034_Đề Hsg Toán 9_Gia Lai_21-22.Docx

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH Môn Toán Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi 17/04/2022 Câu 1 (5,0 điểm) a) Rút gọn biểu[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

GIA LAI

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH Môn : Toán

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 17/04/2022

Câu 1 (5,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức   2 2  2 2 2 4

A x x  x x x   x 

b) Cho số p n 411n2 49với n   Hãy tìm các giá trị của nđể plà số nguyên tố

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình sau

3 2

2

5

4

x

x



 



b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau 2x5y1 2  x x2 x y 105

Câu 3 (2,0 điểm) Cho một đa giác có 10

đỉnh như hình vẽ bên (bốn đỉnh A B C D, , , hoặc

, , ,

, , ,

giác) Các đỉnh của đa giác được đánh số một

cách tùy ý bởi các số nguyên thuộc tập hợp

1;2;3; 4;5;6;7;8;9;10

được đánh bởi một số, các số được đánh ở các

đỉnh là khác nhau) Chứng minh rằng ta luôn

tìm được 4 đỉnh liên tiếp của đa giác được

đánh số thuộc tập hợp M mà tổng các số đó

lớn hơn 21

C D

E F

G H I J

Câu 4 (5,0 điểm) Cho hình vuông ABCDnội tiếp đường tròn O R;  Trên cung nhỏ ADlấy điểm E(E không trùng với Avà D).Tia EBcắt các đường thẳng AD AC, lần lượt tại Ivà K Tia ECcắt các đường thẳng DA DB, lần lượt tại M N,

a) Chứng minh rằng IAN NBI

b) Khi điểm M ở vị trí trung điểm của AD.Hãy tính độ dài đoạn AEtheo R

Câu 5 (2,0 điểm) Gọi M là điểm bất kỳ trong tam giác ABC.Qua M kẻ các đường thẳng

, ,

Chứng minh rằng

2 3

(S là diện tích

Câu 6 (2,0 điểm) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy yz zx  5.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

 2   2  2

P



ĐÁP ÁN Câu 1 (5,0 điểm)

c) Rút gọn biểu thức   2 2  2 2 2 4

A x x  x x x   x 

2

2

2



2

2 2

d) Cho số p n 411n249với n   Hãy tìm các giá trị của nđể plà số nguyên tố

Vì n n25n 7 7

 

2

2

2

2 3

2

n

n







Câu 2 (4,0 điểm)

c) Giải phương trình sau

3 2

2

5

4

x

x



 



Đặt x24 t t 0 x2  5 t2 1.PT thành :

2

2

x t x xt t











d) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau 2x5y1 2  x x2 x y 105

2x5y1 2  x x2 x y 105

Vì 105là số lẻ nên 2x5y1và 2x x2 x yphải là các số lẻ

Từ 2x5y1là số lẻ mà 2x 1là số lẻ nên 5ychẵn suy ra ylà số chẵn

2

2x

   là số lẻ mà x2 x x x 1 là tích của hai số nguyên liên tiếp nên là số chẵn nên

2xlà số lẻ.Điều này chỉ xảy ra khi x 0 Thay x 0vào phương trình đã cho ta được :

2

2

26

5

4( )

y tm















Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên x y ;  0;4

Câu 3 (2,0 điểm) Cho một đa giác có 10

đỉnh như hình vẽ bên (bốn đỉnh A B C D, , ,

hoặc B C D E, , , hoặc C D E F, , , hoặc … hoặc

, , ,

đa giác) Các đỉnh của đa giác được đánh số

một cách tùy ý bởi các số nguyên thuộc tập

hợp M 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10

(biết mỗi đỉnh chỉ được đánh bởi một số, các số được

đánh ở các đỉnh là khác nhau) Chứng minh

rằng ta luôn tìm được 4 đỉnh liên tiếp của đa

giác được đánh số thuộc tập hợp M mà tổng

C D

E F

G H I J

các số đó lớn hơn 21

Gọi x x x1, , , ,2 3 x10là các số phân biệt được đánh liên tiếp 10 điểm phân biệt thuộc đường tròn  O x x x, , , , ,1 2 3 x 10 1;2;3; 4;5;6;7;8;9;10 Giả sử ngược lại là không tìm được 4 đỉnh nào thỏa mãn khẳng định của bài toán Khi đó ta có :

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6

10 1 2 3

21 21 21

21















Từ đó suy ra : 4x1x2x3 x10 10.21 210

Mặt khác ta lại có : 1 2 3 10

10.11 1 2 3 10 55

2

x x x  x       

Suy ra 4.55 210  220 210 (vô lý), do đó điều giả sử là sai

Vậy ta luôn tìm được 4 điểm liên tiếp được đánh số mà tổng các số đó lớn hơn 21

Câu 4 (5,0 điểm) Cho hình vuông ABCDnội tiếp đường tròn O R;  Trên cung nhỏ AD

lấy điểm E(E không trùng với Avà D).Tia EBcắt các đường thẳng AD AC, lần lượt tại I

và K Tia ECcắt các đường thẳng DA DB, lần lượt tại M N,

N M

K I

O

C

B A

D

E

c) Chứng minh rằng IAN NBI

ABCDlà hình vuông nên đường chéo DBlà phân giác ADC

Xét NDCvà NDAcó ND chung; NDCNDA(vì DB là phân giác ADC);

AD DC (ABCD là hình vuông) NDCNDA NADNCDmà NCDNBI (cùng chắn cung ED) NADNBI hay IAN NBI

d) Khi điểm M ở vị trí trung điểm của AD.Hãy tính độ dài đoạn AEtheo R

Vì AECvà ADCchắn đường kính AC AECADC90

Xét MDCvà MEAcó : AECADC;DMCEMA(đối đỉnh)

( ) MD ME

4

CD

ME MC MD MA MD

Lại có

MC CD MD CD  

hay MC5ME

Có :

2

5 2

CD

CD

Câu 5 (2,0 điểm) Gọi Mlà điểm bất kỳ trong tam giác ABC.Qua M kẻ các đường thẳng

, ,

Chứng minh rằng

2 3

(S là diện tích

F

J

I

E D

A

B

C M

Các tam giác ABC IDM MGJ FME, , , đồng dạng

Gọi S S S S, , ,1 2 3lần lượt là diện tích của các tam giác ABC IDM MGJ FME, , , Ta có :

1

S

2

1 3

3

Vậy

2 3

Câu 6 (2,0 điểm) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy yz zx  5.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

P



Ta có :

   

3

P

Đẳng thức xảy ra khi x y 1;z2 Vậy

2 3

Min P 