Luận văn thạc sĩ toán học về sự phát triển của điều kiện tối ưu trong bài toán quy hoạch lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG THỊ HOA VỀ SỰ PHÁT TRIỂN CỦA ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU TRONG BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI H[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

DƯƠNG THỊ HOA

VỀ SỰ PHÁT TRIỂN CỦA ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU

TRONG BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

DƯƠNG THỊ HOA

VỀ SỰ PHÁT TRIỂN CỦA ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU

TRONG BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60.46.01.12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS TSKH LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - 2017

Mục lục

1.1 Tập lồi 3

1.1.1 Các định nghĩa cơ bản về tập lồi 3

1.1.2 Toán tử chiếu tập lồi 12

1.2 Hàm lồi 17

2 Điều kiện tối ưu của bài toán quy họach lồi 23 2.1 Bài toán quy hoạch lồi 23

2.2 Điều kiện cần và đủ tối ưu 24

2.2.1 Điều kiện tối ưu theo nguyên lý Fermat của bài toán tối ưu không ràng buộc hàm một biến khả vi 24 2.2.2 Điều kiện với ràng buộc hình học 33

2.2.3 Điều kiện có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức 37

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dụng chính của bài luận văn, em xin bày tỏ lời lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Lê Dũng Mưu người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

để em có thể hoàn thành luận văn này

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy, cô giáo trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên đã giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khóa học

Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, quý thầy cô giáo khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, gia đình

và bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện cho em về mọi mặt trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Để hoàn thành được khóa luận bản thân em đã cố gắng rất nhiều nhưng Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong muốn nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy, cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2017

Tác giả luận văn

DƯƠNG THỊ HOA

Bảng ký hiệu

B(0, 1) hình cầu đơn vị, đóng tâm ở 0

∂f (x) dưới vi phân của hàm lồi f tại x

L(x, µ, ν) hàm Lagrange

f0(x), f00(x), đạo hàm (bậc 1 và bậc 2) của hàm số f (x)

h., i tích vô hướng trong Rn

Mở đầu

Bài toán quy hoạch lồi là phần quang trọng của lý thuyết tối ưu Trong lý thuyết tối ưu, thì điều kiện tối ưu là rất quan trọng, nó nghiên cứu tính chất nghiệm, đề suất phương pháp giải Lý thuyết về bài toán quy hoạch lồi đã được quan tâm nghiên cứu nhiều và từ lâu đã đạt được nhiều kết quả quan trọng dựa trên các kết quả của Giải tích lồi

và tối ưu hóa Về phương diện tính toán đã có khá nhiều phương pháp hữu hiệu cho lớp toán này

Trong quá trình học và tìm hiểu về điều kiện tối ưu trong bài toán quy hoạch lồi ta thấy sự phát triển của bài toán rất phong phú và nhiều vấn đề được nối tiếp rất khoa học và hay

Mục đích của luận văn là tổng kết lại giai đoạn phát triển của điều kiện tối ưu trong bài toán quy hoạch lồi và xét đến các ứng dụng của chúng trong việc xây dựng phương pháp giải Trên cơ sở đó khảo sát đến một số ứng dụng trong việc giải bài toán quy hoạch lồi Tổng hợp lại lý thuyết tối ưu thì điều kiện tối ưu là rất quan trọng vì chúng cho phép nghiên cứu tính chất nghiệm, xây dựng các phương pháp giải Điều kiện tối ưu được dựa trên nguyên lý Fermat trong bài toán cực trị không có nghiệm ràng buộc của hàm một biến khả vi đã được học trong chương trình PTTH Theo đó người ta đã phát triển nguyên lí này bài quy hoạch có ràng buộc của hàm nhiều biến không nhất thiết khả vi

Bản luận văn, ngoài phần mở đầu và tài liệu tham khảo còn có hai chương chính cụ thể là: Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản nhất

về Giải tích lồi Chương 2 giới thiệu bài toán tối ưu và đặc biệt đi sâu vào sự phát triển của các điều kiện tối ưu cho các lớp bài toán tối ưu lồi

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị về giải

tích lồi

Chương này chủ yếu nhắc lại một số khái niệm, định nghĩa và kết quả cần thiết liên quan đến tập lồi và hàm lồi Nội dung chương này tham khảo từ các tài liệu [1], [2]

1.1 Tập lồi

1.1.1 Các định nghĩa cơ bản về tập lồi

Định nghĩa 1.1.1 Một tập C ⊆ Rn được gọi là một tập lồi, nếu C chứa mọi đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó Tức là C lồi khi

và chỉ khi

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ 0, 1 ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C

Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm (véc - tơ) x1, , xk nếu

x =

k

X

j=1

λjxj, λj > 0 ∀j = 1, , k,

k

X

j=1

λj = 1

Tương tư, x là tổ hợp a-phin của các điểm (véc - tơ) x1, , xk nếu

x =

k

X

j=1

λjxj,

k

X

j=1

λj = 1

Tập hợp của các tổ hợp a-phin của x1, , xk thường được gọi là bao a-phin của các điểm này

Định lý 1.1.2 Tập hợp C là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm của nó Tức là: C lồi khi và chỉ khi

∀k ∈ N, ∀λ1, , λk > 0 :

k

X

j=1

λj = 1, ∀x1, , xk ∈ C ⇒

k

X

j=1

λjxj ∈ C

Chứng minh

Điều kiện đủ là hiển nhiên từ định nghĩa Ta chứng minh điều kiện cần bằng quy nạp theo số điểm Với k = 2, điều cần chứng minh suy

ra ngay từ định nghĩa của tập lồi và tổ hợp lồi Giả sử định lý đúng với k − 1 điểm Ta cần chứng minh với k điểm

Giả sử x là tổ hợp lồi của k điểm x1, , xk ∈ C Tức là

x =

k

X

j=1

λjxj, λj > 0 ∀j = 1, , k,

k

X

j=1

λj = 1

Đặt

ξ =

k−1

X

j=1

λj Khi đó 0 < ξ < 1 và

x =

k−1

X

j=1

λjxj + λkxk = ξ

k−1

X

j=1

λj

ξ x

j

+ λkxk (1.1)

Do

k−1

X

j=1

λj

ξ = 1

và λj

ξ > 0 với mọi j = 1, , k − 1, nên theo giả thiết quy nạp, điểm

y :=

k−1

X

j=1

λj

ξ x

j ∈ C

Ta có

x = ξy + λkxk

Do ξ > 0, λk > 0 và ξ + λk =

j=1

λj = 1, nên x là một tổ hợp lồi của

Lớp các tập lồi là đóng với các phép giao, phép cộng đại số và phép nhân tích Descartes Cụ thể, ta có định lý sau:

Định lý 1.1.3 Nếu A, B là các tập lồi trong Rn, C là lồi trong Rm, thì các tập sau là lồi:

A ∩ B := {x|x ∈ A, x ∈ B},

λA + βB := {x|x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, λ, β ∈ R},

A × C := {x ∈ Rn+m|x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C}

Chứng minh Dễ dàng được suy ra trực tiếp từ định nghĩa  Định nghĩa 1.1.4 Một tập C được gọi là tập a-phin nếu nó chứa đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó, tức là

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C

Vậy tập a-phin là một trường hợp riêng của tập lồi Như đã nêu, một

ví dụ điển hình của tập a-phin là các không gian con Một ví dụ khác

về tập a-phin là siêu phẳng được định nghĩa dưới đây

Định nghĩa 1.1.5 Siêu phẳng trong không gian Rn là một tập hợp các điểm có dạng

{x ∈ Rn|aTx = α}, trong đó a ∈ Rn là một véc - tơ khác 0 và α ∈ R

Véc - tơ a thường được gọi là véc - tơ pháp tuyến của siêu phẳng Một siêu phẳng sẽ chia không gian ra hai nửa không gian Nửa không gian được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.1.6 Nửa không gian là một tập hợp có dạng

{x|aTx ≥ α},

trong đó a 6= 0 và α ∈ R Đây là nửa không gian đóng Tập

{x|aTx ≥ α}

là nửa không gian mở

Như vậy một siêu phẳng chia không gian ra làm hai nửa không gian, mỗi nửa không gian ở về một phía của siêu phẳng Nếu hai nửa không gian này là đóng thì phần chung của chúng chính là siêu phẳng đó Mệnh đề dưới đây cho thấy tập a-phin chính là ảnh tịnh tiến của một không gian con

Định lý 1.1.7 M 6= ∅ là tập a-phin khi và chỉ khi nó có dạng M =

L + a với L là một không gian con và a ∈ M Không gian con L này được xác định duy nhất

Không gian L trong định lý trên được gọi là không gian con song song với M , hoặc nói ngắn gọn hơn là không gian con của M Thứ nguyên (hay chiều) của một tập a-phin M được định nghĩa bởi thứ nguyên của không gian song song với M và được ký hiệu là dim M Định nghĩa 1.1.8 Một tập được gọi là tập lồi đa diện, nếu nó là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng

Như vậy, theo định nghĩa, tập lồi đa diện là tập hợp nghiệm của một

hệ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính Dạng tường minh của một tập lồi đa diện được cho như sau:

D := {x ∈ Rn|haj, xi ≤ bj, j = 1, , m}

Hoặc nếu ta ký hiệu A là ma trận có m hàng là các véc - tơ aj (j =

1, , m) và véc - tơ bT = (b1, , bm), thì hệ trên viết được là:

D = {x ∈ Rn|Ax ≤ b}

Chú ý rằng do một phương trình

ha, xi = b

có thể viết một cách tương đương dưới dạng hai bất phương trình

ha, xi ≤ b, h−a, xi ≤ b,

trình cũng là một tập lồi đa diện.

Định nghĩa 1.1.9 Một tập C được gọi là nón nếu

∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λx ∈ C

Theo định nghĩa, ta thấy rằng gốc tọa độ có thể thuộc nón hoặc không thuộc nón Dĩ nhiên một nón không nhất thiết là một tập lồi Ví dụ

C := {x ∈ R|x 6= 0}

là một nón, nhưng không lồi Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi Một nón lồi được gọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng Khi đó ta nói 0 là đỉnh của nón Nếu nón lồi này lại

là một tập lồi đa diện thì ta nói nó là nón lồi đa diện Một ví dụ điển hình của nón lồi đa diện, thường được sử dụng, là tập hợp nghiệm của

hệ bất phương trình tuyến tính có dạng

{x|Ax ≥ 0}, với A là một ma trận thực cấp hữu hạn (số dòng và số cột là hữu hạn) Định lý 1.1.10 Một tập C là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau:

(i) λC ⊆ C ∀λ > 0, (ii) C + C ⊆ C

Chứng minh Giả sử C là một nón lồi Do C là một nón, nên ta có (i) Do C là một tập lồi, nên với mọi x, y ∈ C, thì 1

2(x + y) ∈ C Vậy theo (i) ta có x + y ∈ C

Ngược lại, giả sử có (i) và (ii) Từ (i) suy ra ngay C là một nón Giả sử x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] Từ (i) suy ra λx ∈ C, và (1 − λ)y ∈ C Theo (ii) có λx + (1 − λ)y ∈ C Vậy C là một nón lồi  Một số nón điển hình Dưới đây ta sẽ xét một số nón lồi điển hình thường được sử dụng trong giải tích lồi

Tập lồi có một đặc trưng là: một tia xuất phát từ một điểm thuộc

nó, thì hoặc nằm hẳn trong tập này hoặc một khi đã ra khỏi tập này thì sẽ không "trở lại"

Định nghĩa 1.1.11 Cho C là một tập lồi trong Rn Một véc - tơ y 6= 0 được gọi là hướng lùi xa của C, nếu mọi tia xuất phát từ một điểm bất kỳ của C theo hướng y đều nằm trọn trong C, tức là: y là hướng lùi xa khi và chỉ khi

x + λy ∈ C ∀x ∈ C, ∀λ ≥ 0

Một hướng lùi xa còn được gọi là hướng vô hạn Ta sẽ ký hiệu tập hợp của tất cả các hướng lùi xa của C cùng với điểm gốc là reC Tập hợp này được gọi là nón lùi xa của C Hiển nhiên nếu C là một tập bị chặn, thì reC chỉ gồm duy nhất điểm gốc Chú ý rằng, nếu C là một tập lồi đóng, thì trong định nghĩa trên, thay vì đòi hỏi với mọi x ∈ C, chỉ cần đòi hỏi cho một điểm x ∈ C Cụ thể ta có định lý sau:

Định lý 1.1.12 Giả sử C là một tập lồi đóng Khi đó y là một hướng lùi xa của C khi và chỉ khi

x + λy ∈ C ∀λ ≥ 0, với một điểm x nào đó thuộc C

Chứng minh Giả sử x + λy ∈ C ∀λ > 0, với x ∈ C Thế thì với mọi

u ∈ C và mọi µ > 0, do C lồi, ta có

xλ := µ

λ + µ(x + λy) + (1 −

µ

λ + µ)u ∈ C.

Cho λ → ∞, do C đóng, ta thấy u + µy ∈ C, với mọi u ∈ C và µ > 0



Chú ý Trong trường hợp C không đóng, định lý trên không đúng Ví

dụ, trong R2 lấy

C := {x = (x1, x2)|x1 > 0, x2 > 0} ∪ {0}

Hiển nhiên véc - tơ y = (0, 1) có tính chất là mọi tia xuất phát từ một điểm 0 6= x ∈ C theo hướng này đều nằm trọn trong C, nhưng nếu xuất phát từ x = 0 thì điều này không đúng

Cho C ⊆ Rn là một tập lồi và x ∈ C Ký hiệu

NC(x) := {w|hw, y − xi ≤ 0 ∀y ∈ C}

là một nón lồi đóng Nón này được gọi là nón pháp tuyến ngoài của

C tại x Tập −NC(x) được gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x Hiển nhiên

−NC(x) := {w|hw, y − xi ≥ 0 ∀y ∈ C}

Một nón quan trọng khác là nón đối cực được định nghĩa như sau:

C∗ := {w|hw, xi ≤ 0 ∀x ∈ C}

Dễ thấy rằng đây cũng là một nón lồi đóng chứa gốc

Cho C là một tập lồi khác rỗng và x ∈ C Ta nói d ∈ Rn là một hướng chấp nhận được của C nếu tồn tại t0 > 0 sao cho x + td ∈ C với mọi 0 ≤ t ≤ t0 Tập tất cả các hướng chấp nhận được là một nón lồi (dễ kiểm tra) chứa gốc Ta sẽ ký hiệu nón này là FC(x) và sẽ gọi

là nón các hướng chấp nhận được hoặc nói ngắn gọn là nón chấp nhận được Nón này có thể không đóng, tuy nhiên nếu lấy bao đóng, ta sẽ dược một nón khác gọi là nón tiếp xúc của C tại x Ký hiệu nón này

là TC(x), thì FC(x) = TC(x) Từ đây suy ra

TC(x) = {d ∈ Rn|∃dk → d, ∃tk & 0 : x + tkdk ∈ C ∀k}

Định nghĩa 1.1.13 Bao lồi của một tập E là giao của tất cả các tập lồi chứa E

Tương tự, ta định nghĩa bao a-phin của E là giao của tất cả các tập a-phin chứa E, và bao nón lồi của tập E (còn gọi là nón lồi sinh bởi E) là giao của tất cả các nón lồi chứa E Bao lồi của một tập E

sẽ được ký hiệu là coE; bao a-phin của một tập E sẽ được ký hiệu là

af f E, còn bao nón lồi của E sẽ được ký hiệu là coneE Do tính chất của nón, nên nếu một điểm x ∈ coneE, thì λx ∈ coneE với mọi λ > 0

Do đó để tiện làm việc, người ta thường cho luôn điểm gốc vào bao nón lồi của một tập

Chú ý rằng giao của các tập lồi (tập a-phin, nón lồi) cũng là tập lồi (tập a-phin, nón lồi), nên bao lồi, bao a-phin và bao lồi được xác định một cách duy nhất Như vậy bao lồi của một tập E là tập lồi nhỏ nhất chứa E Tương tự bao a-phin của E là tập a-phin nhỏ nhất chứa E

Bao nón lồi của E là tập hợp gồm gốc tọa độ và nón lồi nhỏ nhất chứa

E Như vậy khác với bao lồi và bao a-phin, bao nón lồi của một tập nói chung khác một chút với nón lồi nhỏ nhất chứa tập đó

Dĩ nhiên nếu E 6= ∅, thì bao lồi, bao a-phin và bao nón lồi luôn tồn tại duy nhất và khác rỗng vì các tập này đều chứa E và vì bản thân toàn bộ không gian đồng thời vừa là một tập lồi, một tâp a-phin và một nón lồi chứa E

Chú ý rằng có một số tác giả định nghĩa nón như sau: một tập C được gọi là một nón nếu với mọi x ∈ C thì λx ∈ C với mọi λ ≥ 0 Theo định nghĩa này, nón luôn chứa gốc Khi đó bao nón lồi của một tập E chính là giao của các nón lồi chứa E

Nhắc lại rằng, thứ nguyên (còn gọi là chiều) của một tập E bất kỳ được định nghĩa như là thứ nguyên của bao a-phin của nó Tức là

dim E := dim(af f E)

Định lý 1.1.14 Cho E là một tập lồi Khi đó

coneE = {λx|x ∈ E, λ ≥ 0}

Chứng minh Gọi M := {λx|x ∈ E, λ > 0} Hiển nhiên là bất kỳ nón nào chứa E, đều phải chứa M Ta sẽ chỉ ra là bản thân M cũng là một nón lồi Giả sử y1, y2 ∈ M Vậy y1 = λ1x1, y2 = λ2x2 với λ1, λ2 > 0 và

x1, x2 ∈ E Khi đó, ta có

y1+ y2 = (λ1 + λ2) λ1

λ1 + λ2

x1+ λ2

λ1+ λ2

x2

!

Do E lồi, nên

λ1

λ1 + λ2

x1 + λ2

λ1 + λ2

x2 ∈ E

Vậy y1 + y2 ∈ M Suy ra M là nón lồi nhỏ nhất chứa E và do đó bao nón lồi của E là tập hợp gồm M và gốc tọa độ Tức là coneE =

Định lý 1.1.15 (Carathéodory) Cho E là một tập bị chứa trong một tập a-phin có thứ nguyên là k Khi đó mọi x ∈ coE đều có thể biểu diễn như là tổ hợp lồi của nhiều nhất (k + 1) phần tử của E

của định lý Carathéodory đối với bao nón lồi.

Định lý 1.1.16 Giả sử E ⊂ Rk Khi đó mỗi điểm x 6= 0 thuộc coneE đều có thể biểu diễn dưới dạng

x = λ1x1+ + λrxr,

trong đó xi ∈ E, λi > 0 với mọi i và các điểm x1, , xr độc lập tuyến tính Nói riêng r ≤ k

Chứng minh

Bạn đọc tham khảo trong tài liêu [1]

Chứng minh định lý Carathéodory

Xét tập hợp

B := {1} × E = {(1, x)|x ∈ E} ⊂ R × Rk

Ta có coB = {1} × coE Giả sử coneB là nón lồi sinh bởi B Do coB

là tập lồi nhỏ nhất chứa B, nên

coB ⊂ coneB

Với mọi (1, x) ∈ coB, theo định lý trên, tồn tại các điểm

(1, x1), , (1, xr) ∈ B

và các số λ1, , λr, với r ≤ k + 1 thỏa mãn:

x = λ1x1+ + λrxr, xi ∈ E ∀i,

λ1 + + λr = 1, λi > 0 ∀i



Ta nhắc lại các khái niệm về điểm trong, điểm biên, tập compact v.v trong giải tích cổ điển Cho E ⊆ Rn Điểm a được gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một lân cận mở U (a) của a sao cho U (a) ⊂ E

Ký hiệu tập hợp các điểm trong của tập E là intE và B là quả cầu đơn vị, tâm ở gốc Khi đó theo định nghĩa, ta có

intE = {x : ∃r > 0, x + rB ⊂ E}