111 đề hsg toán 8 kiến xương 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIẾN XƯƠNG ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (4,0 điểm) Cho đa thức 1) Phân tích đa thức thành nhân tử 2) Chứng minh rằng chia hết cho 6[.]

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2022-2023

Bài 1 (4,0 điểm) Cho đa thức P x( )x3 6x211x 6

1) Phân tích đa thức P x( )thành nhân tử

2) Chứng minh rằng P x( )chia hết cho 6 với mọi x nguyên

Bài 2.(4,0 điểm)

1) Cho 3 số dương x y z, , Chứng minh rằng  

1 1 1

9

x y z

x y z

     

2) Cho a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác Xác định dạng của tam giác để :

P

b c c a a b

   đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3 (5,0 điểm) Cho biểu thức

2 2 2 2

2 2

2 : 1

x y x y x y x y A

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tính giá trị biểu thức A biết xlà số nguyên lớn nhất thỏa mãn 2

2 1

1 1

x x





 3) Tìm các số nguyên không âm x để A có giá trị là số nguyên

Bài 4 (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD,gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB BC, Hai đường thẳng ADvà MC cắt nhau tại E Ilà giao điểm của CM và DN

1) Chứng minh rằng :

a) DEIvuông

b) AIM  ACM 45

2) Tính tỉ số diện tích của tam giác CNIvà diện tích hình vuông ABCD

Bài 5 (1,0 điểm) Cho a b, là hai số dương thỏa mãn

4 5

a b 

Chứng minh 29

5

a b

a b

ab



ĐÁP ÁN Bài 1 (4,0 điểm) Cho đa thức P x( )x3 6x211x 6

3) Phân tích đa thức P x( )thành nhân tử

4) Chứng minh rằng P x( )chia hết cho 6 với mọi x nguyên

Do P(x)= x1 x 2 x 3là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 Do đó P chia hết cho 6

Bài 2.(4,0 điểm)

3) Cho 3 số dương x y z, , Chứng minh rằng  

1 1 1

9

x y z

x y z

     

Biến đổi : 

1 1 1

x y z

            

Do x y z , , 0nên áp dụng bất đẳng thức Co si cho 2 số dương ta được

cmtt

y x  y x  zx  z y 

x y z 1 1 1 3 2 2 2 9

x y z

          

Dấu bằng xảy ra khi x y z Vậy  

1 1 1

9

x y z

x y z

     

4) Cho a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác Xác định dạng của tam giác để :

P

b c c a a b

   đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có :

 

3

3 2

a b c

b c c a a b

b c c a a b

           

Áp dụng ý 1 ta có :

b c c a a b

Dấu bằng xảy ra khi a b c 

Vậy

P

b c c a a b

   đạt giá tri nhỏ nhất là

3

2khi tam giác là tam giác đều

Bài 3 (5,0 điểm) Cho biểu thức

2 2 2 2

2 2

2 : 1

x y x y x y x y A

4) Rút gọn biểu thức A

2 2 2 2

2 2

2

2 : 1

2 1

x y x y x y x y

A

x y



Vậy 2

2

1

x

A

x





5) Tính giá trị biểu thức A biết xlà số nguyên lớn nhất thỏa mãn 2

2 1

1 1

x x







2

2 1

1

x

x



          



Do x là số nguyên lớn nhất nên x 2

2.2 4 2

2 1 5

 Vậy với xlà số nguyên lớn nhất thỏa mãn 2

2 1 1

x x





 1 thì

4 5

A 

6) Tìm các số nguyên không âm x để A có giá trị là số nguyên.

Ta có 2

2

1

x A

x



 Do x0,x2 1 0nên A 0  1

Ta có

 

2

2

x A

Từ (1) và (2) suy ra 0 A 1 Do A là số nguyên nên A0;1

 

 

Vậy với x 0;1 thì A có giá trị là số nguyên

Bài 4 (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD,gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh

,

E

I N

M B

A D

C

3) Chứng minh rằng :

c) DEIvuông

Chứng minh MBCNCD c g c .  BMCDNC

Mà BMC MCN 90  INC ICN 90

d) AIM  ACM 45

Chứng minh được AIlà trung tuyến của DEIvuông tại I

Chứng minh AEIcân suy ra  E MIA

MIA MCA E MAC DAC

       (tính chất góc ngoài của tam giác)

45

DAC

  (tính chất hình vuông) Từ đó suy ra dpcm

4) Tính tỉ số diện tích của tam giác CNIvà diện tích hình vuông ABCD

Chứng minh INC∽ BMC

Tính được

2 1 5

CNI BMC

 

  

 

Chứng minh

1 4

BMC ABCD

Từ đó suy ra

1 20

CNI ABCD

S

Bài 5 (1,0 điểm) Cho a b, là hai số dương thỏa mãn

4 5

a b 

Chứng minh

29 5

a b

a b

ab



Với

1 1 4 , 0

a b

   

 mà

4 5

a b 

1 1

5 1

a b 

Ta có

           

Áp dụng bất đẳng thức Co si với hai số dương, ta có :

 

Từ (1) và (2) ta có :

4 4 21 29

.5

5 5 25 5

Dấu bằng xảy ra khi

2 5

a b 

Vậy

a b

ab

