096 đề hsg toán 8 như xuân 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NHƯ XUÂN ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 8 – NĂM HỌC 2022 2023 Câu 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn A b) Tìm giá trị lớn nhất của A Câu 2 (4,0[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NHƯ XUÂN

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 8 – NĂM HỌC 2022-2023 Câu 1 (4,0 điểm)

Cho biểu thức

:

A

a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị lớn nhất của A

Câu 2 (4,0 điểm)

1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

3 2

) 6 11 6

a x  x  x

) 2019 2018 2019

b x  x  x

2) Giải phương trình :

2018 2018 ( 2019) 2019 19

49



Câu 3 (4,0 điểm)

a) Cho a b c  0và a2b2c2 14.Tính giá trị của biểu thức N a4b4c4

b) Cho ba số a b c, , khác 0 thỏa mãn

2 2 2

2 2 2

b c a  c a a

Chứng minh rằng a b c 

Câu 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A.Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC.

Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM,đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BAtại E

a) Chứng minh EA EB ED EC.  . và EADECB

b) Cho BMC120và S ABD 36cm2 Tính S EBC

c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM BD CM CA.  . có giá trị không đổi

d) Kẻ DH BC H BC Gọi P Q, lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng

,

BH DH Chứng minh CQPD

Câu 5 (2,0 điểm) Cho x y , 0thỏa mãn x y 2

Chứng minh rằng :

2 2

8

    

ĐÁP ÁN Câu 1 (4,0 điểm)

Cho biểu thức

:

A

c) Rút gọn A

ĐKXĐ: x 1

2

2 2

2

:

2 5 5

A

x x



 

d) Tìm giá trị lớn nhất của A

Ta có :

2

x  x  x  x    x  

Vì

0 2

2

2

x x

x x

Vậy

Max A  x

Câu 2 (4,0 điểm)

3) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

2

               

) 2019 2018 2019 2019 2019 2019

4) Giải phương trình :

2018 2018 ( 2019) 2019 19

49



2018

2018 2018 ( 2019) 2019 19

1

2019 49

x

x





Đặt x 2019 y x 2018 y 1

2

2

2

1

1 19

49 49 49 57 57 19

3 3 1 49

2019

0

3

2

y y

y y

    

 

 

             





   

         







2021,5

3 2017,5 2019

2

x x





  



Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2021,5;2017,5

Câu 3 (4,0 điểm)

c) Cho a b c  0và a2b2c2 14.Tính giá trị của biểu thức N a4b4c4

ab ac bc ab ac bc

a b b c a c abc a b c a b b c a c

a b c a b c a b b c a c

d) Cho ba số a b c, , khác 0 thỏa mãn

2 2 2

2 2 2

b c a  c a a

Chứng minh rằng a b c 

b  c  a    Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có :

2 2 2 2 2 2 ; : 2 2 2 ; 2 2 2

x y  x y  xy cmtt y z  yz x z  xz

   

 

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1 1 1

*

x y z xy yz zx x y z xy yz zx

x y z

x y z b c a c a a

Mà

2 2 2

2 2 2

b c a  c a a

Vậy đẳng thức (*) xảy ra khi và chỉ khi x   y z 1 a b c dfcm  ( )

Câu 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A.Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh

AC Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM,đường thẳng này cắt tia BM tại

D, cắt tia BAtại E

Q

E

D A

M

e) Chứng minh EA EB ED EC.  . và EADECB

*) Xét EACvà EDBcó : E chung,EACEDB90  EAC∽ EDB g g( )

EA EC

EA EB EC ED

ED EB

*) Xét EAC&EBCcó :

( )

EA EC EA ED

EDA EBC c g c EAD ECB

ED EB  EC EB   ∽    

f) Cho BMC120và S ABD 36cm2 Tính S EBC

Ta có BMC120  AMB180 120 60

 

1

2

ED ED

EB EB

Mặt khác

1

EAD EBC

EDA EBC

∽

2

g) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng

BM BD CM CA có giá trị không đổi

Kẻ MH BC Xét BKM và BDCcó :

B chung K D BKM BDC g g

 

BM BK

BM BD BK BC

BC BD

Xét CKM và CABcó : C chung,K  A 90  CKM ∽CAB g g( )

 

CM CK

CM CA CB CK

CB CA

Từ (1) và (2) ta có BM BD CM CA BC BK CK.  .     BC BC BC.  2(không đổi)

h) Kẻ DH BC H BC Gọi P Q, lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng

,

BH DH Chứng minh CQPD

Xét BDHvà BCDcó : B chung,H D90  BDH∽ BCD g g( )

Xét DHCvà BDCcó : C chung,H D90  DHC∽ BDC g g( )

BH BD BHD DHC g g

DH DC

Do

2

2 ( ), 2

2

BD BP BP

BH BD gt DH DQ

DC DQ DQ

BD BP DBP CDQ BDH DHC

DC DQ

( )

DPB CQD c g c BDP DCQ

Câu 5 (2,0 điểm) Cho x y , 0thỏa mãn x y 2

Chứng minh rằng :

2 2

8

    

Ta có :  

2 2

               

Áp dụng BĐT Cosi cho hai số x y2; 2ta có x2y22xy

2 2

2 2 2

2 2

2

2 2

1

x y

x y

x y

x y xy

xy







Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số 2 2

1 1

;

x y ta có :

2 2

2 2

                  

Dấu bằng xảy ra khi x y 1