UBND QUẬN HAI BÀ TRƯNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA VÀ MÔN KHOA HỌC CẤP QUẬN MÔN TOÁN 9 Năm học 2021 2022 Ngày thi 17/02/2022 Thời gian 150 phút (không[.]
Trang 1UBND QUẬN HAI BÀ TRƯNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA VÀ MÔN KHOA HỌC CẤP QUẬN
MÔN : TOÁN 9 Năm học : 2021-2022 Ngày thi: 17/02/2022 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài I (5,0 điểm)
1) Giải phương trình : x2 x 4 3x 1 6 0
2) Cho x y z, , là các số thực khác 0 và thỏa mãn điều kiện : xy yz zx 0 Tính
giá trị của biểu thức
x y y z z x A
Bài II (5,0 điểm)
1) Cho a b c, , là các số nguyên thỏa mãn a3b3 2021c3 Chứng minh a b c
chia hết cho 6
2) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn x3 x y x2 2y 5 0
Bài III (2,0 điểm) Cho các số thực x y, thỏa mãn x 2x y y .Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1
P x y
x y
Bài IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABCnhọn, nội tiếp đường tròn O đường kính
.
AK Các đường cao AD BF CF, , cắt nhau tại H.Đường thẳng EFcắt đường tròn O tại hai điểm P Q, Pvà C nằm khác phía đối với AB).Gọi M là trung điểm BC.
1) Chứng minh tứ giác BHCKlà hình bình hành, từ đó suy ra OACBAH
2) Chứng minh AP2 2AD OM.
3) Dây KQcắt BCtại L Chứng minh AL HQ, cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF
Bài V (2,0 điểm)
1) Cho xlà số nguyên dương Tìm tất cả số nguyên dương nđể 4x nx12là
số chính phương
2) Trong buổi lễ tuyên dương học sinh tiêu biểu lớp 9 của quận Hai Bà Trưng,
có 20 học sinh nam và 22 học sinh nữ của các trường được vinh dự tham gia Người ta nhận thấy trong các học sinh đó :
Không có học sinh nam nào quen tất cả các học sinh nữ
Mỗi học sinh nữ quen ít nhất một học sinh nam
Chứng tỏ rằng: Tồn tại hai học sinh nam A B, và hai học sinh nữ M N, sao cho
Avà M quen nhau, Bvà N quen nhau, nhưng Avà N không quen nhau, B và M không quen nhau
Trang 2ĐÁP ÁN Bài I (5,0 điểm)
3) Giải phương trình : x2 x 4 3x 1 6 0
ĐKXĐ:
1 3
x
Ta viết lại phương trình thành :
2 2
2
2 2
x
x tm dkxd x
4) Cho x y z, , là các số thực khác 0 và thỏa mãn điều kiện : xy yz zx 0
Tính giá trị của biểu thức
x y y z z x A
x y y z z x x y z x y z x y z
A
Từ đó biến đổi được
1 1 1
3
A x y z
x y z
Với giả thiết xy yz zx 0ta có . 3 3
xy yz zx
A x y z
xyz
Bài II (5,0 điểm)
3) Cho a b c, , là các số nguyên thỏa mãn a3b3 2021c3 Chứng minh a b c
chia hết cho 6
Ta có : a3b3 2021c3 a3b3c3 2022c3 6
Mặt khác, ta dễ dàng chứng minh được n3 n 6
Từ đó a3 b3 c3 a b c a3 a b3 b c3 c 6
Do đó a b c chia hết cho 6
4) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn x3 x y x2 2y 5 0
3
3 2
2 5 0
Mà x y, là các số nguyên suy ra 2
2
5
2
x
x
2
2 (27)
Trang 3Mà
2 2 2 2 2 3;9; 27 1; 5
7
3
125
27
Vậy các cặp số nguyên x y, cần tìm là 1;1 ; 5;5
Bài III (2,0 điểm) Cho các số thực x y, thỏa mãn x 2x y y .Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1
P x y
x y
Điều kiện : x0, y0 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
0 x y 2. x 1. y 3 x y 0 x y 3 1 x y 1 4
Tìm GTNN:
Từ đó P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x y 0
Tìm GTLN : Đặt t x y 1; 1 t 2
Xét hiệu :
3
t t
Từ đó Pđạt giá trị lớn nhất bằng
7
2khi x2,y1
Bài IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABCnhọn, nội tiếp đường tròn O đường kính AK.Các đường cao AD BF CF, , cắt nhau tại H.Đường thẳng EF cắt đường tròn O tại hai điểm P Q, Pvà C nằm khác phía đối với AB).Gọi M là trung điểm BC.
Trang 4L
H
M
Q
P
F
E
D
K
O A
B
C
4) Chứng minh tứ giác BHCKlà hình bình hành, từ đó suy ra OACBAH
Dễ chứng minh BH/ /CK BK, / /CH suy ra tứ giác BHCKlà hình bình hành
Từ đó BH CK BDA∽ KCA c g c( )dẫn tới OACBAH
5) Chứng minh AP2 2AD OM.
Ta có : ANF∽ ABK g g( )dẫn đến AP2 AN AK AF AB.
Mặt khác: AFH∽ ABD g g . AF AB AD AH. .
Hơn nữa AH 2OM (OM là đường trung bình trong tam giác AHK)
Dẫn đến AP2 2OM AD.
6) Dây KQcắt BCtại L Chứng minh AL HQ, cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF
Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AEFcắt ALtại điểm thứ hai R, suy ra
90
ARH
Ta có :
2
Do đó AR AL AH AD. . AP2 AQ2
Vậy ARQ∽ AQL c g c . ARQAQL90nên QRALhay ba điểm H R Q, , thẳng hàng
Từ đó HQ AL, cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF
Trang 5Bài V (2,0 điểm)
3) Cho xlà số nguyên dương Tìm tất cả số nguyên dương nđể 4x nx12
là số chính phương
2 2
4x n x 1 y y x 1 y x 1 4x n *
Nhận thấy y x 1 y x 1 2ysuy ra y x 1 , y x 1cùng tính chẵn lẻ Hơn nữa y x 1 , y x 1 | 4 x n Suy ra y x 1 , y x 1cùng chẵn
Đặt y x 1 2a y x 1 2a x 1, thay vào (*) ta có :
a a x x
Giả sử dlà một ước nguyên tố chung của avà a x 1 Khi đó ta có : 1
a d
a x d
Từ đó x d n dẫn tới 1 d (vô lý) Vậy a a x, 1 1
Suy ra a u a x n, 1 v nvới x uv và do đó uv 1 v n u n
Dễ thấy với n 1thì u1 v1 0 uv 1 v unên không có x thỏa mãn
Với n 3thì v n u n v u v n 1 v u n 2 u n 1 uv 2
, suy ra nchỉ có thể bằng 2 Khi n 2ta có :
2
4x x 1 y * , dễ thấy x2,y5thỏa mãn
4) Trong buổi lễ tuyên dương học sinh tiêu biểu lớp 9 của quận Hai Bà Trưng, có 20 học sinh nam và 22 học sinh nữ của các trường được vinh
dự tham gia Người ta nhận thấy trong các học sinh đó :
Không có học sinh nam nào quen tất cả các học sinh nữ
Mỗi học sinh nữ quen ít nhất một học sinh nam
Chứng tỏ rằng: Tồn tại hai học sinh nam A B, và hai học sinh nữ M N, sao cho Avà M quen nhau, Bvà N quen nhau, nhưng Avà N không quen nhau, B và M không quen nhau.
Trong 20 học sinh nam, gọi A là bạn quen nhiều học sinh nữ nhất
Vì Akhông quen tất cả các bạn nữ, nên tồn tai một học sinh nữ N không quen A
Vì N quen ít nhất một bạn nam, gọi học sinh nam đó là B
Ta chứng minh : Trong các học sinh nữ quen A,có một học sinh không quen B Thật vậy: Giả sử tất cả học sinh nữ quen A đều quen B Như vậy B quen nhiều bạn
nữ hơn A (vì A còn quen cả N) Điều này mâu thuẫn với quy định A là bạn quen nhiều học sinh nữ nhất
Từ đó có một học sinh nữ quen A mà không quen B, đó là M