Luận văn thạc sĩ toán học bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  LÊ NGỌC TÂN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2018 ĐẠI HỌC THÁI NG[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

LÊ NGỌC TÂN

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ

ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018

LÊ NGỌC TÂN

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ

ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy

THÁI NGUYÊN - 2018

Mục lục

1.1 Không gian Banach 4

1.1.1 Không gian Banach lồi và trơn 5

1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 6

1.1.3 Ánh xạ j-đơn điệu 9

1.2 Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn 11

1.2.1 Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 11

1.2.2 Phương pháp lặp và sự hội tụ 12

2 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ các ánh xạ không giãn 23 2.1 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn 24

2.1.1 Bài toán 24

2.1.2 Một số bổ đề bổ trợ 24

2.2 Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân 25

2.2.1 Mô tả phương pháp 25

2.2.2 Sự hội tụ 25

Bảng ký hiệu

Mở đầu

Bài toán bất đẳng thức biến phân đã được nghiên cứu và đưa ra lần đầu tiên bởi Hartman và Stampacchia vào những năm đầu của thập niên 60 thế kỉ XX Mô hình bài toán bài toán bất đẳng thức biến phân,

kí hiệu là VIP(A, C), có dạng

trong đó C là tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực

H hoặc không gian Banach thực E và A : (D(A) = C) → C là ánh xạ mục tiêu xác định trên C

Người ta thường nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân và đề xuất các phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân Cho đến nay có nhiều phương pháp giải bất đẳng thức biến phân hữu hiệu được xây dựng, chẳng hạn phương pháp chiếu của Lions, phương pháp nguyên lý bài toán phụ của Cohen, phương pháp điểm gần kề của Martinet, phương pháp điểm gần kề quán tính của Alvarez và Attouch

và phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov đối với bất đẳng thức biến phân đặt không chỉnh Ở Việt Nam, bất đẳng thức biến phân cũng

là một chủ đề được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, như nhóm nghiên cứu của GS Nguyễn Bường (Viện Công nghệ Thông tin), GS Nguyễn Đông Yên (Viện Toán học), GS Lê Dũng Mưu (Trường Đại học Thăng Long, Hà Nội), GS Phạm Kỳ Anh (Trường Đại học Khoa học

tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội), GS Phan Quốc Khánh (Trường Đại học Quốc tế thành phố Hồ Chí Minh)

Mục đích của đề tài luận văn nhằm tổng hợp và trình bày lại hai

phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một ánh xạ không giãn, một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Banach trong các bài báo [3] và [5] công

bố năm 2008 và 2015

Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này, các thầy cô của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập, nghiên cứu Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy, cô Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy - Người đã tận tình hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018

Tác giả luận văn

Lê Ngọc Tân

Chương 1

Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ

không giãn

Chương này trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian Banach; ánh xạ j-đơn điệu, ánh xạ không giãn và phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn trong không gian Banach Kiến thức của chương này được viết dựa trên kết quả của Ceng và các cộng sự công bố trong [3] và các tài liệu được tham chiếu trong đó

từ các tài liệu [1], [2], [6] và [7]

1.1.1 Không gian Banach lồi và trơn

Banach E

Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với

Chú ý 1.1.2 Định nghĩa 1.1.1 còn có thể phát biểu dưới dạng tương đương sau: Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi điểm

x, y ∈ E, x 6= y, mà kxk = 1, kyk = 1 ta có

x + y

X

i=1

là không gian lồi chặt

Định nghĩa 1.1.4 Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E mà kxk = 1, kyk = 1, kx − yk ≥ ε ta luôn có

x + y

Ví dụ 1.1.5 Không gian Hilbert H là không gian lồi đều Vì từ đẳng thức hình bình hành ta tính toán được

x + y

r

2

4

 Định nghĩa 1.1.6 Không gian Banach E được gọi là không gian trơn

lim

t→0

kx + tyk − kxk

đạo hàm Gâteaux của chuẩn

(iv) Chuẩn của E được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.1) tồn

Ví dụ 1.1.9 Không gian Hilbert H là không gian có chuẩn khả vi Gâteaux với

chiếu mêtric như sau

Định nghĩa 1.1.10 Cho C là một tập con khác rỗng của không gian

n

được gọi là phép chiếu mêtric từ E lên C

bởi