LUẬN VĂN THẠC SỸ " ĐANG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC NHIỀU BIẾN THỨC " ppt

từ đó đưa ra được các kết quả thú vị về dáng điệu tiệm cận của các ánhxạ chuẩn tắc, ánh xạ Bloch và tổng quát hơn là ánh xạ chỉnh hình khôngchuẩn tắc dọc theo các dãy P - điểm, các dãy c

NGUYỄN THỊ THÙY LINH

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ

CHUẨN TẮC NHIỀU BIẾN PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2012

NGUYỄN THỊ THÙY LINH

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ

CHUẨN TẮC NHIỀU BIẾN PHỨC

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Mã số : 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa họcPGS TS PHẠM VIỆT ĐỨC

Thái Nguyên - Năm 2012

Mục lục

1.1 Giả khoảng cách Kobayashi 1

1.2 Không gian phức hyperbolic 4

1.3 Không gian phức hyperbolic đầy 6

1.4 Giả metric vi phân Kobayashi 9

2 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC NHIỀU BIẾN PHỨC 15 2.1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu 15

2.2 Một số trường hợp đặc biệt 19

2.3 Một số tính chất cơ bản của ánh xạ chuẩn tắc 21

2.4 Các ánh xạ chuẩn tắc vào các đa tạp phức compact 24

2.5 Một số tính chất mở rộng của ánh xạ chuẩn tắc 29

2.6 Dáng điệu tiệm cận của ánh xạ Bloch 34

từ đó đưa ra được các kết quả thú vị về dáng điệu tiệm cận của các ánh

xạ chuẩn tắc, ánh xạ Bloch và tổng quát hơn là ánh xạ chỉnh hình khôngchuẩn tắc dọc theo các dãy P - điểm, các dãy chính quy và quỹ đạo tiệmcận tới biên của đa tạp phức M

Mục đích của luận văn là học tập, nghiên cứu và trình bày lại các kếtquả trên của K.T Hahn

Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị về giả khoảng cách Kobayashi,không gian phức hyperbolic, không gian phức hyperbolic đầy đủ và giảmetric vi phân Kobayashi

Chương 2 là nội dung chính của Luận văn, trình bày một số kết quả vềánh xạ chuẩn tắc, ánh xạ chuẩn tắc vào các đa tạp phức compact, một sốtính chất cơ bản, mở rộng của ánh xạ chuẩn tắc và cuối cùng là dáng điệutiệm cận của các ánh xạ Bloch

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học sư phạm - Đại học TháiNguyên Để hoàn thành được bản Luận văn này, trước hết tôi xin bày tỏlòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Phạm Việt Đức, người thầy

đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thànhLuận văn Tôi cũng xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn tới các thầy côgiáo trong khoa Toán, Trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Viện Toánhọc Việt Nam, Trường Đại học sư phạm Hà Nội đã tận tình giảng dạy vàgiúp đỡ tôi hoàn thành khóa học

Tôi xin cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ tôitrong suốt quá trình học tập và làm Luận văn tốt nghiệp

Luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế, rấtmong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012

Học viênNguyễn Thị Thùy Linh

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Giả khoảng cách Kobayashi

Trên đĩa đơn vị ∆ = {z ∈ C; |z| < 1} cho metric Bergman - Poincaré

ρ∆ = ln1 + |a|

1 − |a| với a ∈ ∆.

1.1.1 Định nghĩa

Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X

Hol(∆, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ ∆ vào X, được trang

bị tô pô compact mở Xét dãy các điểm p0 = x, p1, , pk = y của X, dãycác điểm a1, a2, , ak của ∆ và dãy các ánh xạ f1, , fk trong Hol(∆, X)

Khi đó dX : X × X → R là một giả khoảng cách trên X và gọi là giảkhoảng cách Kobayashi trên không gian phức X.

Tổng Pki=1ρ∆(0, ai) được gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnhhình α

Nhận xét: Nếu X là liên thông thì với mọi x, y ∈ X, luôn tồn tại dâychuyền chỉnh hình trong X nối x với y

Thật vậy, lấy x ∈ X và gọi Z là tập gồm tất cả các điểm trong X mà

có thể nối với x bởi một dây chuyền chỉnh hình Ta sẽ chứng minh Z vừa

là tập mở vừa là tập đóng

Nếu X là đa tạp phức thì hiển nhiên Z = X

Nếu X là không gian phức Lấy z ∈ Z Theo định lý Hironaka về giải

kỳ dị, tồn tại lân cận U của z và một ánh xạ chỉnh hình toàn ánh, riêng

π : M → U,

với M là đa tạp phức có hữu hạn thành phần liên thông và π là đẳng cấuchỉnh hình bên ngoài tập các điểm kỳ dị của X trong U Vì X là đa tạpphức, và vì π là toàn ánh nên Z là mở

Để chứng minh Z đóng ta lấy một dãy {yn} trong Z và

yn → z ∈ X

Ta lại lấy một lân cận U của z và giải kỳ dị

π : M → U

Với n đủ lớn ta có yn ∈ U Vì π là toàn ánh, ta có thể nâng {yn} thành

{un} ⊂ M Do {yn, z} là tập compact và π là ánh xạ riêng nên

{π−1(yn), π−1(z)}

là tập compact

Từ đó ta có thể trích được dãy con hội tụ cũng kí hiệu là {un}, tới điểm

u ∈ M và π(u) = z Vì M là đa tạp nên tồn tại dây chuyền chỉnh hìnhtrong M nối u với un Vậy qua π, tồn tại dây chuyền chỉnh hình nối yn với

z với n đủ lớn Mà yn nối được với x bởi một dây chuyền chỉnh hình, do

đó có dây chuyền chỉnh hình nối z với x Suy ra z ∈ Z Vậy Z đóng Mà

X liên thông nên Z = X

1.1.2 Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi

a) Nếu f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì

f làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là

dX×Y((x, y), (x0, y0)) = max{dX(x, x0), dY(y, y0)}

với mọi x, x0 ∈ X và mọi y, y0 ∈ Y

d) Giả sử X là không gian phức Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi

b) Trường hợp y là điểm kỳ dị.

Theo định lý Hironaka về giải kỳ dị, tồn tại lân cận mở U của y trong

X và ánh xạ chỉnh hình riêng, toàn ánh π : M → U, với U là đa tạpphức Vì yn → y nên tồn tại lân cận compact tương đối V của y sao cho

V ⊂ V ⊂ U và yn ∈ V Do π là toàn ánh riêng nên π−1(V ) là compacttương đối trong M Vì vậy, tồn tại dãy {zn} ⊂ M sao cho π(zn) = yn và

dX(p, q) = 0 ⇔ p = q, ∀p, q ∈ X

1.2.2 Một số tính chất của không gian phức hyperbolic

a) NếuX,Y là các không gian phức, thìX × Y là không gian hyperbolicnếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic

b) Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Nếu Y làhyperbolic thì X cũng là hyperbolic Hay nói cách khác, không gian concủa không gian hyperbolic là hyperbolic

c) (Định lý Barth) Giả sử X là không gian phức liên thông Nếu X làhyperbolic thì dX sinh ra tô pô tự nhiên của X

Chứng minh

Ta có không gian phức X là compact địa phương với tô pô đếm được,

do đó nó metric hóa được bởi định lý metric hóa Urưxơn Vì vậy có hàmkhoảng cách ρ xác định tô pô tự nhiên của X Ta phải chứng minh dX và

ρ là so sánh được, tức là với {xn} ⊂ X ta có

ρ(xn, x) → 0 ⇔ dX(xn, x) → 0 khi n → ∞

Do dX liên tục nên từ ρ(xn, x) → 0 suy ra dX(xn, x) → 0 khi n → ∞.Ngược lại, giả sử dX(xn, x) → 0 mà ρ(xn, x) 9 0 khi n → ∞ Khi đótồn tại s > 0 sao cho có dãy con (vẫn ký hiệu là {xn}) mà các xn nằmngoài ρ- cầu tâm x, bán kính s

Nối xn với x bởi một dây chuyền chỉnh hình Gọi γ là ảnh của các trắcđịa trong đĩa qua dây chuyền trên, γ : [a, b] → X

Xét hàmt 7→ ρ(γ(t), x), đây là một hàm liên tục do đó tồn tại t0 ∈ [a, b]

sao cho ρ(γ(t0), x) = s Vậy điểm yn = γ(t0) nằm trên mặt cầu tâm x

bán kính s (đối với metric ρ) Từ đó theo định nghĩa giả khoảng cáchKobayashi ta có

dX(yn, x) ≤ dX(xn, x) → 0 khi n → ∞

Do tính compact địa phương, dãy {yn} có dãy con {ynk} hội tụ tới y

thuộc mặt cầu tâm x, bán kính s

1.3 Không gian phức hyperbolic đầy

1.3.1 Định nghĩa

Không gian phức X được gọi là hyperbolic đầy nếu X là hyperbolic vàđầy đối với khoảng cách Kobayashi dX, tức là mọi dãy Côsi đối với khoảngcách dX đều hội tụ

1.3.2 Một số tính chất của không gian phức hyperbolic đầy

a) Giả sử X là không gian hyperbolic liên thông Khi đóX là hyperbolicđầy nếu và chỉ nếu với mọi x ∈ X và mọi r > 0, hình cầu đóng B(x, r) làcompact

Để chứng minh tính chất trên ta cần các bổ đề sau

Bổ đề 1: Giả sử X là không gian phức, a ∈ X và r, r0 > 0 Khi đó

U [U (a, r), r0] = U (a, r + r0),

trong đó U (A, r) = {x ∈ X; ∃y ∈ A, dX(x, y) < r} với A là tập con tùy ýcủa X

Chứng minh

Trước hết ta chứng minh U [U (a, r), r0] ⊂ U (a, r + r0)

Lấy x ∈ U [U (a, r), r0], theo định nghĩa tập U, có điểm y ∈ U (a, r) saocho

dX(x, a) ≤ dX(x, y) + dX(y, a) < r0+ r

Do đó, x ∈ U (a, r + r0)

Ngược lại, với bất kỳ x ∈ U (a, r + r0), lấy ε > 0 sao cho

dX(a, x) < r + r0 − 3ε

Tồn tại dây chuyền chỉnh hình trong X nối a với x, gọi đường nối

{γ1, γ2, , γm} là ảnh của dây chuyền đó trong X, thỏa mãn

dX(a, x) ≤tổng Kobayashi < dX(a, x) + ε

Gọi j là số lớn nhất sao cho độ dài của đường nốiL{γ1, , γj−1} < r −ε

Chia cung γj thành hai cung γj0 và γj00 bởi điểm xj trên γj sao cho

L{γ1, , γj−1, γj0} = r − ε

Khi đó, dX(a, xj) < r, tức là xj ∈ U (a, r) Xét đường nối

Chứng minh

Vì X là compact địa phương nên có t > 0 sao cho t < r và U (a, t) làcompact Ta chỉ cần chứng minh U (a, t + (s/2)) là compact Lấy {xn} làmột dãy trong U (a, t) Ta chứng minh {xn} có dãy con hội tụ Theo giảthiết, với mỗi n tồn tại điểm yn ∈ U (a, t) sao cho

d(xn, yn) < 3

4s.

Vì U (a, t) là compact, bằng cách lấy dãy con nếu cần ta có thể giả thiết

{yn} hội tụ tới y ∈ U (a, t) Khi đó U (y, s) chứa xn với n đủ lớn Vì

U (y, s) là compact theo giả thiết, nên dãy {xn} → x ∈ U (y, s) Rõ ràng

x ∈ U (a, t + (s/2)) Bổ đề được chứng minh 

Bổ đề 3:Giả sử X là không gian compact địa phương với hàm khoảngcách d thỏa mãn đẳng thức

U [U (a, r), r0] = U (a, r + r0)

với mọi a ∈ X và với mọi r, r0 > 0 Khi đó X là đầy đối với hàm khoảngcách d nếu và chỉ nếu bao đóng U (x, r) là compact với mọi x ∈ X và với

Mà {xn} là dãy cơ bản nên {xn} → y ∈ X Vậy X là đầy.

Ngược lại, giả sử X là đầy Theo Bổ đề 2, ta chỉ cần chứng minh tồn tại

số s > 0 sao cho với mọi x ∈ X hình cầu đóng U (x, s) là compact Giả sửngược lại, khi đó tồn tại x1 ∈ X sao cho U (x1,12) không là compact Theo

sao cho U (xn,21n) không là compact (*)

Theo giả thiết, dãy Cauchy {xn} hội tụ tới điểmx Vì X là compact địaphương, tồn tại hình cầu đóngU (x, t) vớit > 0 nào đó thỏa mãn U (xn,21n)

nằm trong U (x, t) với n đủ lớn, và do đó U (xn, 21n) là compact Điều nàymâu thuẫn với (*) 

Tính chất a) được suy ra từ các Bổ đề 1 và 3

b) Các đĩa và đa đĩa là hyperbolic đầy

c) Tích hữu hạn các không gian hyperbolic đầy là hyperbolic đầy

d) Một không gian con đóng của không gian hyperbolic đầy là hyperbolicđầy

e) Giả sử π : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức.Giả sử Y là hyperbolic đầy và với mỗi y ∈ Y, tồn tại một lân cận U saocho π−1(U ) là hyperbolic đầy Khi đó X là hyperbolic đầy

f) Giả sử π : X0 → X là ánh xạ phủ chỉnh hình Khi đó X là hyperbolicđầy nếu và chỉ nếu X’ là hyperbolic đầy.

1.4 Giả metric vi phân Kobayashi

1.4.1 Định nghĩa

Giả sử X là một không gian phức

+ Giả sử x là một điểm trong X Nón tiếp xúc eTxX gồm các vectơ códạng f∗(u), trong đó u ∈ T ∆ và f ∈ Hol(∆, X)

Khi đó, kX : TexX → R được định nghĩa bởi:

kX(v) = inf{kuk, u ∈ T ∆, f∗(u) = v}, v ∈ TexX,

trong đó kuk là độ dài của vectơ tiếp xúc u được đo bởi metric Poincaré

ds2 của đĩa đơn vị ∆ và infimum lấy với mọi f ∈ Hol(∆, X) và u ∈ T ∆

sao cho f∗(u) = v

Nếuxlà điểm chính quy, thì với mỗiv ∈ TxX luôn tồn tại vectơ u ∈ T ∆

sao cho f∗(u) = v, do đó kX(v) < ∞

Nếu x là điểm kỳ dị và nếu không tồn tại u như trên thì ta đặt kX(v) =

∞

Ta gọi kX là metric vi phân Kobayashi trên không gian phức X

+ Ngoài ra kX có thể được định nghĩa một cách tương đương như sau:Giả sử ∆R = {z ∈ C; |z| < R} với metric Poincaré

ds2R = 4R

2dzd¯z(R2 − |z|2)2 = jR∗ds2

trong đó jR : ∆R → ∆ là đẳng cấu biến hình z thành Rz

Vì độ dài của e được đo bởi metric Poincaré ds2R là kek = R2 nên kX cóthể được định nghĩa như sau:

Đặc biệt dấu bằng xảy ra thì f là song chỉnh hình

b) + Trong đĩa đơn vị ∆, k∆ đồng nhất với metric Bergman - Poincaré,tức là k∆2 = ds2

+kCm = 0.c) Trong không gian phức X ta có

kX×Y(u, v) = max{kX(u), kY(v)}

kX( ˙γ(t))dt}.

Trước hết ta chứng minh tính chất giảm khoảng cách qua các ánh xạchỉnh hình của d0X Thật vậy, giả sử f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữacác đa tạp phức Ta chứng minh

d0Y(f (x), f (y)) ≤ d0X(x, y) với mọi x, y ∈ X (1.1)Giả sử γ : [0, 1] → X là đường cong C∞ từng khúc nối x và y trong X.Khi đó f ◦ γ : [0, 1] → Y cũng là đường cong C∞ từng khúc nối f (x) và

f (y) trong Y Từ đó áp dụng tính chất a) ở trên ta nhận được (1.1)

kX( ˙γ(t))dt < d0X(x, y) + ε

Lại có kX( ˙γ(t)) là nửa liên tục trên tại t trong đó ˙γ(t) là liên tục Từ

đó có hàm h : [0, 1] → R+ thỏa mãn với phép chia

0 = t0 < t1 < < tl = 1, (1.3)

Lấy tùy ý điểm p ∈ [tj−1, ti], 1 ≤ j ≤ l Trước hết giả sử rằng ˙γ(p) =

Oγ(p) Lấy (U, φ, ∆m) là hệ tọa độ địa phương chỉnh hình quanh γ(p) với

φ(γ(p)) = O, trong đó m = dimX Khi đó ta đặt

C∞ từng khúc α : Ip → ∆r× ∆m−1 sao cho

α(p) = O và F ◦ α = γ|Ip

Với s ∈ Ip, α(s) = O(|s − p|2) hoặc

là làm mịn của (1.3) và sj − sj−1 < η với mọi j Lấy pj ∈ [0, 1] sao cho

1.4.4 Hệ quả

Giả sử X là không gian phức và H là một hàm độ dài trên X Khi đó

X là hyperbolic nếu và chỉ nếu với mỗi p ∈ X, có các lân cận U của p vàhằng số C > 0 sao cho kX(ξx) ≥ CH(ξx) với mọi ξx ∈ TxX với x ∈ U.Chứng minh

Trước hết ta nhắc lại định nghĩa: Giả sử X là không gian phức với hàmkhoảng cáchd Một cặp(X, d) được gọi là tight nếu họHol(M, N )là đồngliên tục đối với d, và với mọi đa tạp phức M

Giả sử D là một đa đĩa quanh điểm p Vì X là hyperbolic, (X, dX) làtight [3] và do đó họ Hol(∆, X) là họ liên tục đồng đều Từ đó có đĩa ∆δ

quanh0và một lân cậnU củapsao cho nếuΦ(0) = x ∈ U thìΦ(∆δ) ⊂ D

Vì vậy với x ∈ U, ta có δkD(ξx) ≤ kX(ξx)

Ta có thể giả sử U là tập con compact của D Khi đó với x ∈ U, ξx ∈

TxX, ta có kX(ξx) ≥ δkD(ξx) ≥ CH(ξx) với hằng số dương C nào đó.Ngược lại, gọi dCH là khoảng cách trên X sinh bởi CH Theo giả thiết,

f∗(CH) ≤ ds2 với mọi f ∈ Hol(∆, X), trong đó ds2 là metric Bergman Poincaré trên ∆ Từ đó ta có

-dCH(x, y) ≤ dX(x, y) với x, y ∈ X

Điều này kéo theo X là hyperbolic 

Chương 2

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA

CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC

NHIỀU BIẾN PHỨC

2.1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu

Giả sử M và N là các đa tạp Hermit liên thông có số chiều là m và n

với metric Hermit tương ứng là hM và hN Kí hiệu C(M, N ) là không giancác ánh xạ liên tục giữa M và N

2.1.1 Định nghĩa

Dãy {fn} trong C(M, N ) được gọi là dãy phân kỳ compact nếu với mỗitập compact K trong M và tập compact K0trong N, tồn tại n0 > 0 saocho fn(K) ∩ K0 = ∅ với mọi n ≥ n0 Đặc biệt, dãy {pn} các điểm trong

N là dãy phân kỳ compact nếu với mỗi tập compact K trong N tồn tại

n0 > 0 sao cho pn ∈ K/ với mọi n ≥ n0

Nhận xét: Nếu metric hN là đầy đủ trong N thì dãy {pn} là phân kỳcompact tương đương với

lim

n→∞dN(p0, pn) = ∞,

trong đó p0 là điểm cố định trong N và dN là hàm khoảng cách trên N

sinh bởi hN

2.1.2 Định nghĩa

Họ F ⊂ C(M, N ) được gọi là họ chuẩn tắc nếu mỗi dãy của F đềuchứa dãy con hoặc là compact tương đối trong C(M, N ) hoặc là phân kỳcompact

Họ F được gọi là họ đồng liên tục nếu với mỗi ε > 0 và p ∈ M, tồn tại

δ > 0 sao cho dM(p, q) < δ kéo theo dN(f (p), f (q)) < ε với mọi f ∈ F.Nhận xét: Tính chuẩn tắc củaF không kéo theo tính đồng liên tục trongkhi tính đồng liên tục của F cùng với tính đầy đủ của N kéo theo tínhchuẩn tắc Nếu N là compact thì F là chuẩn tắc khi và chỉ khi F đồngliên tục [10]

2.1.3 Định nghĩa

Giả sử M là thuần nhất, tức là nhóm Aut(M ) các tự đẳng cấu của M

là bắc cầu Ánh xạ f ∈ Hol(M, N ) được gọi là ánh xạ chuẩn tắc nếu họ

là đạo hàm cực đại của f ứng với KM tại p

Chúng ta gọi hằng số Qf là bậc chuẩn tắc của f và kí hiệu BΩ là tậpcác ánh xạ Bloch mà có bậc nhỏ hơn hoặc bằng Ω Khi đó

theo nghĩa: với bất kỳ ϕ ∈ Aut(M ) ta có

trong đó p0 là điểm cố định của M

Giả sử M, N là các đa tạp phức Với mỗi p ∈ M, ξ ∈ Cm và f ∈Hol(M, N ), ta định nghĩa

RM(p, ξ) = sup{|ϕ0(0)| : ∃ϕ ∈ Hol(∆, M ), ϕ(0) = p, ϕ0(0)a = ξ, ∀a > 0}

Ngoài ra, ta định nghĩa

(a) Nếu M là hyperbolic thì với mỗi p ∈ M tồn tại một lân cận W của

p và số RM(W ) ∈ (0, ∞) sao cho

|ξ|

RM(W ) ≤ KM(q, ξ) với q ∈ W (2.3)(b) Giả sử M là hyperbolic Nếu M là đầy đủ thì

Bất đẳng thức (2.2) được suy ra từ (2.1) và định nghĩa của Qf

(a) là kết quả của H.L.Royden, chỉ ra rằng M là hyperbolic khi và chỉkhi với mỗi p ∈ M, tồn tại lân cận W của p và số RM(W ) > 0 sao cho(2.3) đúng

(b) là hệ quả trực tiếp của (2.1)

Bằng các lập luận tiêu chuẩn về các họ chuẩn tắc ta có metric vi phân

KM là hàm liên tục của (p, ξ) ∈ M ×Cm khi M là taut [3] Do đó, khẳngđịnh đầu tiên của (c) là hiển nhiên Khẳng định thứ hai của (c) được suy

ra từ kết quả đa tạp phức hyperbolic đầy đủ luôn là taut [7]