b Viết phương trình tiếp tuyến của C, biết tiếp tuyến tiếp xúc với C tại hai điểm phân biệt.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB đều và SCD vuông cân tại S.. G
Trang 1ĐOÀN TNCS HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG
==================
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán - Khối A – A1 - B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
- -
Câu 1 (2, 0 điểm) Cho hàm số y = x4 – 2x2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt
Câu 2 (1, 0 điểm) Giải phương trình:
5
2013 sin ) sin 2
cos 3
(sin 5
2013 cos ) cos 2
sin 3
x x
x x
x
Câu 3 (1, 0 điểm) Giải phương trình 4 2 8 2 3 1
Câu 4 (1, 0 điểm) Tính tích phân I x x dx
4 3
4
4 sin ) 2 sin 2 2 (
Câu 5 (1, 0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB
đều và SCD vuông cân tại S Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD Tính theo
a thể tích của khối chóp S.AMCN và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC
Câu 6 (1, 0 điểm) Cho các số x, y, z thuộc khoảng (0; 1) và thỏa mãn xyz = (1 – x)(1 –
y)(1 – z) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2 + z2
Câu 7a (1, 0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm
I(2; -3), phương trình đường thẳng AB là 3x + 4y – 4 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình
vuông ABCD, biết hoành độ của A lớn hơn 2
Câu 8a (1, 0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(4; -4, 3), B(1;
3; -1), C(-2; 0; -1) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua các điểm A, B, C và cắt hai mặt phẳng (): x + y + z + 2 = 0 và (): x – y – z – 4 = 0 theo hai giao tuyến là hai đường tròn
có bán kính bằng nhau
Câu 9a (1, 0 điểm) Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 1
2
1 2
i z
z
Tính giá trị biểu thức P = ( 1 z12)( 1 z22)
======HẾT======
Thí sinh không được dùng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 2ĐOÀN TNCS HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG
==================
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán - Khối A - A1 - B
- -
I Hướng dẫn chung
1 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định
2 Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Ban chấm thi
3 Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm)
II Đáp án và thang điểm
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x4 – 2x2
1 TXĐ: D = R
2 Sự biến thiên:
a.Chiều biến thiên:
+) y’ = 4x3 – 4x; y’ = 0 4x3 – 4x = 0 x = 0, x = 1
0.25
+) Xét dấu y’:
Suy ra hàm số nghịch biến trên (-; -1) và (0; 1); đồng biến trên (-1; 0) và (1; +)
b) Cực trị:
-Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = -1, đạt cực đạt tại x = 0, yCĐ = 0
c) Các giới hạn:
x
x
lim
0.25
d) Bảng biến thiên:
0
+ ∞ + ∞
-1
x y' y
0.25
3 Đồ thị hàm số:
- Đồ thị hàm số nhận oy làm trục đối xứng:
- Đồ thị hàm số qua hai điểm:
) 0
; 2 ( , ( 2 ; 0 )
8
6
4
2
2
4
6
-1
1 -1
0.25
1
b) Giả sử đường thẳng d tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt A(a; a4 – 2a2) và B(b;
b4 – 2b2) (a b)
Khi đó y = y’(a)(x – a) + a4 – 2a2 và y = y’(b)(x – b) + b4 – 2b2 đều là phương trình
của tiếp tuyến d
0.25
Trang 3Đồng nhất thức, ta có:
2 4
2 4
2 )
( ' 2
) ( '
) ( ' ) ( '
b b b by a
a a ay
b y a y
0 ] 2 ) (
3 )[
(
0 1
2 2
2 2
b a b a
b ab a
0.25
5
2013 sin ) sin 2 cos 3
(sin 5
2013 cos ) cos 2
sin 3
x x
x x
x
0 5
2013 cos
5
2013 2
sin 5
2013 3
x x
x
0.25
0 5
2013 2
sin sin 5
2013 2
sin
x x
x
2sin 1 0 5
2013 2
0.25
0 5
2013 2
2
Phương trình có các họ nghiệm:
2 10
k
6
7
k
x
4
1 3 2 ) 3 2 ( 4
9 6
4 2
2 2
2
1 3 2 2
3
(2)
(1)
2
1 3 2 2
3 2
2
1 3 2 2
3 2
x x
x x
0.5
3
Giải (1), (2) ta được
4
17
3
4
21
5
x
0.5
4 3
4
4 sin ) 2 sin 2 2 (
dx x
x dx
x
4 3
4
2 4
3
4
4
sin 4 cos
4 4
sin ) 2 2 cos 1
(
2
0.5
4
x
4
1
4
3
0.25
4
Suy ra:
3
4 3
4
1
0
2
I
0.25
5
MN AB
SM AB
Trang 4Trong mặt phẳng (SMN) kẻ SH MN SH (ABCD)
Ta có
2
3
a
SM , MN = a,
2 2
CD
Ta có MN2 = SM2 + SN2
suy ra SMN vuông tại S
Suy ra: 12 1 2 12
SN SM
SH =
4
3
a
,
a
M
S
D
C B
A
0.25
2
2
1 2
1
a S
24
3
3
.
a S
SH
SN SM
CD SM
Vì AB // CD AB // (SCD) nên d(AB, SC) =
d(AB, (SCD)) = d(M, (SCD)) = SM =
2
3
a
0.25
Từ giả thiết: xyz = (1 – x)(1 – y)(1 – z) xyz = 1 – (x + y + z) + (xy + yz + zx) – xyz
xy + yz + zx = 2xyz + (x + y + z) - 1
0.25 Mặt khác: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) = (x + y + z)2 - 2(x + y + z) + 2
– 4xyz ≥
3 2
3 4 2 ) (
2 )
x
0.25
Đặt t = x + y + z, vì x, y, z thuộc (0; 1) nên 0 < t < 3
Suy ra x2 + y2 + z2 ≥ t2 – 2t + 2 -
27
4t3
, t (0; 3)
0.25
6
Khảo sát hàm số f(t) = t2 – 2t + 2 -
27
4t3
, t (0; 3) và tìm được giá trị nhỏ nhất là
4 3
khi x = y = z = ½
0.25
Cạnh hình vuông ABCD là a = 2d(I, AB) = 4
Vì ABCD là hình vuông nên IA = IB = a
2
2
=2 2
0.25
Khi đó A, B thuộc đường tròn (C) tâm I(2; -3), bán kính R = 2 2, có phương trình
là: (x – 2)2 + (y + 3)2 = 8
0.25
7
Suy ra A, B là giao của AB và (C) có tọa độ là nghiệm của hệ:
8 ) 3 ( ) 2
(
0 4 4
3
2 2
y x
y x
5
13
; 5
24
5
1
; 5
8
B (Vì xA > 2 )
0.25
3x+4y-4=0
B A
I
Trang 5Vì I là trung điểm của AC và BD nên
5
17
; 5
4
5
29
; 5
12
Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu (S) Vì (S) đi qua các điểm A, B, C và cắt hai mặt
phẳng (): x + y + z + 2 = 0 và (): x – y – z – 4 = 0 theo hai giao tuyến là hai đường
tròn có bán kính bằng nhau nên ta có hệ:
4 2
9 2 2 3
15 4 7 3
)) ( , ( )) ( ,
c b a
c b a
I d I
d
IC IA
IB IA
0.25
Giải hệ ta được:
3 0 1
c b
a
hoặc
7 / 9
7 / 12
7 / 19
c b
Với
3 0 1
c b
a
, viết được phương trình mặt cầu: (x1)2 y2 (z3)2 25
0.25
9
Với
7 / 9
7 / 12
7 / 19
c b
a
, mặt cầu có phương trình:
49
1237 )
7
9 ( ) 7
12 ( ) 7
19
0.25
2
1 2
i z
z
i z
z
2
1
i z
z
2
1
(2)
0.25
Từ (1) ta tìm được: z i
5
4 5
2
9
Suy ra: P = (1 )(1 2)
2 2
25
16 25
13
