036 đề hsg toán 8 cẩm xuyên 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CẨM XUYÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2022 2023 ĐỀ THI MÔN TOÁN 8 I PHẦN ĐIỀN KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) Câu 1 Tìm các giá trị t[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CẨM XUYÊN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2022-2023

ĐỀ THI MÔN TOÁN 8 I.PHẦN ĐIỀN KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)

Câu 1.Tìm các giá trị a b, thỏa mãn đẳng thức 5a2b2 2ab 4a  1 0

Câu 2.Tìm ađể khi chia đa thức f x  2x2 x acho đa thức g x   x 2có dư là  1

Câu 3.Tìm số tự nhiên nđể n3 n2 n 1là số nguyên tố

Câu 4.Cho hình thang ABCD AB CD / / có ACBD Biết AC6cm BD, 8cm Tính chiều cao của hình thang

Câu 5.Tìm các cặp số nguyên x y; thỏa mãn phương trình x2 y23y2

Câu 6.Rút gọn biểu thức

x xy y A

x xy y



Câu 7.Cho tứ giác lồi ABCD.Hãy vẽ đường thẳng đi qua Achia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau

Câu 8.Cho hình thang ABCDcó đáy nhỏ AB5cm,đáy lớn CD 8cm

Câu 9 Cho các số thực a b, thỏa mãn

2 4

2 4

1 1

4.

a b

a b

Tính giá trị biểu thức

2

P a b 

Câu 10.Tìm các số nguyên nđể n 2018và n 2021đều là số chính phương

II.PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)

x  x x  x x  x 

Câu 12.Cho x y z, , thỏa mãn

1 1 1

0.

x y z  Tính giá trị của biểu thức :

P

x yz y zx z zy

Câu 13.Cho hình thang ABCD AB CD / /  Gọi E là trung điểm của AB AC, cắt EDtại

M, BDcắt EC tại N Đường thẳng MNcắt AD EC, lần lượt tại P và Q Chứng minh

1

AP CQ

ADBC 

Câu 14 Cho lục giác lồi ABCDEF trong đó các cạnh và các đường chéo của lục giác

được tô bởi một trong hai mà Xanh (X) hoặc Đỏ (Đ) Chứng mnh rằng luôn tồn tại

ba đỉnh của lục giác là ba đỉnh của một tam giác có các cạnh cùng màu

ĐÁP ÁN I.PHẦN ĐIỀN KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)

Câu 1.Tìm các giá trị a b, thỏa mãn đẳng thức 5a2b2 2ab 4a  1 0

Ta có :

a

a b





Câu 2.Tìm ađể khi chia đa thức f x  2x2 x acho đa thức g x   x 2có dư là

1



f x  x  x acho đa thức g x   x 2có dư là  1

Vậy a 7thì đa thức f x  2x2 x achia cho đa thức g x   x 2có dư là  1

Câu 3.Tìm số tự nhiên nđể n3 n2 n 1là số nguyên tố

Ta có n3  n2  n 1 n n2  1  n 1  n 1 n2  1

Để n3 n2 n 1là số nguyên tố thì 2

1 1

1 1

n n

 





 



Với n1 1  n2,suy ra n  2 1 5là số nguyên tố (thỏa mãn)

Với n2  1 1 n 0 n11(ktm)

Vậy với n 2thì n3  n2  n 1là số nguyên tố

Câu 4.Cho hình thang ABCD AB CD / / có ACBD Biết AC6cm BD, 8cm Tính chiều cao của hình thang

C

H B

D

O

A

Kẻ DH AB H AB Ta có AB CD/ / (ABCD là hình thang)

Gọi O là giao điểm của ACvà BD

OA OB

OC OD

(định lý Talet)

OA OC OA OC

OB OD OB OD



 (tính chất tỷ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau)

6 3

8 4

OA OC AC

OB OD BD

Xét BHDvà DOCcó : BHDDOC 90 

HBD ODC

  (hai góc so le trong, AB CD/ / )

Do đó BHD∽ DOC g g( )

BH

Xét DBHvuông tại H có BD2 DH2 BH2(định lý Pytago) Suy ra

2

DH

Câu 5.Tìm các cặp số nguyên x y; thỏa mãn phương trình x2 y23y2

Ta có : x2 y23y 2 x2 y2 3y 2 x2 y1 y 2

Vì x y  , nên x2là số chính phương mà y1 y 2là tích hai số nguyên liên tiếp

Do đó để    

Vậy các cặp số nguyên x y, thỏa mãn phương trình x2 y2 3y2là 0;1 , 0; 2  

Câu 6.Rút gọn biểu thức

x xy y A

x xy y



A

x x y y x y x y x y x y

x x y y x y x y x y x y

Câu 7.Cho tứ giác lồi ABCD.Hãy vẽ đường thẳng đi qua Achia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.

K

C D

Qua Bkẻ đường thẳng song song với ACcắt đường thẳng DCtại E Gọi F là trung điểm của DE.Kẻ BH AC EK, AC

Xét tứ giác BEKHcó : BE HK BE/ /  / /AC BH, / /EKAC

Do đó tứ giác BEKHlà hình bình hành nên BH EK

ABC ACE ABC ACE

S  AC BH S  AC EK S S

Ta có :

ABCF ABC ACF ACE ACF AEF

S S S S S S

Xét AEDcó AF là đường trung tuyến suy ra S ADF S AEF

1 2

ABCF ADF ABCD

Vậy AF là đường thẳng cần vẽ

Câu 8.Cho hình thang ABCDcó đáy nhỏ AB5cm,đáy lớn CD8cm

6cm

8cm

I

M

Xét hình thang ABCDcó MNlà đường trung bình

6 8

AB CD

MN AB MN      cm

Xét ABDcó MA MD MK , / /AB K là trung điểm của BD

MK

 là đường trung bình của

.6 3( )

Chứng minh tương tự ta tìm được  

.6 3

IN  AB  cm

Ta có MN MK KI IN 

7 3 3 1( )

Câu 9 Cho các số thực a b, thỏa mãn

2 4

2 4

1 1

4.

a b

a b

Tính giá trị biểu thức

2

P a b 

Ta có :

2

2

2 2

1

0

0

1

a a









 

 

3 3 3

3

Vậy P   2;0;2

Câu 10.Tìm các số nguyên nđể n 2018và n 2021đều là số chính phương

Vì n 2018và n 2021đều là số chính phương nên ta đặt

2 2

2021

2018

a b a b









Suy ra :

2 2

a b a b a b a b U

Mà a b N a b,  ;   a b a b   0

2017

n

Vậy n 2017thì n 2018và n 2021đều là số chính phương

II.PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)

Câu 11 Giải phương trình 2 2 2

x  x x  x  x  x 

ĐKXĐ: x      4; 5; 6; 7

2

13

x

x







Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S 2; 13 

Câu 12.Cho x y z, , thỏa mãn

1 1 1

0.

x y z  Tính giá trị của biểu thức :

P

x yz y zx z zy

Ta có :

1 1 1

yz xy xz

yz xy xz

yz xy xz xy yz xz

xz yz xy





Ta có :

2

2

2

x yz x yz yz x xy xz yz x x y z x y x y x z

y zx y zx xz y yz xy zx y y z x y z y z y x

z xy z xy xy z yz zx xy z z y x z y z y z x

Do đó

0

P

x yz y zx z zy x y x z y x y z z x z y

y z x z x y

x y x z y z

Câu 13.Cho hình thang ABCD AB CD / /  Gọi E là trung điểm của AB AC, cắt ED

tại M, BDcắt EC tại N Đường thẳng MNcắt AD EC, lần lượt tại P và Q Chứng

AP CQ

ADBC 

Q

P

N M

E

Ta có AB CD gt/ / ( ) AE/ /DC BE DC, / /

AM EM AE

MC MD DC

(định lý Talet) và

BN EN EB

ND NC DC (định lý Talet)

Mà AEEB E( là trung điểm của AB)

/ /

MN DC

(định lý Talet đảo)

Ta có

DC DC  MC ND  AM MC BN ND  AC BD

AM AP

MN DC PM DC

AC AD

CQ ND

MN DC NQ DC

BC BD

AP CQ AM ND BN ND BD

ADBC AC BD BDBD BD 

Câu 14 Cho lục giác lồi ABCDEFtrong đó các cạnh và các đường chéo của lục giác được tô bởi một trong hai mà Xanh (X) hoặc Đỏ (Đ) Chứng mnh rằng luôn tồn tại ba đỉnh của lục giác là ba đỉnh của một tam giác có các cạnh cùng màu

A F

E

D

C B

Xét các đoạn thẳng AB AC AD AE AF, , , ,

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 5 đoạn thẳng khi được tô màu sẽ có ít nhất 3 đoạn cùng màu Giả sử AC AD AE, , cùng xanh Khi đó xét ba đoạn EC CD DE, , trong ba đoạn

có 1 đoạn tô màu xan thì ta có được tam giác thỏa mãn đề bài

Nếu cả ba đoạn EC CD DE, , đều đỏ, suy ra ECDthỏa mãn đề bài

Vậy luôn tồn tại ba đỉnh của lục giác là ba đỉnh của một tam giác có các cạnh cùng màu