ cho chương sau Chương 2: Bài toán ổn định hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ Trong chương này, chúng tơi trình bày điều kiện đủ tính ổn định, ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính lồi đa diện có trễ số ví dụ minh họa Tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn chân thành đến GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, người thầy tận tình bảo, hướng dẫn tơi suốt q trình làm luận văn Đồng thời, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy khoa Tốn, khoa Sau đại học, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện giúp đỡ, bảo tơi q trình học tập, nghiên cứu trường Cuối cùng, xin cảm ơn người thân, bạn bè, đồng nghiệp, người ủng hộ, động viên chỗ dựa tinh thần cho suốt trình học tập, làm việc, nghiên cứu sống Mặc dù thân cố gắng nhiều, thời gian thực luận văn khơng nhiều, kiến thức trình độ cịn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Tơi mong nhận bảo, góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn! Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7 Chương Cơ sở toán học Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm tốn học sở hệ phương trình vi phân tuyến tính, nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính, tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính theo [1 - 4] 1.1 Hệ phương trình vi phân 1.1.1 Hệ phương trình vi phân tổng quát Định nghĩa 1.1.1 Hệ phương trình vi phân tổng quát có dạng:   x(t) = f (t, x(t)), ˙  x(t0 ) = x0 , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên t ≥ t0 , (1.1.1) t0 ≥ 0, http://www.lrc-tnu.edu.vn8 f : R+ × Rn → Rn , với t ≥ t0 , x(t) ∈ Rn Hàm khả vi liên tục x(t) thỏa mãn hệ phương trình (1.1.1) gọi nghiệm hệ phương trình vi phân kí hiệu x(t, x0 ) Cơng thức nghiệm dạng tích phân hệ (1.1.1) t x(t, x0 ) = x0 + f (s, x(s))ds t0 Định lí sau khẳng định tồn nghiệm hệ phương trình vi phân (1.1.1) Định lý 1.1.1 (Định lí Picard - Lindeloff) Xét hệ phương trình vi phân (1.1.1) giả sử f : I × D → Rn (I = [t0 ,t0 + b]) liên tục theo t thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x: ∃K > : f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ K x1 − x2 , ∀t ≥ Khi đó, với (t0 , x0 ) ∈ R+ × D tìm số d > cho hệ phương trình (1.1.1) có nghiệm khoảng [x0 + d, x0 − d] Hay nói cách khác, qua điểm (t0 , x0 ) ∈ I × D có đường cong tích phân chạy qua Định lý 1.1.2 (Định lí Caratheodory) Giả sử f (t, x) hàm đo theo t ∈ I liên tục theo x ∈ D Nếu tồn hàm khả tích m(t) [t0 ,t0 + b] cho f (t, x) ≤ m(t), ∀(t, x) ∈ I × D hệ (1.1.1) có nghiệm khoảng [t0 ,t0 + β ] Với số giả thiết hàm f (t, x) nghiệm x(t, x0 ) xác định [0, +∞) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn9 Đặc biệt, hệ phương trình vi phân tuyến tính x(t) = A(t)x(t) + g(t), ˙ A(t), g(t) hàm liên tục ln tồn nghiệm x(t, x0 ) xác định tồn khoảng [0, +∞) 1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm Định nghĩa 1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm có dạng:   x(t) = Ax(t) + g(t), ˙ t ∈ R+ , (1.1.2) t0 ≥ 0,  x(t0 ) = x0 , A n × n− ma trận số, g : R+ → Rn hàm liên tục Nghiệm hệ phương trình (1.1.2) biểu diễn cơng thức Cauchy A(t−t0 ) x(t, x0 ) = e 1.1.3 t x0 + eA(t−s) g(s))ds, t ≥ t0 Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm Định nghĩa 1.1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm có dạng:   x(t) = A(t)x(t) + g(t), ˙  x(t0 ) = x0 , t ∈ R+ , (1.1.3) t0 ≥ 0, A(t) n × n− ma trận hàm số liên tục R+ , g : R+ → Rn hàm liên tục Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn10 20 ˙ V (xt ) + 2βV (xt ) p = p 2Pi A0 j x(t), x(t) ∑ ξi ∑ ξ j i=1 j=1 + 2Pi A1 j x(t − h), x(t) + Qi x(t), x(t) − e−2β h Qi x(t − h), x(t − h) + 2β Pi x(t), x(t) p = ∑ ξi2 2Pi A0i x(t), x(t) + 2Pi A1i x(t − h), x(t) i=1 + Qi x(t), x(t) − e−2β h Qi x(t − h), x(t − h) + 2β Pi x(t), x(t) p−1 + p ξ j 2Pi A0 j x(t), x(t) ∑ ξi ∑ i=1 j=i+1 + 2Pi A1 j x(t − h), x(t) + Qi x(t), x(t) − e−2β h Qi x(t − h), x(t − h) + 2β Pi x(t), x(t) + 2Pj A0i x(t), x(t) + 2Pj A1i x(t − h), x(t) + Q j x(t), x(t) − e−2β h Q j x(t − h), x(t − h) + 2β Pj x(t), x(t) Đẳng thức viết lại sau: ˙ V (xt ) + 2βV (xt ) p = ∑ ξi2 Mi (Pi , Qi ) i=1  + 2β N(Pi ) p−1 +    x(t) x(t)  ,  x(t − h) x(t − h) p ∑ ∑ ξi ξ j Mi (Pj , Q j ) + M j (Pi , Qi ) i=1 j=i+1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn27 21  + 2β N(Pi + Pj )    x(t) x(t)  ,  x(t − h) x(t − h) p ≤ p−1 p −∑ ∑ ∑ ξi ξ j S p − i=1 j=i+1 i=1     x(t) x(t)  ,  x(t − h) x(t − h) ξi2 S + Từ p (p − 1) ∑ i=1 p−1 ξi2 − p ∑ ∑ p−1 ξi ξ j = i=1 j=i+1 p ∑ ∑ (ξi − ξ j )2 ≥ 0, i=1 j=i+1 ta có ˙ V (xt ) + 2βV (xt ) ≤ 0, ∀t ≥ Theo hệ thức (2.2.2), ta có x(t, φ ) ≤ α2 −βt e φ α1 Như vậy, hệ (2.1.1) ổn định mũ với tốc độ β hệ số ổn định N= α2 α1 Chú ý: Chú ý điều kiện (i), (ii) bị yếu S = điều kiện đơn giản là: (iii) Mi (Pi , Qi ) + 2β N(Pi ) ≤ 0, i = 1, 2, · · · , p (iv) Mi (Pj , Q j ) + M j (Pi , Qi ) + 2β N(Pi + Pj ) ≤ 0, i = 1, 2, · · · , p − 1; j = i + 1, · · · , p Ví dụ 2.2.1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn28 22 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ: t ∈ R+ x(t) = A0 (ξ )x(t) + A1 (ξ )x(t − h), ˙ (2.2.3) với hàm ban đầu φ (t) ∈ C([−1, 0], R2 ) 3 ∑ ξi = 1, ξi ≥ 0, [A0 (ξ ), A1 (ξ )] = ∑ ξi [A0i , A1i ], i=1 i=1  A01 =  A03 =  A12 = 399 300 −860  −421 −611 470 −2091 574  ,  0.3678 0.7357 59 ,  0.1471  0 A11 =  , 230 −360  , 0.1103 −1211 A02 =   0.3678  A13 =  , 0.0735 0.1839 0.3678  , Cho h = 1, p = Chọn β = 1,   Q1 = Q2 = Q3 =  0  ,   0 S=  0  0 0 0    0  ≥ 0,  0        2.79 1.31 4.81 − 1.43 6.35 − 1.85  , P2 =   , P3 =  , P1 =  1.31 0.951 −1.43 1.29 −1.85 1.454 thỏa mãn điều kiện định lý 2.2.1 Khi hệ (2.2.3) ổn định mũ nghiệm thỏa mãn: x(t, φ ) ≤ 5.4332e−t φ , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ∀t ≥ http://www.lrc-tnu.edu.vn29 23 Kết thu từ định lí 2.2.1 mở rộng cho trường hợp hệ có nhiều trễ:  m x(t) = A (ξ )x(t) + ∑ A (ξ )x(t − h ), ˙ k k t ≥ 0, k=1  x(t) = φ (t), (2.2.4) t ∈ [−h, 0], với h = max{hk : k = 1, 2, · · · , m}, ma trận Ak (ξ ), k = 0, 1, · · · , m đỉnh đa diện p [A0 (ξ ), A1 (ξ ), · · · , Am (ξ )] = ∑ ξi [A0i , A1i , · · · , Ami ], ξi ≥ i=1 Cho Mi (Pj , Q1 j , · · · , Qm j ) =                   Pj A0i + AT Pj 0i m + ∑ Qk j k=1 AT Pj 1i Pj A1i Pj A2i ∗ ∗ Pj Ami −e−2β h1 Q1 j 0 ∗ AT Pj 2i −e−2β h2 Q2 j 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ AT Pj mi 0 0 −e−2β hm Qm j  P  j     N(Pj ) =  ∗    ∗  0 ∗ ∗ ∗ ∗         ,           ∗ ∗    (m+1)n×(m+1)n ∗ ∗ ∗ ∈R   ∗ ∗ ∗   ∗ ∗ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn30 24 Hệ 2.2.1 Cho β > Nếu tồn ma trận đối xứng xác định dương Pi , Qki , i = 1, 2, · · · , p; k = 1, 2, · · · , m ma trận đối xứng xác định không âm S ∈ Rn×n thỏa mãn điều kiện sau: (i) Mi (Pi , Q1i , Q2i , · · · , Qmi ) + 2β N(Pi ) ≤ −S, i = 1, 2, · · · , p (ii) Mi (Pj , Q1 j , Q2 j , · · · , Qm j ) + M j (Pi , Q1i , Q2i,··· ,Qmi ) + 2β N(Pi + Pj ) ≤ S, p−1 i = 1, 2, · · · , p − 1; j = i + 1, · · · , p hệ (2.2.4) ổn định mũ Hơn , nghiệm x(t, φ ) hệ thỏa mãn: x(t, φ ) ≤ α2 −βt e φ , α1 t ∈ R+ , với m α1 = {λmin (Pi )}, i=1,··· ,p 2.3 α2 = {λmax (Pi ) + h ∑ λmax (Qki )} i=1,··· ,p k=1 Bài tốn ổn định hóa cho hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ Trong mục này, đưa điều kiện đủ cho tính ổn định hóa hệ (2.1.1) Kí hiệu Wi j = A0i Pj + Pj AT + Qi − Bi BT 0i j Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn31 25  ˜ Mi (Pj , Q j ) =   ˜ N(Pj ) =  λmin (P) = λmax (P) = Wi j A1i Pj Pj AT 1i −e−2β h Q  Pj 0 ,  S= j S 0   ∈ R2n×2n ,   ∈ R2n×2n , {λmin (Pi )}, i=1,2··· ,p max {λmax (Pi )}, i=1,2··· ,p p p W (ξ ) = ∑ ξi Pi , i=1 ∑ ξi = 1, ξi ≥ i=1 Định lý 2.3.1 Cho β > Nếu tồn ma trận đối xứng xác định dương Pi , Qi ∈ Rn×n , i = 1, 2, · · · , p ma trận đối xứng xác định khơng âm S ∈ Rn×n thỏa mãn điều kiện sau: ˜ ˜ (i) Mi (Pi , Qi ) + 2β N(Pi ) ≤ −S, i = 1, 2, · · · , p ˜ ˜ ˜ (ii) Mi (Pj , Q j ) + M j (Pi , Qi ) + 2β N(Pi + Pj ) ≤ S, p−1 i = 1, 2, · · · , p − 1; j = i + 1, · · · , p hệ (2.1.1) ổn định hóa mũ Hàm điều khiển ngược ổn định hóa hệ u(t) = − BT (ξ )W −1 (ξ )x(t) Chứng minh Chúng ta có W (ξ ) > p Pi > 0, i = 1, 2, · · · , p, ∑ ξi = 1, ξi ≥ i=1 Điều kéo theo W −1 (ξ ) tồn Vì W (ξ ) ma trận đối xứng xác định dương, nên W −1 (ξ ) ma trận đối xứng xác định dương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn32 26 Một cách tương tự, W −1 (ξ )QiW −1 (ξ ) ma trận đối xứng xác định dương W −1 (ξ ), Qi hai ma trận đối xứng xác định dương Với hàm điều khiển ngược u(t) = − BT (ξ )W −1 (ξ )x(t), xét hàm Lyapunov - Krasovskii cho hệ đóng V (xt ) = W −1 (ξ )x(t), x(t) p + ∑ ξi i=1 −h e2β θ W −1 (ξ )QiW −1 (ξ )x(t + θ ), x(t + θ ) dθ (2.3.1) Dễ dàng thấy α1 x ≤ V (xt ) ≤ α2 xt , với α1 = , λmax (P) α2 = λmax (Qi ) + h max i=1,2,··· ,p [λmin (P)]2 λmin (P) Lấy đạo hàm theo t hàm V (.) dọc theo nghiệm, ta được: ˙ V (xt ) = 2W −1 (ξ )x(t), x(t) ˙ p + ∑ ξi W −1 (ξ )QiW −1 (ξ )x(t), x(t) i=1 −2β θ − e − 2β −h W −1 (ξ )QiW −1 (ξ )x(t − h), x(t − h) e−2β θ W −1 (ξ )QiW −1 (ξ )x(t + θ ), x(t + θ ) dθ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn33 27 p = ∑ ξi W −1 (ξ ) A0i x(t) + A1i x(t − h) + Bi u(t) , x(t) i=1 p + ∑ ξi W −1 (ξ )QiW −1 (ξ )x(t), x(t) i=1 − e−2β θ W −1 (ξ )QiW −1 (ξ )x(t − h), x(t − h) + 2β W −1 (ξ )x(t), x(t) − 2βV (t, xt ) p Từ ∑ ξi = viết lại đẳng thức sau: i=1 ˙ V (xt ) + 2βV (xt ) p = ∑ ξi 2W −1 (ξ )(A0i x(t), x(t) + 2W −1 (ξ )A1i x(t − h), x(t) i=1 p − W −1 (ξ )Bi ∑ ξ jB j T W −1 (xi)x(t), x(t) j=1 + 2β W −1 (xi)x(t), x(t) + W −1 (ξ )QiW −1 (xi)x(t), x(t) − e−2β hW −1 (ξ )QiW −1 (ξ )x(t − h), x(t − h) Đặt y(t) = W −1 (ξ )x(t), ta có ˙ V (xt ) + 2βV (xt ) p = ∑ ξi 2A0iW (ξ )y(t), y(t) + 2A1iW (ξ )y(t − h), y(t) i=1 p − Bi ∑ ξ jB j T y(t), y(t) + 2β y(t),W (ξ )y(t) j=1 + Qi y(t), y(t) − e−2β h Qi y(t − h), y(t − h) p p Với W (ξ ) = ∑ ξi Pi , ∑ ξ j = 1, ta có i=1 j=1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn34 28 ˙ V (xt ) + 2βV (xt ) p = ∑ ξi2 2A0i Pi y(t), y(t) + 2A1i Pi y(t − h), y(t) i=1 − Bi BT y(t), y(t) + Qi y(t), y(t) i − e−2β h Qi y(t − h), y(t − h) + 2β Pi y(t), y(t) p−1 + p ∑ ∑ ξi ξ j 2A0i Pj y(t), y(t) i=1 j=i+1 + 2A1i Pj y(t − h), y(t) − Bi BT y(t), y(t) j + Q j y(t), y(t) − e−2β h Q j y(t − h), y(t − h) + 2β Pj y(t), y(t) + 2A0 j Pi y(t), y(t) + 2A1 j Pi y(t − h), y(t) − B j BT y(t), y(t) i + Q j y(t), y(t) − e−2β h Q j y(t − h), y(t − h) + 2β Pj y(t), y(t)  p = ∑ ξi2 ˜ ˜ Mi (Pi , Qi ) + 2β N(Pi ) i=1 p−1 +    y(t) y(t)  ,  y(t − h) y(t − h) p ∑ ∑ ξi ξ j ˜ ˜ Mi (Pj , Q j ) + M j (Pi , Qi ) i=1 j=i+1  ˜ + 2β N(Pi + Pj )    y(t) y(t)  ,  y(t − h) y(t − h) p ≤ p−1 p −∑ ∑ ∑ ξi ξ j S p − i=1 j=i+1 i=1     y(t) y(t)   , y(t − h) y(t − h) ξi2 S + Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn35 29 Từ hệ thức p (p − 1) ∑ p−1 ξi2 − i=1 p ∑ ∑ p−1 ξi ξ j = i=1 j=i+1 p (ξi − ξ j )2 ≥ 0, ∑ ∑ i=1 j=i+1 ta có ˙ V (t, xt ) + 2βV (t, xt ) ≤ 0, ∀t ≥ Tương tự việc chứng minh định lí 2.2.1, kết luận hệ đóng ổn định mũ Điều có nghĩa hệ (2.1.1) ổn định mũ hóa với hàm điều khiển ngược ổn định hóa u(t) = − BT (ξ )W −1 (ξ )x(t) Ví dụ 2.3.1 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ: x(t) = A0 (ξ )x(t) + A1 (ξ )x(t − 1) + B(ξ )u(t), ˙ t ≥ 0, (2.3.2) với hàm ban đầu φ (t) ∈ C([−1, 0], R2 ) 3 ∑ ξi = 1, ξi ≥ 0, [A0 (ξ ), A1 (ξ ), B(ξ )] = ∑ ξi [A0i , A1i , Bi ], i=1 i=1  A01 = −0.2 0  , 0.12  −6.9 , = −9  A03 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  A02 =   A11 =  −2 −1  , −0.1 −0.1 −0.1  , http://www.lrc-tnu.edu.vn36 30  A12 =  B1 = 1    , , −0.9 −1  −1.1  , B3 =  A13 =   B2 =   ,   Cho h = 1, p = Chọn β = 1,   Q1 = Q2 = Q3 =  0 tìm   , P1 =  0.3    S=     ,  P2 =  0 1.5 0   0   ≥ 0,  0   0 0.3 0  ,   P3 =  0  , thảo mãn điều kiện định lí 2.3.1 Khi hệ (2.3.2) ổn định hóa mũ với hàm điều khiển ngược u(t) = − (ξ1 B1 + ξ2 B2 + ξ3 B3 )T × (ξ1 B1 + ξ2 B2 + ξ3 B3 )−1 x(t) 8ξ1 + 2ξ2 + 5ξ3 x(t) − 4ξ1 + 1.5ξ2 + ξ3 Chúng ta mở rộng định lí 2.3.1 cho hệ phương trình vi phân tuyến tính với nhiều trễ:  m x(t) = A (ξ )x(t) + ∑ A (ξ )x(t − h ) + B(ξ )u(t), ˙ k k k=1  x(t) = φ (t), t ≥ 0, (2.3.3) t ∈ [−h, 0], Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn37 31 h = max{hk : k = 1, 2, · · · , m}, ma trận Ak (ξ ), B(ξ ), k = 0, 1, · · · , m đỉnh đa diện p p [A0 (ξ ), A1 (ξ ), · · · , Am (ξ ), B(ξ )] = ∑ ξi [A0i , A1i , · · · , Ami , Bi ], ∑ ξi = 1, ξi ≥ i=1 i=1 Cho  P  j     ˜ N(Pj ) =  ∗    ∗  0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗    ∗ ∗    ∗ ∗ ∗    ∗ ∗ ∗   ∗ ∗ ˜ Mi (Pj , Q1 j , · · · , Qm j ) =  A0i Pj + Pj AT 0i  m  + A1i Pj ∑ Qk j − Bi BT  j  k=1   Pj AT −e−2β h1 Q1 j 1i    Pj AT 2i    ∗ ∗    ∗ ∗  Pj AT mi  ∗ S      S= ∗    ∗  ∗    0 ∗ ∗    ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ,   ∗ ∗ ∗ ∗ ∗   0 ∗ ∗  A2i Pj ∗ ∗ Ami Pj 0 ∗ −e−2β h2 Q2 j 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 −e−2β hm Qm j         ,        Hệ 2.3.1 Cho β > Nếu tồn ma trận đối xứng xác định dương Pi , Qki ∈ Rn×n , i = 1, 2, · · · , p; k = 1, 2, · · · , m, ma trận đối xứng xác định khơng âm S ∈ Rn×n thỏa mãn điều kiện sau: ˜ ˜ (i) Mi (Pi , Q1i , Q2i , · · · , Qmi ) + 2β N(Pi ) ≤ −S, i = 1, 2, · · · , p ˜ ˜ ˜ (ii) Mi (Pj , Q1 j , Q2 j , · · · , Qm j ) + M j (Pi , Q1i , Q2i , · · · , Qmi ) + 2β N(Pi + Pj ) ≤ S, p−1 i = 1, 2, · · · , p − 1; j = i + 1, · · · , p Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn38 32 hệ (2.3.3) ổn định hóa mũ Hàm điều khiển ngược ổn định hóa u(t) = − BT (ξ )W −1 (ξ )x(t) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn39 33 KẾT LUẬN Luận văn trình bày kiến thức hệ phương trình vi phân, kết tính ổn định ổn định hóa số hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ Đóng góp luận văn là: Trình bày số kết tính ổn định, tính ổn định hóa mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính lồi đa diện có trễ :   x(t) = A0 (ξ )x(t) + A1 (ξ )x(t − h) + B(ξ )u(t), ˙  x(t) = φ (t), t ∈ R+ , t ∈ [−h, 0], Xây dựng số ví dụ cho kết tính ổn định, tính ổn định hóa mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính lồi đa diện có trễ mở rộng trường hợp hệ có nhiều trễ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn40 34 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Thế Hồn, Phạm Phu (2000), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục [2] Vũ Ngọc Phát (2001),Nhập mơn lý thuyết điều khiển tốn học, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội Tiếng Anh [3] Halen J K., Verduyn Lunel S M (1993), Introduction to Functional Differential Equation, Springer - Verlag [4] T Yoshizawa (1966), Stability Theory by Lyapunov’s Second Method, Puslisher of Math Soc of Japan [5] Vu N Phat, Phan T Nam (2008), Robust exponential stability and stabilization of linear uncertain polytopic time-delay systems, J Control Theory Appl, vol 6, pp 163-170 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn41 ... http://www.lrc-tnu.edu.vn3 ii 2.2 Bài tốn ổn định mũ cho hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ 18 2.3 Bài tốn ổn định hóa cho hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ 24 Kết luận ... Chương Bài tốn ổn định hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ Trong chương này, chúng tơi trình bày phương pháp tiếp cận hàm Lyapunov để giải tốn ổn định, ổn định hóa lớp hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ. .. Lyapunov Luận văn giới thiệu cách tổng quan tính chất ổn định hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân tuyến tính, tốn ổn định tốn ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính lồi đa diện có