Bài giảng môn toán 5 xác xuất thống kê - ts nguyễn hữu thọ

Xác xuất của của một biến cố Xét phép thử với không gian mẫu ∑ , số thực pi được gọi là xác suất của điểm mẫu biến cố sơ cấp si.. Hàm phân phối tích lũy F x của biến ngẫu nhiên rời

Bài số 15 TỔNG KẾT MÔN TOÁN 5

I XÁC SUẤT CỔ ĐIỂN BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU

1 Nhắc lại và bổ xung kiến thức về giải tích tổ hợp

a.Quy tắc cộng Giải sử một công việc nào có k trường hợp để thực hiện:

Trường hợp 1 có n1 cách thực hiện

Trường hợp 2 có n2 cách thực hiện …

Trường hợp k có nk cách thực hiện

Khi đó ta có: n =n1 +n2+ + nkcách thực hiện công việc đã cho

b.Quy tắc nhân.Giải sử một công việc nào đó được chia thành k giai đoạn:

Có n1 cách thực hiện giai đoạn thứ nhất

Có n2 cách thực hiện giai đoạn thứ hai…

Có nk cách thực hiện giai đoạn thứ k

Khi đó ta có: n =n n1 .2 nkcách thực hiện công việc đã cho

c Hoán vị

Định nghĩa: Hoán vị của n phần tử là một bộ có thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử

đã cho hoặc gồm đúng n phần tử đã cho

Công thức 1: Số các hoán vị của n phần tử phân biệt là Pn =n!

Công thức 2: Số những hoán vị của n phần tử phân biệt được lấy k lần liên tiếp là

Công thức 4: Số những hoán vị phân biệt của n phần tử mà trong đó n1 phần tử thuộc kiểu thứ nhất,

có n phần tử trong ngăn thứ hai, 2

có nk phân tử trong ngăn thứ k

Khi đó số cách phân hoạch là:

!, , , r ! ! k!

a Định nghĩa Các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là biến cố Như vậy biến cố của một

phép thử chính là mỗi tập con của không gian mẫu

Ký hiệu biến cố : Dùng các chữ in hoa như A, B, C…

Chú ý

• Mỗi điểm mẫu là một biến cố và được gọ là biến cố sơ cấp

• Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu là ∅

• Biến cố chắc chắn là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử, nó tương ứng với chính

không gian mẫu S (hay Ω ) nên ký hiệu là S (hay Ω )

b Quan hệ giữa các biến cố Cho A và B là hai biến cố của một phép thử với không gian mẫu S Khi

đó :

• Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, ký hiệu A ⊂ B, nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra

• Biến cố A được gọi là tương đương với biến cố B, ký hiệu A = B, nếu A xảy ra thì B xảy ra và

ngược lại

• Biến cố đối của biến cố A, ký hiệu A , là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra

• Hợp (tổng) của hai biến cố A và B , ký hiệu là A B∪ (hoặc A B+ ) là biến cố xảy ra nếu có ít

nhất một biến cố nào đó trong các biến cố A hoặc B xảy ra Nói cách khác : A∪ là biến cố gồm các B

điểm mẫu hoặc thuộc A hoặc thuộc B

Định nghĩa hợp của n biến cố cũng được định nghĩa tương tự : A1∪A2 ∪ ∪ An

• Giao (tích) của hai biến cố A và B , kí hiệu A B∩ (hoặc AB ) là biến cố xảy ra nếu cả A và

B cùng xảy ra Nói cách khác A∩ là biến cố gồm các điểm mẫu thuộc cả A và B B

Nếu A1, A2, …, A n là các biến cố liên quan đến cùng một phép thử, thì giao (hay tích) của chúng, ký

hiệu là A1∩A2 ∩ ∩ An

• Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A∩B = ∅

3 Xác xuất của của một biến cố

Xét phép thử với không gian mẫu

∑ , số thực pi được gọi là xác suất của điểm mẫu (biến cố sơ cấp) si

Định nghĩa Xét phép thử với không gian mẫu S và A biến cố trong phép thử đó Khi đó xác suất của

biến cố A là tổng xác xuất của tất cả các diểm mẫu trong A , ký hiệu là P A ( )

Các bước tìm xác suất(theo lối cổ điển) của một biến cố A :

1.Đếm số biến số sơ cấp đồng khả năng trong không gian mẫu: N

2 Đếm số biến số sơ cấp đồng khả năng trong biến cố :A n

Nếu A và B là 2 biến cố xung khắc (tức là A∩B =AB = ∅ ) trong một phép thử thì ta có:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Trường hợp tổng quát

Nếu A và B là hai biến cố tùy ý trong một phép thử thì ta có

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(AB)

b.Xác suất có điều kiện Công thức nhân

Xác suất có điều kiện

Định nghĩa: Xác suất của biến cố B được tính khi biết biến cố A nào đó đã xảy ra được gọi là xác suất

có điều kiện và được ký hiệu là P(B|A) Ký hiệu P(B|A) thường được đọc là “ xác suất để B xảy ra với

điều kiện A đã xảy ra” hoặc đơn giản là “xác suất của B với điều kiện A”

Công thức: Xác suất có điều kiện của B với điều kiện A, ký hiệu P(B|A), được xác định như sau:

Công thức nhân xác suất

Nếu trong một phép thử, các biến cố A và B có thể cùng xảy ra thì

P A∩B =P A P B A =P B P A B

Hai biến cố A và B là độc lập với nhau khi và chỉ khi

P(A ∩ B) = P(A).P(B)

c.Công thức xác suất đây đủ Công thức Bayes

Công thức xác suất đầy đủ

Nếu các biến cố B1,B2, …, Bk là một phân hoạch của không gian mẫu S (tức là B B1, 2, ,Bk là nhóm

các biến cố đầy đủ đôi một xung khắc), trong đó P(Bi) ≠0 với mọi i = 1, 2, …, k thì với biến cố A bất

a) Dạng đơn giản nhất của công thức này là: Với A và B là hai biến cố bất kỳ với xác suất khác không,

Định lý (Công thức Bayes tổng quát)

Nếu các biến cố B1,B2, …, Bk là một phân hoạch của không gian mẫu S (tức là B B1, 2, ,Bk là

nhóm các biến cố đầy đủ đôi một xung khắc), trong đó P(Bi) ≠0 với mọi i = 1, 2, …, k, thì với biến cố

i i

( ) ( | )( ) ( | )

4 Biến ngẫu nhiên một chiều

a.Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử trong không gian mẫu với

duy nhất một số thực

b Phân loại biến ngẫu nhiên

Từ tính chất của tập giá trị của biến ngẫu ngẫu nhiên, người ta chia các biến ngẫu nhiên thành hai loại:

Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu tập giá trị của nó là tập đếm được

Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu các giá trị của nó có thể lấp đầy

một hay một số khoảng hữu hạn hoặc vô hạn trên trục số

c Phân phối xác suất

Ta ký hiệu biến ngẫu nhiên X nhận giá x là X = và xác suất để X nhận giá trị x là (x P X =x)

i Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc

Đặt: ( )f x =P X( =x), khi đó f x( ) chính là hàm của các giá trị của X

Hàm xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc có tập giá trị {x x x1, , , 2 3 } Hàm số thực ( )f x xác định trên 

được gọi là hàm xác suất (hoặc phân phối xác suất) của X nếu thoả mãn các điều kiện sau:

1 ( ) 0f x ≥ với mọi x trong tập giá trị của X

i

i x

Hàm phân phối tích lũy ( )F x của biến ngẫu nhiên rời rạc X với phân phối xác suất f x( ) là hàm số

Hàm mật độ xác suất f x( ) của biến ngẫu nhiên liên tục X là hàm số thực xác định trên tập số thực 

và thỏa mãn xác điều kiện sau:

Hàm phân phối tích lũy

Hàm phân phối tích lũy ( )F x của biến ngẫu nhiên liên tục X với hàm mật độ f x( )là hàm thực được

5.Một số hân phối xác suất thường gặp

a.Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc

i Phân phối đều rời rạc

Định nghĩa Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X với miền giá trị là {x x1, , ,2 xk} và xác suất để X nhận

mỗi giá trị có thể của nó là bằng nhau: P X( =xi)=P X( =xj),∀ ≠ Khi đó ta nói rằng biến ngẫu i j

nhiên X có phân phối đều rời rạc, và ta có:

1( ; ) , , , , k

k

Tham số đặc trưng:Cho BNN rời rạc X với miền giá trị là {x x1, , ,2 xk} Giá trị trung bình (kỳ vọng)

và phương sai của phân phối đều rời rạc f x k( ; ) là

1( )

k

i i

Định nghĩa Phép thử Bernoulli là một quá trình thỏa mãn đồng thời các tính chất sau:

1 Một thí nghiệm gồm n phép thử cùng loại được lặp đi lặp lại

2 Mỗi biến cố của một phép thử được phân loại theo biến cố thành công hoặc biến cố thất bại

3 Xác suất thành công trong mỗi phép thử đều bằng nhau và được kí hiệu là p

4 Các phép thử là độc lập

Định nghĩa Số lần thành công X trong n phép thử Bernoulli được gọi là biến ngẫu nhiên nhị thức

Phân phối xác suất của BNN rời rạc này được gọi là phân phối nhị thức Xác suất được kí hiệu là b(x;

n; p) - bởi vì nó phụ thuộc vào số phép thử và xác suất thành công trong mỗi phép thử

Công thức tính: Cho phép thử Bernoulli với xác suất thành công là p và thất bại là q = − Phân 1 p

phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhị thức X (số lần thành công trong n phép thử độc lập), là

( ; , ) ( ) x x n x, 0,1,2, ,

n

b x n p =P X =x =C p q − x = n

Chú ý:

1 Do p + q = 1 nên ta được:

0( ; , ) 1n

iii Phân phối đa thức

Định nghĩa Phép thử nhị thức trở thành phép thử đa thức nếu mỗi phép thử có nhiều hơn hai kết quả

Khi đó phân phối xác suất của phép thử đa thức được gọi là phân phối đa thức

Công thức tính: Nếu một phép thử có k kết cục E1, E2, …,Ek với xác suất tương ứng là p1, p2,…, pk, thì

phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên X X1, 2, ,Xk biểu thị số lần xuất hiện của E1, E2, …,Ek tương

iv Phân phối siêu bội

Định nghĩa Khi chọn ngẫu nhiên một mẫu cỡ n từ N phần tử, ta quan tâm đến xác suất để chọn được

x phần tử thành công Phép thử kiểu này được gọi là phép thử siêu bội, nếu nó thỏa mãn hai tính chất

sau:

1 Một mẫu cỡ n được chọn ngẫu nhiên theo phương thức không hoàn lại từ N phần tử

2 Trong N phần tử đã định rõ k phần tử là thành công và N – k phần tử còn lại là thất bại

Số phần tử thành công X trong phép thử siêu bội được gọi là biến ngẫu nhiên siêu bội

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên siêu bội được gọi là phân phối siêu bội và các giá trị của nó

được kí hiệu là (P X =x)=h x N n k( ; , , )

Công thức tính: Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên siêu bội X (biểu thị số thành công trong mẫu cỡ

n được chọn ngẫu nhiên từ N phần tử) trong đó có k phần tử là thành công và N – k phần tử được đặt

thất bại, được xác định bởi công thức:

( ; , , ) , 0,1, 2, ,

x n x

k N k n N

v Phân phối nhị thức âm

Xét một phép thử có các tính chất tương tự như các tính chất của phép thử nhị thức, nhưng số

phép thử được lặp lại (độc lập) cho đến khi số lượng biến cố thành công xuất hiện là một con số được ấn

định trước Khi đó, ta quan tâm đến xác suất để có được k lần thành công và dừng lại ở lần thực hiện

phép thử thứ x Dãy phép thử kiểu này được gọi là dãy phép thử nhị thức âm

a Định nghĩa Số phép thử X để có được k biến cố thành công trong phép thử nhị thức âm được gọi là

biến ngẫu nhiên nhị thức âm, và phân phối xác suất của nó được gọi là phân phối nhị thức âm, kí

hiệu các xác suất là b x k p*( ; , )

b Công thức Nếu một phép thử được lặp đi lặp lại một cách độc lập với biến cố thành công xuất hiện

trong một lần thực hiện có xác suất là p và biến cố thất bại xuất hiện với xác suất là q = − , thì 1 p

phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X (biểu thị số phép thử cần phải thực hiện để có được lần thứ k

biến cố thành công xuất hiện) là

1( ; , ) k k x k, , 1, 2,

x

b x k p =C −−p q − x =k k + k +

vi Phân phối hình học Trường hợp đặc biệt của phân phối nhị thức âm là phân phối hình học và kí

hiệu các giá trị của nó là g x p( ; )

Định nghĩa Nếu một phép thử được lặp đi lặp lại một cách độc lập và xác suất xuất hiện biến cố

thành công trong mỗi phép thử là p và biến cố thất bại là q = 1 – p, thì phân phối xác suất của biến ngẫu

nhiên X (biểu thị số phép thử phải thực hiện đến khi một biến cố thành công xuất hiện) là

1( ; ) x , 1, 2, 3,

vii Phân phối Poisson và quá trình Poisson

Định nghĩa 1 Các phép thử cho kết quả là các giá trị bằng số của biến ngẫu nhiên X , biểu thị số biến

cố sơ cấp xuất hiện trong suốt một khoảng thời gian cho trước (thể có độ dài bất kỳ) hoặc một miền xác

định, được gọi là phép thử Poisson

Định nghĩa 2 Số biến cố sơ cấp X xuất hiện trong phép thử Poisson được gọi là biến ngẫu nhiên

Poisson và phân phối xác suất của nó được gọi là phân phối Poisson

Công thức Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Poisson X, biểu thị số biến cố sơ cấp xuất hiện

trong một khoảng thời gian cho trước hoặc một vùng định trước được ký hiệu bởi t, là

(, 0,1,2,

!

) ( ; )

e

xx

t

p x t

λ λ λ

−

=

=trong đó λ là số biến cố xuất hiện trung bình trong một đơn vị thời gian hoặc vùng, và e ≈2.71828

Chú ý Bảng A.2 chứa các tổng xác suất Poisson :

b Đối với biến ngẫu nhiên liên tục

i Phân phối liên tục đều

Định nghĩa Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối liên tục đều trên khoảng ;a b

  nếu hàm mật độ của nó trên khoảng đó được xác định bởi:

1

khi ( ; , )

Mật độ của X được ký hiệu bởi n x µ σ ( ; , )

Phân phối chu)n: Cho biến ngẫu nhiên chuNn X , với kỳ vọng µ và phương sai σ Khi đó hàm mật 2

độ của biến ngẫu nhiên X được xác định bởi:

2 2 ( ) 21

a.Công thức xác suất của BNN chu)n Cho X là BNN chuNn có hàm mật độ n x µ σ khi đó: ( ; , )

2

x

x x

ở đó chúng ta thấy Z là một phân phối chuNn có trung bình bằng 0 và phương sai bằng 1

Định nghĩa phân phối chu)n tắc Phân phối của biến ngẫu nhiên chuNn có kỳ vọng bằng 0 và phương

sai bằng 1 được gọi là phân phối chu)n tắc:

2 21

iii Phân phối mũ và phân phối gamma

Hàm gamma là hàm thuộc lớp các hàm đặc biệt và được được định nghĩa bởi:

đ1

iv Một tính chất quan trọng của phân phối gamma đó là: (1 / 2)Γ = π.

Định nghĩa Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối gamma, với các tham số α và β , nếu hàm mật

độ của nó được cho bởi

đ

1 /1

, khi x 0

0 trong ó , 0

iv Phân phối mũ Một phân phối với α = được gọi là phân phối mũ 1

Định nghĩa Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối mũ, với tham số β , nếu hàm mật độ của nó được

cho bởi

đ

/1, khi x 0( )

0 , khi 0 trong ó 0

xe

f x

x

βββ

Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X có phân phối 2

χ (Khi bình phương) với ν bậc tự do nếu hàm mật độ

của nó được cho bởi

/2 1 /2 /2

1

, 0( ) 2 ( / 2)

Tham số đặc trưng. Kỳ vọng và phương sai của phân phối χ là 2

2

và 2

II BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU KỲ VỌNG, PHƯƠNG SAI

1 Định nghĩa Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y Cặp (có thứ tự) hai biến ngẫu nhiên (X,Y) được gọi là

một biến ngẫu nhiên hai chiều

2 Phân phối xác suất

a.Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc

Định nghĩa Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc thì hàm phân phối xác suất đồng thời của chúng là

một hàm hai biến f x y( , ) được xác định bởi: f x y( , )=P X{ =x Y; =y}

Tương tự như đối với biến ngẫu nhiên một chiều, khi ( , )X Y là biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc (tức là

X và Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc), ta thường biểu diễn phân bố xác suất dưới dạng Bảng phân

phối xác suất (đồng thời) như sau:

2

x f x y( , )2 1 f x y( , )2 2 …

2( , )k

b Đối với biến ngẫu nhiên liên tục

3.Phân phối biên duyên

Bây giờ nếu đã biết phân phối xác suất đồng thời f x y( , ) của biến ngẫu nhiên hai chiều ( , )X Y ,

liệu ta có thể xác định được phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên thành phần hay không?

Định nghĩa Biến ngẫu nhiên hai chiều ( , )X Y rời rạc có hàm phân phối xác suất đồng thời là f x y( , )

Khi đó: phân phối biên duyên của X và Y được xác định bởi:

Biến ngẫu nhiên hai chiều ( , )X Y liên tục có hàm mật độ xác suất đồng thời là ( , )f x y Khi đó: phân

phối biên duyên của X và Y được xác định bởi

Mô tả đối với biến ngẫu nhiên rời rạc:

Từ Bảng phân phối xác xuất đồng thời:

1p2

x f x y( , )2 1 f x y( , )2 2 …

2( , )k

2p

Tổng theo cột

1q

4.Phân phối xác suất coa điều kiện

Với hai biến cố ngẫu nhiên một chiều A và B ta đã có công thức tính xác suất có điều kiện như sau:

Định nghĩa Giả sử ( , )X Y biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc hoặc liên tục

Phân phối có điều kiện của biến ngẫu nhiên Y với điều kiện X = x được xác định bởi:

trong đó tổng được lấy trên tất cả các giá trị của X nằm giữa a và b

O Khi X và Y liên tục thì: P(a < X < b | Y = y) = ( | )

b

a

f x y dx

5 Kỳ vọng.

Giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên gọi là kỳ vọng của của nó

a Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa

a Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với hàm phân phối xác suất là ( )f x Khi đó kỳ vọng

(giá trị trung bình) của X là một số thực ký hiệu là ( )E X ( hoặc µ ) được xác định bởi

x

b Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất là f(x) Khi đó kỳ vọng (giá

trị trung bình) của X là một số thực ký hiệu là E(X) được xác định bởi:

b.Kỳ vọng của hàm các biến ngẫu nhiên

Như ta đã biết, khi X là một biến ngẫu nhiên và g =g t( )là một hàm nào đó thì g X( )cũng là một

biến ngẫu nhiên Khi đó g X( )có kỳ vọng là bao nhiêu?

Định lí 1 Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất là ( )f x và g =g t( ) là hàm số xác định trên

miền giá trị của biến ngẫu nhiên X Khi đó kỳ vọng của biến ngẫu nhiên g X( ) được xác định bởi:

+∞

−∞

= = ∫ , nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục

Sau đây, ta sẽ mở rộng cho trường hợp các biến ngẫu nhiên X và Y có phân phối xác suất đồng thời

( , )

f x y

Định lý 2 Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất đồng thời là ( , )f x y , hàm số

( , )

g =g t u xác định trên miền giá trị của biến ngẫu nhiên hai chiều ( , )X Y Khi đó kỳ vọng của biến

ngẫu nhiên g X Y được xác định bởi: ( , )

6 Phương sai và độ lệch chu)n

a Phương sai và độ lệch chu)n của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa: Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất f x( )và kỳ vọng là µ Phương sai của X

Căn bậc hai của phương sai là σ và được gọi là độ lệch chu)n của biến ngẫu nhiên X

Định lí Phương sai của biến ngẫu nhiên X có thể đươc xác định bởi công thức:

E X

b Phương sai của hàm các biến ngẫu nhiên

Ta sẽ mở rộng khái niệm phương sai của một biến ngẫu nhiên cho hàm của biến ngẫu nhiên X

Giả sử g =g t( ) là hàm số xác định trên miền giá trị của biến ngẫu nhiên X , khi đó g X( ) cũng là một

biến ngẫu nhiên và phương sai của nó sẽ được kí hiệu là σg X2( )

Định lý 4 Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất là f x( ) Phương sai của biến ngẫu nhiên

7.Covariance và hệ số tương quan

a Covariance

Định nghĩa

Cho X và Y là các BNN với phân phối xác suất đồng thời f(x, y) Khi đó Covariance của X và Y là

một đại lượng mà giá trị của nó được xác định bởi:

b Hệ số tương quan

Cho X và Y là các BNN với covariance σXY và các độ lệch chuNn tương ứng là σ và X σ Y Hệ số

tương quan của X và Y là một số thực được xác định bởi:

.XY XY

X Y

σρ

σ σ

=

Ý nghĩa của hệ số tương quan

Hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến tính của hai BNN X và Y :

+ Khi ρXY càng gần 1 thì tính chất quan hệ tuyến tính càng chặt

+ Khi ρXY càng gần 0 thì sự phụ thuộc tuyến tính càng ít, càng lỏng lẻo

+ Khi ρXY = ta nói X và Y là không tương quan 0

Một số tính chất của phương sai:

III.BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

1.Mẫu ngẫu nhiên

a Tổng thể

Định nghĩa

Khi nghiên cứu về một vấn đề người ta thường khảo sát trên một dấu hiệu nào đó, các dấu hiệu

này thể hiện trên nhiều phần tử Tập hợp các phân tử mang dấu hiệu được quan tâm được gọi là một

tổng thể

Số lượng các phần tử trong một tổng thể được gọi là cỡ tổng thể

Mỗi phần tử có mặt trong tổng thể được gọi là một cá thể của tổng thể đó

b Mẫu

Định nghĩa

Việc từ tổng thể ta lấy ra một tập con nào đó được gọi là phép lấy mẫu

Mỗi tập con được lấy ra gọi là một mẫu

Số phần tử của mẫu được gọi là kích thước của mẫu

c Mẫu ngẫu nhiên

Giả sử X X1, 2, ,X là n biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng hàm phân phối xác suất n f x Khi ( )

đó chúng ta gọi (X X1, 2, ,Xn) là một mẫu ngẫu nhiên có cỡ n từ tổng thể f x và hàm phân phối ( )

xác suất đồng thời của chúng là:

XX

Định nghĩa Nếu (X X1, 2, ,Xn) là một mẫu ngẫu nhiên cỡ n , được sắp xếp theo thứ tự tăng dần của

độ lớn, khi đó median mẫu được xác định bởi thống kê:



1 2

1

, khi le

, khi chan2

Định nghĩa Nếu X X1, 2, ,Xn không nhất thiết khác nhau hoàn toàn, biểu diễn một mẫu ngẫu nhiên có

cỡ n Khi đó mode M là giá trị của mẫu mà xảy ra thường xuyên nhất hoặc có tần số lớn nhất

Mode có thể không tồn tại và khi nó tồn tại không nhất thiết là giá trị duy nhất

iv Phương sai mẫu

mẫu được xác định bởi thống kê:

3.Phân phối của các thống kê cơ bản

a.Phân phối của trung bình mẫu Trung bình mẫu: X1 X2 Xn