094 đề hsg toán 8 như xuân 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NHƯ XUÂN ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN 8 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (4 điểm) Cho biểu thức a) Tìm để giá trị của được xác định Rút gọn biểu[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NHƯ XUÂN

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022-2023 MÔN TOÁN 8 _ Thời gian làm bài : 120 phút

Bài 1 (4 điểm) Cho biểu thức

1

2 8 8 4 2

A

a) Tìm xđể giá trị của Ađược xác định Rút gọn biểu thức A

b) Tìm các giá trị nguyên của xđể Anhận giá trị nguyên

Bài 2 (4,0 điểm)

1 Phân tích đa thức thành nhân tử :

3 2

a x x   x

) 2021 2020 2021

b x  x  x

2 Tìm đa thức f x biết rằng f x chia cho x 2dư 10, f x chia cho x  2dư 24,

 

f x chia cho x 2 4được thương là 5xvà còn dư

Bài 3 (4,0 điểm)

1) Chứng minh rằng : A n 36n28nchia hết cho 48với nchẵn

2) Tìm các nghiệm nguyên dương x y; của phương trình 7x xy  3y0

Bài 4 (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD,lấy điểm M trên BDsao cho MB MD . Đường thẳng qua Mvà song song với ABcắt ADvà BClần lượt tại Evà F.Đường thẳng qua M và song song với ABcắt ADvà BClần lượt tại Evà F Đường thẳng qua M và song song với ADcắt ABvà CDlần lượt tại Kvà H

1) Chứng minh KF/ /EH

2) Chứng minh các đường thẳng EK HF BD, , đồng quy

3) Chứng minh S MKAE S MHCF

Bài 5 (2,0 điểm) Cho a b c, , là ba số dương thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng :

     

2

a b c b c a c a b 

ĐÁP ÁN

Bài 1 (4 điểm) Cho biểu thức

1

2 8 8 4 2

A

c) Tìm xđể giá trị của Ađược xác định Rút gọn biểu thức A

ĐKXĐ: x2;x0 Ta có :

2

2

1

2 8 8 4 2

(2 )( 4)

2

2 4

A

x

x





d) Tìm các giá trị nguyên của xđể Anhận giá trị nguyên

1

2

x

x



Mà 2 2x x  2 2 x 1x x1(tmdk)

Vậy

1 1

1 2

x x

x x







    



Bài 2 (4,0 điểm)

3 Phân tích đa thức thành nhân tử :

2

) 2021 2020 2021

b x  x  x

Ta có :

2021 2020 2021 2021 2020 2020 2020 1

4 Tìm đa thức f x biết rằng f x chia cho x 2dư 10, f x chia cho x  2dư

24, f x 

chia cho x 2 4được thương là 5xvà còn dư

Giả sử f x chia x 2 4được thương là 5xvà còn dư là ax b

KHI ĐÓ f x  x2 4  5xax b

THEO ĐỀ BÀI TA CÓ

 

7

2

a b





  

VẬY ĐA THỨC CẦN TÌM LÀ   3 47

2

f x  x  x

Bài 3 (4,0 điểm)

3) Chứng minh rằng : A n 36n28nchia hết cho 48với nchẵn

Ta có : A n 36n28n n n  2 n4

Vì nlà số chẵn nên đặt n2k k   Khi đó :

A k k k  k k k

Vì k k 1 k2là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6

Vậy A8k k 1 k2 8.6  A8k k 1 k2 48

4) Tìm các nghiệm nguyên dương x y; của phương trình 7x xy  3y0

Ta có 7x xy  3y 0 x3 7   y 21 * 

Vi x Z nên x  3 4

Từ (*) suy ra





Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương x y ;   4;4 ; 18;6   

Bài 4 (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD,lấy điểm Mtrên BDsao cho MB MD .

Đường thẳng qua M và song song với ABcắt ADvà BClần lượt tại Evà F.Đường thẳng qua M và song song với ABcắt ADvà BClần lượt tại Evà F Đường thẳng qua M và song song với ADcắt ABvà CDlần lượt tại Kvà H

G

N Q

O

P

H

K E

F

C

A

D

B M

4) Chứng minh KF/ /EH

Chứng minh được

ME DE FC (hệ quả định lý Talet)

Chứng minh được

AK MD ME (Định lý Talet)

KF AC

AK FC  (định lý Talet đảo)

Chứng minh tương tự ta có EH/ /AC

5) Chứng minh các đường thẳng EK HF BD, , đồng quy

Gọi giao điểm của BDvới KF và HE lần lượt tại Ovà Q N là giao điểm của ACvà BD

OK QE

OF QH 

Gọi giao điểm của đường thẳng EKvới HF là P, gọi giao điểm của đường thẳng EK và

DBlà P'.Chứng minh được P P '

6) Chứng minh S MKAE S MHCF

Kẻ EGvà FIvuông góc với HK I, và G thuộc HK

Chỉ ra được S MKAE MK EG S. ; MHCF MH FI. Chứng minh được

MH HD MH ME

Chứng minh được

ME EG

MK EG MH FI

MH EG   Suy ra S MKAE S MHCF(dfcm)

Bài 5 (2,0 điểm) Cho a b c, , là ba số dương thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng :

     

2

a b c b c a c a b  Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức : với mọi a b c R x y z, ,  , , , 0ta có :

 

2

2 2 2

*

a b c

a b c

x y z x y z

 

 

Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi

a b c

x y z Thật vậy,với a b R x y,  , , 0ta có :

2

2 2

2

2 2 2

**

a b

a b

a y b x x y xy a b

x y x y

bx ay luon dung





Dấu bằng xảy ra khi

a b

x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có:

2 2 2 a b 2 a b c

x y z x y z x y z

   Dấu bằng xảy ra khi

a b c

x y z

a b c b c a c a b ab ac bc ab ab bc    

Áp dụng bất đẳng thức  * ta có :

2

1

1 1 1

a b c a b c

ab ac bc ab ab bc ab bc ca

a b c

 

Hay

1 1 1 1 2

ab ac bc ab ab bc a b c

Mà

1 1 1

3

a b c

  

  (vì a b c , , 0)nên

3 2

ab ac bc ab ab bc     

Vậy 3  3  3 

2

a b c b c a c a b  (đpcm)