016_Đề Hsg Toán 9_Thái Nguyên_21-22.Docx

UBND THÀNH PHỐ THÁI NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2021 2022 MÔN THI TOÁN Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (7 điểm) Cho biểu thức  2 2 12 1 1 xx x[.]

UBND THÀNH PHỐ THÁI NGUYÊN

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2021-2022 MÔN THI : TOÁN

Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1 (7 điểm) Cho biểu thức

 

x

P



a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm giá trị của xđể P 3

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

d) Đặt

2 x

Q

P



Tìm giá trị của xđể Q nhận giá trị nguyên

Bài 2 (4 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,gọi A, B lần lượt là tọa độ giao điểm của

đường thẳng  d :y x  2với trục hoành và trục tung Tính diện tích tam giác

OABvà khoảng cách từ điểm Ođến đường thẳng  d

b) Giải phương trình x2 4 3x2 x1

c) Trên parabol  P y x:  2lấy ba điểm phân biệt A a a ; 2 ,B b b; 2 ,C c c; 2sao cho a2 b b 2 c c 2 a.Tính giá trị biểu thức sau :

 1  1  1

T  a b  b c  c a 

Bài 3 (3 điểm)

a) Tìm số tự nhiên nsao cho n 3là số nguyên tố và 2n 7là lập phương của một số tự nhiên

b) Tìm a b, biết rằng đa thức f x  ax2022bx20211chia hết cho  

2

1

x 

Bài 4 (5 điểm) Cho hình vuông ABCDcó AB a Lấy các điểm M N, di động trên các đoạn thẳng AB AD M,  AB N, ADsao cho MCN 45 CN CM, lần lượt cắt BD

tại E F, Chứng minh rằng :

a) CM NF CN, ME

b) MNluôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

c) Chu vi tam giác AMNkhông đổi

Bài 5 (1 điểm) Cho tập hợp X 0;1;2; ;20 Gọi Y là tập hợp con bất kỳ gồm có

7 phần tử của tập hợp X Chứng minh rằng tồn tại hai tập hợp con Avà B của tập hợp Y A B A  , ,Bsao cho tổng các phần tử của tập hợp Abằng tổng các phần tử của tập hợp B

ĐÁP ÁN

Bài 1 (7 điểm) Cho biểu thức

 

x

P



e) Rút gọn biểu thức P

 

1

x x

P

x





f) Tìm giá trị của xđể P 3

g) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

2

1

P x  x  x     x

Min P  x

h) Đặt

2 x

Q

P



Tìm giá trị của xđể Q nhận giá trị nguyên

1

Q

x

1

x

Mà

1

x

x ktm x

x x x k co nghiem nguyen x

x







Bài 2 (4 điểm)

d) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,gọi A, B lần lượt là tọa độ giao điểm của đường thẳng  d :y x  2với trục hoành và trục tung Tính diện tích tam giác OABvà khoảng cách từ điểm Ođến đường thẳng  d

Ta có tọa độ A(2;0), (0; 2)B  OA OB 2,AB2 2

Nên khoảng cách

2.2

2

2 2

h  

(áp dụng hệ thức lượng )

e) Giải phương trình x2 4 3x2 x1

ĐKXĐ: x 1

2 2

2 0

1 1 0

x

x





f) Trên parabol  P y x:  2lấy ba điểm phân biệt A a a ; 2 ,B b b; 2 ,C c c; 2sao cho a2 b b 2 c c 2 a.Tính giá trị biểu thức sau :

 1  1  1

T  a b  b c  c a 

Vì

Chứng minh tương tự ta có 1 , 1

a c b a c b

T

a b b c c a

Bài 3 (3 điểm)

c) Tìm số tự nhiên nsao cho n 3là số nguyên tố và 2n 7là lập phương của một số tự nhiên

3

2

a

n a a   n a   n 

Để nlà số tự nhiên thì

3 3

7 2

2

7 0

a a











Giả sử a2k1k * Ta có :

Mà n 3là số nguyên tố nên 3

1

k









Vậy n 10

d) Tìm a b, biết rằng đa thức f x ax2022bx20211chia hết cho  

2

1

x 

Vì    

2

1

f x x  nên x 1là nghiệm của f x 

 

f x ax a x

Vì  

2

x   x là nghiệm kép

1

x  là nghiệm của G x  ax2021 x2016 1

2017

a

b









Vậy

2016

2017

a

b











Bài 4 (5 điểm) Cho hình vuông ABCDcó AB a Lấy các điểm M N, di động trên các đoạn thẳng AB AD M,  AB N, ADsao cho MCN 45 CN CM, lần lượt cắt BDtại E F, Chứng minh rằng :

L

E

C

B A

D

M

N

d) CM NF CN, ME

        (tính chất tiếp tuyến )

e) MNluôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

NFcắt ME tại O, O là trực tâm CMN CO, cắt MN tại L nên CLMN

Có MEN MFN  90   MNEFlà tứ giác nội tiếp

180

Mà CFECND(do CFND là tứ giác nội tiếp )

CNL CND LCN DCN

       LNC DNC g c g . 

CL CD a MN

    tiếp xúc với L a; cố định

f) Chu vi tam giác AMNkhông đổi

Lấy T tia đối tia BA có BT DN

CDN CBT c g c CN CT PCN BCT

.

2

AMN

MCN MCT c g c MT MN

MN BM BN BM DN

P AM AN MN AM AN BM ND AB AD a

Bài 5 (1 điểm) Cho tập hợp X 0;1;2; ;20 Gọi Y là tập hợp con bất kỳ gồm

có 7 phần tử của tập hợp X Chứng minh rằng tồn tại hai tập hợp con Avà B của tập hợp Y A B A  , ,Bsao cho tổng các phần tử của tập hợp Abằng tổng các phần tử của tập hợp B.

Số tập con khác rỗng của Y và khác Y là 27  2 126 

Gọi M là 1 tập hợp bất kỳ S M là tổng các phần tử của M

0 S M( ) 119

   nên theo nguyên lý Dirichlet luôn tồn tại 2 tập hợp có tổng các phần tử có cùng giá trị