D là các giao điểm của A với C viết theo thứ tự từ trái sang phải.. Hãy xác định giá trị của m để độ dài các đoạn thẳng AB, BC, CD là độ dài ba cạnh của một tam giác.. Viết phương trình
Trang 1DE 44 Cau 1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đỗ thị (L) của hàm số y = x* - 2x* - 3
2 Xác định giá trị của m để đường thẳng A: y = m cắt đồ thị (L) tại bốn điểm phân biệt
3 Trong điều kiện của câu 2, gọi À, B, C D là các giao điểm của A với (C) (viết theo thứ tự từ trái sang phải) Hãy xác định giá trị của m để độ dài các đoạn thẳng AB, BC, CD là độ dài ba cạnh của một tam giác
Câu 2
1 Giải phương trình tan [3x — 4 tan (3x + *] = SINX + COSX
2 Chứng minh rằng với mọi rn, hệ phương trình sau luôn có hai nghiệm
x’ +y’ —4x-2y-4=0
mx +(1-m)y -3=0
Cau 3
it
2
Tinh tich phan eee
y=-5+t
z=-15-2t
1 Viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm I(2; 3; -1) và cắt đường thẳng A tại hai điểm A, B sao cho AB = 16
2 Viết phương trình của mặt phẳng (P) chứa A và song song với truc Oz
Câu 5,
logx _ 4lsey (4x)!084 - (ay)"°
2 Cho ba mặt cầu (C,), (Cg), (C3) tam O¡, O¿, O¿ và có bán kính lần lượt là R;, R;, Ra, chúng tiếp xúc ngoài với nhau từng đôi một Qua mỗi tiếp điểm của từng cặp mặt cầu ta dựng mặt phẳng tiếp xúc chung của mỗi cặp mặt cầu ấy
1 Giải hệ phương trình: |
222
Trang 2a) Chứng minh rằng ba mặt phẳng tiếp xúc chung đó cùng đi qua một điểm I
là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác OtO;Ô:
b) Tính khoảng cách từ l tới tiếp điểm của môi cặp mặt cầu theo R,, Ru Res
Giải
Câu 1
1
2
Phương trình hoành độ giao điểm của (L) va A:
Khảo sát hàm số y = x' — 2x - 3 (độc giả tự giải)
Dựa vào để thị ta đễ thấy, khi -4 < m < -3
thi đường tháng A cắt dé thị (L) tại bốn
x’ — 2x? - 3 =m
co x’ — 2x* ~ 3-m=0(1)
Dat X = x* (X > 0), ta duoc phuong trinh
X* — 2X -3—- m= 0 (2)
Goi x;, X2, Xy, x4 lan lugt la hoanh độ của
các giao điểm A, B, C, D thì xy, x», x3, x4
là các nghiệm của phương trình (1)
Với điều kiện -4 < mm < -3 thì phương
trình (2) có hai nenem là ẩ :
X, = =l]- vm , Xe = 1 +
Suyra xi=-JX,,X¿= wv
Ta có AB = CD.= =
Do vậy để AB, BC, CD (trong đó có AB = CD) là độ dài ba cạnh của một
tam giác ta chỉ cản điều kiện:
AB + CD > BC © 2CD > BC © 2(x4 = x3) > 2x4 > XY > 2G
Hay JX, >2/X, @ X%.>4X, O1l+ Vm+4 > 4(1- Vm 4)
3 9 91
ao vV¥mi4 > —- om+4>— om>-—
5 25 25
Kết hợp với điều kiện —-4 < m < -3 ta được - —— < m < -3
Vậy _1 <m < -Ä
25
223
Trang 3Câu 2
1 Xét phương trình tan [ax - | tan [ax + 7 = sinx + cosx (1)
3x —- ne taka xẻ +
3x+ ~x~+kn x#- T+kẾ
Để ý rằng tan [ax - 2] tan [3x + *| = tandx ~ 1 tandx + 1 =-}
Do d6 (1) © sinx + cosx = -1 <0 cos) x5] =-lo cos (x - =] =——
& cos|x-—]=cos— ox- — =+— +m27n
4 4 4 4
«© x= 7ñ + m2n hoặc x = -3 + m2n (nhan)
Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm
x = m+ mn hoge x = -7 + m27 (m `
3 Xét hệ x +y° —-4x-2y-4=0
mx+({1—-m)y-3=0
Xét phuong trink x+y - A
Phuong trinh nay nghiệm đúng \ với mọi m khi và chỉ khi x = y = 3
Suy ra, đường thẳng A luôn đi qua điểm cố định A(3; 3)
Do IA = vV(- 2)? +(3—-1)? = v5 < 3, nên điểm A nằm trong đường tròn (C) Như vậy, đường thẳng A luôn cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt Điều này tương đương với hệ phương trình đã cho luôn có bai
nghiệm phân biệt
Câu 3
1 Ta có:
3 xcos2xdx + fxcosxdx
Oo
bo]
froos™*.cos*dx = 1 Íx(cos2x + cosx)dx =
224
Trang 4Z
e Tính |Ecos2xdx
0
Đặt u = x, dv = cos2xdx ta được du = dx, v = 5 sindx
fxcos2xdx = —sin2 — — Ein2xdx =0+ —cos2 =_—-—
2
e Tính JEcosxdx
Ũ
Đặt s = x, dt = cosxdx ta được ds = dx, t = sinx
: 2 :
[Ecosxdx = xsinx — Binxdx =
il | I ~
8
ác “hệ phương trình:
2 Để tìm các đỉnh của tam giác ABC ta lần lượt gì ï
x-4=0
3x-4y+36=0
bộ 4
3x- 4y +36 = Ô
&
4x+ 3y + 23 =0
AB
Tacó MB 2ÖMG
AC
A
Trong đó AB = 15, AC = 25
5 I
3
: - -8+r 4 7
_ 2 B M C
= 7
Do dé | 5 =M|-§: -3]
(-13)
Yu = =-d
14°
5
225
Trang 5
Ta a cũng c cũ ĩ IÁ =———.IM BM Với BM = — i 5
Suyra [A =-2IM
442-7)
x = \ 4) = -1
_12+28) _
v1 1+2 Vậy tâm đường trịn nội tiếp của tam giác ABC là I(—1; 2)
Câu 4
x =1+ 2t Đường thẳng A cĩ phương trình tham số 4y = -B + t
z = -lð - 2t
1 Đường thẳng A đi qua điểm Mụ(1; —5; -15) cĩ vectơ chỉ phương ủ = (2; 1; -2) Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB thì [H 1L AB và lA=8 «0
Ta cĩ [Ma = (-1; -8; —14) => [IMo,ii] = (80; -30; 15) ý
Suy ra Ì[IMo,ũ]| = 45, lũ | =3
Khoảng cách d từ I đến đường thẳng / A:d=
:œ< + - 9P cư 1) = 289 icqua diém M,(1; -5; -15) và cĩ vectơ
= (0; 0; 1)
giàx _ 4loew
(4x)'#4 = (By)?
Điều kiện: x > Ư và y > 0
1 Xét hệ phương trình (
e (4x)°#“ - (3y}°#° -> ]og4.log(4x) = log3.log(3y) (2)
(2) © log4.(logx + log4) = log3.(logy + log3)
© log4.logx — log83.logy = (log3)? — (log4)? (3)
Gidi hé (1) va (3), ta được:
logx = —log4 va logy = —-log3
1
1
SUY y F8: X= — 49" VÀV:= —, 3
226
Trang 62 a) Ta gọi:
b)
« M là tiếp điểm của (C¡), (C;) và (œ) là tiếp diện của (¡), (C;) tại M
e N là tiếp điểm của (C)), (Ca) và (B) là tiếp diện của (C,), (Cs) tai N
e P là tiếp điểm của (Ơ;), (C;) và (y) là tiếp diện của (Ca), Cạ) tại P
Mặt phẳng (O,O¿;Os) là mặt phẳng
đối xứng của ba mặt cầu, nên cất (T) (T¿)
ba mặt cầu này theo ba đường tròn
lớn (Tụ), (Tạ), (Tạ) với các tiếp điểm
la M,N, P
Các mặt phẳng (ø), (B), (y) cắt mat
phẳng (O¡O;O:) theo các giao tuyến
Ay, Ag, Aa cũng là các tiếp tuyến của
(T¡), (T¿), (Ta), chúng đồng quy tại
điểm I Do cde đường tròn (T)),
(T;), ŒTạ) tiếp ngoài với nhau nên Ï
là tâm đường tròn nội tiếp của
AO;O¿Oa
Khoảng cách từ I đến mỗi tiếp điểm chính la
\ ính đường tròn nội
Ta có 5 = Soo,o, =
=Rị + R; + Rà
c) v6ip-—a=p-— (R, + R,) = Rạ,
p-—b=R, p—c= Rp
Suy rar = ve, +R, + R,).RRR, = R,R,R,
Vậy khoảng cách từ I đến mỗi tiếp điểm là y= _ RRR,
R,+R,+R,
227