Chứng mình rằng A¡ và A; là hai đường thẳng chéo nhau.. Viết phương trình đường vuông góc chung của A¡ và A¿.. Đường vuông góc chung của Á¡ và A› cắt A; tại điểm AÁ và cắt A; tại điểm B.
Trang 1ĐỀ 42 Câu 1 Cho hàm số y = ÑẤx) = 8x” — 9x” + 1
1 Khảo sát sự biến thiên và về đề thị (C) của hàm số
2 Dựa vào đỗ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
8cos‘x — 9eosˆx + m = 0 vdi x © (0: nh
Cau 2
1 Giai phuong trinh 2cos2x — sin2x = 2(sinx + cosx) + 1
2 Cho hé phuong trinh:
x+y =2a-2
ix +yˆ =-2a” +4a +2
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tích sé xy
Câu 3
fh
1 Tinh tich phan cm +1).cose"'?“? dự,
2
1 Chứng mình rằng A¡ và A; là hai đường thẳng chéo nhau Tính khoảng cách giữa Ay VA Av
2 Viết phương trình đường vuông góc chung của A¡ và A¿
3 Đường vuông góc chung của Á¡ và A› cắt A; tại điểm AÁ và cắt A; tại điểm
B Viết phương trình của mặt cầu đường kính AB
Câu 5
1 Giải hệ bất phương trình: 5 rã <2
2x + 3y > 1-—log,5
211
Trang 22 Hinh chop S.ABC có đáy ABC là một tam giác cân AB = AC = a, mat bén SBC vuông góc với đáy cho biết SA = SB = a
a) Chứng minh rằng SBC là một tam giác vuông
b) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoai tiếp hình chóp S.ABC
Giai Cau 1
1 Khao sát hàm số y = 8x” - 9x” + 1 (độc giả tự giải)
2 Xét phương trình 8cos'x - 9cos*x + m = 0 với x e [Ô; nỊ (1)
Đặt t = cosx, phương trình (1) trở thành:
8t - 9t” + m = 0 (2)
Vi x ¢ [0; 2] nén t € [—1; 1], gitfa x va
t có sự tương ứng một đối một, do đó
số nghiệm của phương trình (1) và (2)
bằng nhau
Ta có: (2) © 81 - 9tˆ + 1= 1— m(3)
Goi (Cy): y = Be — 9t? + 1 với te [—1; 1]
và (D):y=1-
2 0Đị
e0<m< 1 (tức là 0< 1- m < 1): Phương trình đã cho có 2 nghiệm
em = 0 (tức là l —- m = 1): Phương trình dã cho có 1 nghiệm
em <0 (tức là 1— m > 1): Phương trình đã cho vô nghiệm
Câu 2
1 Xét phương trình 2cos2x - sin2x = 2(sinx + cosx) + 1 (1)
(1) © 2(cos*x — sin’x) — ((cosx + sinx)’ — 1) = 2(sinx + cosx) + 1
<> 2(cosx + sinx)(cosx — sinx) — (cosx + ginx)” = 2(sinx + cosx)
© (cosx + sinx)[2(eosx — sinx) — (cosx + sinx) — 2] =
<> (cosx + sinx)(cosx - 3sinx — 2) = 0
ginx + cosx = 0 (2)
Trang 3* (2) © tanX = T1 © X = T2 ‹‹
« (3) © cosx — 3sinx = 2 (4)
Chia hai vế của phuong trinh (4) cho 1° +(-3)? = V10, ta được phương trình
2 cosx ~ —s sinx = —— (5)
Dat cosa = ——— Và sinu =—-——, khi đó:
(5) © cos(x - a) = —— © x= a tgdrccos—— + m2
Vậy phương trình có ba họ nghiệm:
xX =—— +kn, x =a + arecos —— + m2zx (k, m € Z)
x+y=2a-2
2
2 Xét hệ phương trình
Trước hết ta phải có điều kiện:
~2a” + 4a+2>0©1- v2 <a<1+ v24
Ta có ny = Dlx ty? (x? +y)]= Be? — 6a +1
Suy ra x và y là hai nghiệm của phương tr hị N
it — 24a — l)t + của” - 6a + oe Sử
(Thỏa mãn điều kiện (1
giữa của đoạn (0: 2],
Từ đó ta dễ dàng suy ra được:
rmnax(xy) = maxffa) = f(0) = Ñ2) = 1 min(xy) = minffa) = f1) = -2
Câu 3
1 Goil = fox + 1).cose” ***** dx = J + 1).cose'**”” *' dx
Dat t = (x + 1)? = dt = 2(x + 1)dx
Khi x = —2 thi t = 1 va khi x = O thi t = 1 Ta duoc:
1
I= 1 Jeose’™ dt = 0
2 |
0
Vay fox + 1).cose* ***? dx = 0
213
Trang 42 Gọi đường tròn cần tìm là (T), tam la I
Từ giả thiết suy ra, điểm Ï nằm trên đường thắng (D) vuông góc với A tại
A, đồng thời cũng nằm trên đường tròn tâm A với bán kính R = 5,
Đường thăng (D) vuông góc A nên có veetơ pháp tuyến là nì = (4; 3) Phương trình của (D) là:
4(x - 2) + 3(y — 4) = Ô CC 4x + dy — 20 = 0
Phương trình của đường tròn tâm Á bán kính R = 5:
(x- 2) 4ly-4% = 25 ox’ + y?- 4x - By -5=0 Tọa độ của điểm I nghiệm đúng hệ phương trình:
[x? + y?- 4x- 8y-5=0 x=68,y=”
ex = 6, y = 7: Suy ra (T) cé tam I(6; 7) va ban kinh R - 5 Phương trình
cla (T) la (x - 6)? + (y - 7)* = 25
x = ~2, y = 1: Suy ra (T) có tâm I(—2; 1) và bán kính R = 5 Phương
trình của (T) 1a (x + 2)’ + (y — 1)’ = 25
Vậy phương trình của đường tròn thỏa mãn dé bai là:
(x — 6)? + (y- 7)” = 25 hoặc (x + 2) + (y - 1ˆ
Câu 4 ÁAÁ, ¿y-2+t 11), 1%: ¿y =õ-t
z-6+A4t
ung “Se thate tinh khoảng cách từ một điểm đến một đường thăng,
ta được khoang cách giữa 1, và A% là d= ~ = 6
2 Gọi (D) là đường vuéng goc ching cua \; va Ay Do (D) vuéng géec vor 1, va
A nén (PD) ¢cé vecto chỉ phương là u = [a,b] = (6: 6: -3), cùng phương với
v = (2; 2: —-1)
Gọi tá Ja mat phang chia (D) va \, va (8) là mặt phẳng chứa (Dì và \,
thi (D) la giao tuyén cua (a) va {3}
* (ai qua diém M,(0 2: 6) va cé vecto phdp tuyén no al¥, a] =(9: 98:01, cùng phuong veeta ¢ = (1: -1: 0) Phương trình của mặt phẳng (<x) là
1x_— T1(v—-2)=0<>x-y+2=0
# (1 qua điểm M13; 5; 0) va cé vecto phap tuyén ni, = iV wb = 13; -6: -6), cung phuong vdi vecto d = (1; -2; -2) Phuong trinh ela mat phang «($i 1a:
Trang 5L(x - 3) — 2(y — 5) - 2(z — 0) =O «>x_— 2y- 2z + 7=0
Các điểm nằm trên (D) có tọa độ nghiệm đúng hệ phương trình:
x-y+2=0
= M,(3; 5; 0) e (D)
|x - 2y - 22+ 7=0
Đường thẳng (D) có vectơ chỉ phương [a,bl]= (6: 6; -3), cùng phương với
w = (2; 2;-1)
'x = 3+ 2t
Phuong trinh tham sé cua (D): $y = 5+ 2t (3)
z=-t
3 * Giải hệ (1) và (3) ta được x = —1, y = I, z = 2 Suy ra A(-1; 1; 2)
* Giải hệ (2) và (3) ta được x = 3 y = 5,z = 0 Suy ra B(3; 5: Ô)
Mặt cầu (S) đường kính AB có tâm là trung điểm ](1: 3; 1) của AB và có bán kính là R = = = 3 Vậy phương trình của mặt cầu (S) đường kính AB là:
(x- UÊ+(y— 3l? +(z_— 1 z9
Cau 5
(ax- 2v +B92°- vrl <2
2x +d3y 21 log, 5
= 2, y= BT (w > 0, vờ 011
Đặt
Mà theo giả thiết 2 H
Két nap (1) và (2), |
> 4 x+y 1= -log,5 [x = 20 log,ðI
Vay: x = 2(1 — log.5) va y = log,5 — 1
2 a) Goi | la trung diém cua BC Tam
giac ABC can ta: Anén AF 1 BC
Mà (ABC) + (SBC) -> AI _ (SBC) Suy
ra AI 1 SI
Do do \SIA vuéng tai F
Hai tam giác vuông SIA va BIA co
SA = AB = a, IA ta canh chung nén
chúng bằng nhau Do dé IB = CI = IS
Vay tam gide SBC vuéng tai S
215
Trang 6b) Tam giác SBC vuông tại Š nên Ï là tâm đường tròn ngoại tiếp của ASBC
Mặt khác AI L (SBC) nên tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
nằm trên AI Điểm O cách đều các điểm A, B, C nên O cũng là tâm đường
Như vậy bán kính R của mặt cầu ngoại hep | hinh chóp cũ
của đường tròn ngoại tiếp AABC
Từ tam giác SBC vuông tại Š ta có: -
BC? = SB? + SC? = a* +x? > }
AB.AC.BC Sinh ¿ 3 ?
Mat khác SAne = aR > = = = SAT
a’
Vay bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là R =
Jaa" — x?