106 đề hsg toán 8 quảng ngãi 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐÈ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (3,0 điểm) 1) Chứng minh rằng chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n 2) Tìm ba số nguyên tố sao cho cho[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI

ĐÈ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1 (3,0 điểm)

1) Chứng minh rằng n23n12 1

chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n 2) Tìm ba số nguyên tố p q r, , sao cho p2q2r2cho cũng là số nguyên tố

Bài 2 (5,0 điểm)

1) Cho x y 1 Tính giá trị của biểu thức A x 3y33xy

2) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xyz 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 3 3 3 3

B

Bài 3 (4,0 điểm)

1) Cho a b c  0 Rút gọn biểu thức

C

2) Giả sử a b c, , là ba số đôi một khác nhau và 0

b c  c a  a b 

Bài 4 (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCDcó cạnh bằng a Gọi O là giaođiểm hai đường chéo

&

AC BD Trên các đoạn ABvà OC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho AE OF 2

1) Chứng minh tam giác DEF là tam giác vuông cân

2) Giả sử AE 2EB Tính diện tích tam giác DEF theo a

Bài 5 (4,0 điểm)

1) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu của A lên đường chéo BD Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC và DH Tính số đo của ANM

2) Cho tam giác ABC vuông tại A Từ điểm M trong tam giác ta vẽ MI vuông góc với BC , MJ vuông góc với CA; MK vuông góc với AB.Xác định vị trí của điểm M để tổng

MI MJ MK nhỏ nhất

ĐÁP ÁN Bài 1 (3,0 điểm)

3) Chứng minh rằng n23n12 1

chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n

n23n121n23n 1 1 n23n 1 1  n23n n  23n2 n n  3 n1 n2

Trong tích trên có 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 và có 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8 mà (3,8)=1 nên n23n121 3.8 hay n 23n121 24

4) Tìm ba số nguyên tố p q r, , sao cho p2 q2r2cho cũng là số nguyên tố

tố) Vì p q r, , liên tiếp nên có nhiều nhất 1 số chẵn (1)

Giả sử pchẵn nên p2chẵn  q2r2lẻ nên có 1 số chẵn

Giả sử p2chẵn nên q chẵn (trái với (1)) Vậy p q r, , lẻ

Giả sử trong 3 số p q r, , không có số nào chia hết cho 3

, ,

p q r

 chia 3 dư 1 hoặc 2 p q r2; ;2 2chia 3 dư 1 p2q2r23

Mà p2q2r2 38và là số nguyên tố nên vô lý

Vậy có ít nhất 1 số 3và p là số bé nhất nên p3,q5,r7

Bài 2 (5,0 điểm)

3) Cho x y 1 Tính giá trị của biểu thức A x 3y33xy

2

A x y xy x y x xy y xy

x xy y xy x xy y x y

4) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xyz 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 3 3 3 3

B

Ta có :  

0

x y   x  xy y xy

Ta có: x3y3 x y x   2 xy y 2 x y xy 

3 3 1

x y x y xy xyz x y z xy

Tương tự ta có : y3z3 1 x y z yz   ;z3x3 1 x y z xz  

3 3

3 3

3 3

1

1

1

1 1

1 1

x y x y z xy

y z x y z yz

z x x y z xz

B

x y z

B

x y z xyz xyz





















 

 

Dấu bằng xảy ra khi xy y z z x,  ,   x  y z 1

Bài 3 (4,0 điểm)

3) Cho a b c  0 Rút gọn biểu thức

C

C

 

4) Giả sử a b c, , là ba số đôi một khác nhau và 0

b c  c a  a b 

                 

2 2 2 2 2 2

0 0

0( )

b c c a a b b c c a a b b c c a a b

b c c a b c a b a b c a

a b b c c a

dfcm

    

Bài 4 (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCDcó cạnh bằng a Gọi O là giaođiểm hai đường chéo AC&BD.Trên các đoạn ABvà OC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho AE OF 2

O

F

C

B A

D

E

3) Chứng minh tam giác DEFlà tam giác vuông cân

Tam giác AODvuông cân ở O nên

 

Mà ADE EDOADO45  ODF EDO45  EDF45

90

         vuông tại F mà EDF45cmt

EFD

  vuông cân tại F

4) Giả sử AE 2EB Tính diện tích tam giác DEF theo a

Ta có

2

a

Có

2

DE AD AE a    DF   DF 

2 13 2

2 36

DEF

Bài 5 (4,0 điểm)

3) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu của A lên đường chéo BD Gọi M,

N theo thứ tự là trung điểm của BC và DH Tính số đo của ANM

M

C

L

N

H A

D

B

Gọi L là trung điểm của AH

AHD

 có L là trung điểm AH (cách vẽ), N là trung điểm DH (gt)

Nên LN là đường trung bình AHD LN/ /AD

Mà DAAB(hình chữ nhật ABCD)  LN AB(tính chất từ vuông góc đến song song)

ANB

NL là đường trung bình  

1 2

Có ABCDlà hình chữ nhật nên AD BC

2

(M là trung điểm của BC) mà NL BM cmt/ /  

LBMN

 là hình bình hành nên BL MN/ / mà ALBN

90

4) Cho tam giác ABC vuông tại A Từ điểm M trong tam giác ta vẽ MI vuông góc với

BC, MJ vuông góc với CA; MK vuông góc với AB.Xác định vị trí của điểm M để tổng MI2MJ2MK2nhỏ nhất

H D

J

I K

B

A

M

C

Kẻ AH BC H BC  AH cố định, MDAH D AH  

Xét tứ giác AKMJ có AKM 90MK AB, KAJ 90  ABCvuông tại A)

90

tứ giác AKMJ là hình chữ nhật  MJ KA

Ta có MJ2MK2 KA2MK2 AM2(Theo Pytago)

Xét tứ giác HIMDcó DHI 90AH BC

Suy ra tứ giác HIMDlà hình chữ nhật suy ra MI=HD

ADM

 có MAD90MDAH  ADM vuông tại D nên AM AD

Xét MK2MJ2MI2 AM2HD2 AD2HD2

Ta có  

2 AD HD AD HD 2AD HD AD HD AH

2

2

AH

AD HD

cố định (do AH cố định) nên

2

2

AH

MK MJ MI 

Dấu bằng xảy ra khi AD HD M , D M là trung điểm của AH

Vậy M là trung điểm đường cao hạ từ A của ABCthì  2 2 2 2

2

MIN

AH

MK MJ MI 