Luận văn thạc sĩ toán học một số phương pháp tính toán và ước lượng lực lượng của các tập hữu hạn sinh bởi hàm số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TÔ THỊ LAN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁNVÀ ƯỚC LƯỢNG LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP HỮU HẠN SINH BỞI HÀM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NG[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TÔ THỊ LAN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN VÀ ƯỚC LƯỢNG LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP

HỮU HẠN SINH BỞI HÀM SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TÔ THỊ LAN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN VÀ ƯỚC LƯỢNG LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP

HỮU HẠN SINH BỞI HÀM SỐ

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

THÁI NGUYÊN - 2019

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu (Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN), thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua

Xin chân thành cảm ơn tới các quý thầy, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp cao học Toán K11, các bạn học viên, và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luôn khuyến khích động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học và viết luận văn này Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019

Tác giả

Tô Thị Lan

Mục lục

1.1 Một số khái niệm cơ bản liên quan đến tập hợp 2

1.1.1 Công thức tính lực lượng của tập hợp 3

1.1.2 Một số nguyên lý cơ bản của phép đếm 4

1.2 Các quy tắc đếm cơ bản 5

1.2.1 Quy tắc cộng 5

1.2.2 Quy tắc nhân 6

1.3 Hoán vị 6

1.4 Chỉnh hợp 7

1.5 Tổ hợp 7

1.6 Khai triển lũy thừa của nhị thức 8

Chương 2 ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP 9 2.1 Một số đẳng thức cơ bản trong tổ hợp 9

2.2 Một số bất đẳng thức thông dụng 11

2.3 Các bài toán cực trị rời rạc liên quan 13

Chương 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH LỰC LƯỢNG CỦA TẬP HỮU HẠN 30 3.1 Một số phương pháp đếm trong số học 30

3.1.1 Nguyên lý bao hàm và loại trừ 30

3.1.2 Phương pháp đếm số lần xuất hiện của mỗi phần tử trong tập hợp 38

3.1.3 Đếm theo phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi 42

3.2 Một số bài toán đếm trong hình học tổ hợp 49

3.3 Một số tính toán khác trên tập rời rạc 58

Mở đầu

Toán học tổ hợp được nghiên cứu từ khá sớm Hiện nay trong giáo dục phổ thông, toán học tổ hợp là một trong những nội dung quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc Gia và đề thi chọn học sinh giỏi các cấp Trong các bài toán tổ hợp có một lớp các bài toán đếm Bài toán đếm rất phong phú kể cả dạng phát biểu đến cách giải Độ khó của bài toán đếm được trải rất rộng - từ những bài toán dễ với các số liệu cụ thể, có thể kiểm chứng bằng trực giác đến những bài toán khó hơn, với những dữ liệu đầu vào bằng chữ mà kết quả của nó được biểu diễn bằng một công thức toán học Có những công thức được tìm ra qua một vài suy luận đơn giản nhưng cũng có những công thức mà việc tìm thấy chúng phải kéo dài rất lâu Bài toán đếm giúp học sinh phát huy tốt khả năng tư duy sáng tạo Nhằm đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng học sinh giỏi và phát triển tư duy cho học sinh tôi chọn đề tài “Một số phương pháp tính toán và ước lượng lực lượng của các tập hữu hạn sinh bởi hàm số ” Luận văn tổng hợp một số dạng bài tập đặc trưng góp phần nâng cao tư duy tổ hợp của học sinh cũng như giúp học sinh lựa chọn kiến thức trong quá trình giải một bài toán tổ hợp Cấu trúc luận văn gồm 3 chương

Chương 1 Một số tính chất của tập hợp hữu hạn

Chương 2 Đẳng thức, bất đẳng thức và một số bài toán cực trị tổ hợp

Chương 3 Một số phương pháp xác định lực lượng của tập hữu hạn

Chương 1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT

CỦA TẬP HỢP HỮU HẠN

Trong chương này, tác giả nhắc lại các khái niệm cơ bản liên quan đến tập hợp, các phép toán cơ bản của tập hợp, các công thức liên quan đến hoán vị chỉnh hợp và tổ hợp, công thức tính lực lượng của tập hợp và một số nguyên lý đếm nâng cao nhằm chuẩn bị cơ sở cho việc giải các bài toán trong chương 2 và chương 3 Các kết quả trong chương 1 được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [3]

1.1 Một số khái niệm cơ bản liên quan đến tập hợp

Định nghĩa 1.1 Tập B được gọi là tập con của tập A nếu mỗi phần tử của nó đều thuộc tập A Ký hiệu B ⊆ A

Định nghĩa 1.2 Khi B là tập con của tập A và B 6= A, thì B được gọi là tập con thực sự của tập A Ký hiệu B ⊂ A

Định nghĩa 1.3 Tập hợp không chứa một phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng

Ký hiệu là ∅

Định nghĩa 1.4 Cho tập A, số phần tử trong tập A được gọi là lực lượng của tập

A, ký hiệu là |A|

Định nghĩa 1.5 Cho các tập hợp A, B, tập gồm các phần tử hoặc thuộc tập A

hoặc thuộc tập B được gọi là hợp của tập A và tập B Ký hiệu là A ∪ B hoặc

A ∨ B

Định nghĩa 1.6 Cho các tập hợp A, B, tập hợp gồm các phần tử thuộc đồng thời

cả tập A và tập B được gọi là giao của tập A và tập B Kí hiệu là A ∩ B hoặc

A ∧ B

Định nghĩa 1.7 Tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B được gọi là hiệu của tập A và tập B Ký hiệu là A\B

Định nghĩa 1.8 Giả sử tập B là tập con của tập A, tập gồm tất cả các phần tử thuộc A, nhưng không thuộc B được gọi là phần bù của tập B trong tập A và ký hiệu là CA(B)

1.1.1 Công thức tính lực lượng của tập hợp

• Cho hai tập A, B ta có |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

• Cho ba tập A, B, C ta có

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |C ∩ A| + |A ∩ B ∩ C|

• Tổng quát Cho A1, A2, Am là các tập hữu hạn ta đặt

N1 =

m

X

i=1

|A1|

1≤i<j≤m

|Ai∩ Ai|

1≤i 1 <i 2 < <i k ≤n

|Ai1 ∩ Ai2 ∩ Aik|

Nm = |A1 ∩ A2 ∩ ∩ Am|

Khi đó ta có

|A1 ∪ A2 ∪ ∪ Am| =

m

X

i=1

(−1)i−1Ni (1.1)

Chứng minh Với mỗi a ∈

m

S

i=1

Ai, ta chứng minh a được đếm số lần như nhau

ở cả hai vế của công thức (1.1)

Vì a thuộc ít nhất một trong các tập A1, A2, Am, không mất tính tổng quát, giả sử a thuộc đúng k tập A1, A2, Ak trong các tập đã cho Ta thấy trong vế trái của (1.1), a được đếm một lần Theo vế phải của (1.1), a cũng được đếm C1k

lần trong

m

P

i=1

|Ai|, C2k lần trong P

1≤<i<j≤m

|Ai ∩ Ai|, Do đó ở vế phải của công thức (1.1) a được đếm số lần là

C1k− C2k + C3k − · · · + (−1)k−1Ckk = Ck0 − Ck0 − C1k + C2k − C3k− · · · + (−1)kCkk

= 1 − (1 − 1)k = 1.

Rõ ràng, với mỗi a 6∈

m

S

i=1

Ai, ở cả vế trái và vế phải của (1.1) số lần a được đếm

là 0 lần Như vậy, với mọi phần tử a, số lần a được đếm ở vế trái và vế phải của (1.1) là như nhau Do đó ta có điều phải chứng minh

1.1.2 Một số nguyên lý cơ bản của phép đếm

Nguyên lý cộng

Cho A1, A2, Am là các tập hữu hạn từng đôi một rời nhau Khi đó ta có

|A1 ∪ A2 ∪ ∪ Am| =

m

X

i=1

|Ai|

Nguyên lý nhân

Nếu A1, A2, Am là các tập hữu hạn thì

|A1 × A2 × · · · × Am| = |A1||A2| |Am|

Nguyên lý trừ

Nếu Y là một tập con của một tập hữu hạn X thì |X \ Y | = |X| − |Y |

Nguyên lý bù trừ (công thức Sieve) Giả sử A1, A2, Am là các tập con của một tập hữu hạn X, kí hiệu Ai là phần bù của Ai trong X, (i = 1; 2; m)

thì

|A1 ∩ A2 ∩ Am| = |A1 ∪ A2 ∪ ∪ Am|

= |X| +

m

X

k=1

a≤i 1 <i 2 < <i k ≤m

|Ai1 ∩ Ai2 ∩ Aik|

Theo nguyên lý bù trừ ta có

|A1 ∪ A2 ∪ ∪ Am| = |X| − |A1 ∪ A2 ∪ ∪ Am| = |X| +

m

X

i=1

(−1)iNi

Nguyên lí Dirichlet cơ bản

Nếu nhốt n + 1 con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có ít nhất một chuồng chứa ít nhất hai con thỏ, với n là số nguyên dương

Nguyên lí Dirichlet tổng quát

Nếu có N đồ vật được đặt vào trong k hộp thì sẽ tồn tại một hộp chứa ít nhất

N

k đồ vật (Ở đây, dxe là giá trị của hàm trần của số thực x, đó là số nguyên nhỏ nhất có giá trị lớn hơn hoặc bằng x Khái niệm này đối ngẫu với hàm sàn [x]

- giá trị của hàm sàn hay hàm phần nguyên tại x - là số nguyên lớn nhất có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng x.)

Nguyên lí Dirichlet mở rộng

Nếu nhốt n con thỏ vào m ≥ 2 cái chuồng thì tồn tại một chuồng có ít nhất

n+m−1

m  con thỏ

Ta chứng minh nguyên lí Dirichlet mở rộng như sau

Giả sử trái lại, mọi chuồng thỏ có không đến



n + m − 1 m



=



n − 1



=



n − 1 m



+ 1

con thỏ, thì số thỏ trong mỗi chuồng đều nhỏ hơn hoặc bằng n−1m  con Suy ra tổng số con thỏ không vượt quá

m ·



n − 1 m



≤ n − 1

Điều này vô lí, vì có n con thỏ Vậy giả thiết phản chứng là sai

Nguyên lí Dirichlet mở rộng được chứng minh

Nguyên lí cực hạn

Nguyên lí cực hạn được phát biều đơn giản như sau

Nguyên lí 1: Trong một tập hữu hạn và khác rỗng các số thực luôn luôn có thể chọn được số bé nhất và số lớn nhất

Nguyên lí 2: Trong một tập khác rỗng hữu hạn các số tự nhiên luôn luôn có thể chọn được số bé nhất

1.2 Các quy tắc đếm cơ bản

1.2.1 Quy tắc cộng

Nội dung quy tắc Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1, m2 cách chọn đối tượng

a2, , mn cách chọn đối tượng an, trong đó cách chọn đối tượng ai (1 ≤ i ≤ n)

không phụ thuộc vào bất kỳ cách chọn đối tượng aj nào (1 ≤ j ≤ n, i 6= j), thì

sẽ có

n

P

k=1

mk cách chọn đối tượng a1, hoặc a2, , hoặc an

Phát biểu bằng ngôn ngữ tập hơp như sau.

Cho n tập Ak (1 ≤ k ≤ n) với |Ak| = mk và ∀i, j (1 ≤ i, j ≤ n) Ai ∩ Aj = ∅,

khi i 6= j Khi đó số cách chọn a1, hoặc a2, , hoặc an trong các tập tương ứng Ak (1 ≤ k ≤ n) sẽ bằng số cách chọn phần tử a thuộc

n

[

k=1

Ak và bằng

n

[

i=1

Ak

=

n

X

k=1

|Ak|

1.2.2 Quy tắc nhân

Cho n đối tượng a1, a2, , an Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1 và với mỗi cách chọn a1 có m2 cách chọn đối tượng a2, sau đó với mỗi cách chọn a1, a2 có m3

cách chọn a3, Cuối cùng với mỗi cách chọn a1, a2, , an−1 có mn cách chọn đối tượng an Như vậy sẽ có m1.m2 .mn−1.mn cách chọn các đối tượng a1, rồi a2, rồi a3, , rồi an

Phát biểu bằng ngôn ngữ tập hợp như sau

Giả sử có n tập hợp Ak (1 ≤ k ≤ n) với |Ak| = mk Khi đó, số cách chọn bộ gồm n phần tử (a1, a2, , an) với ai ∈ Ai (1 ≤ i ≤ n) sẽ là

S = |A1 × A2 × · · · × An| = m1 × m2 × · · · × mn =

n

Y

k=1

mk

1.3 Hoán vị

Định nghĩa 1.9 Cho một tập hợp gồm n (n ≥ 1) phần tử Mỗi cách sắp xếp n

phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử đã cho

Kí hiệu số hoán vị của n phần tử bằng Pn

Ta có công thức tính số hoán vị của n phần tử

Pn = n!

Định nghĩa 1.10 Hoán vị lặp là bộ sắp thứ tự các phần tử của một tập hợp mà trong đó mỗi phần tử xuất hiện ít nhất một lần

Số hoán vị lặp của n phần tử thuộc k loại, mà các phần tử loại i (1 ≤ i ≤ k)

xuất hiện ni lần được kí hiệu là P (n1, n2, , nk) và được tính bằng công thức

P (n1, n2, , nk) = n!

n1!n2! nk!.

Định nghĩa 1.11 Số hoán vị vòng quanh của n phần tử khác nhau ký hiệu là

(Qn) và được tính bằng công thức

Qn = (n − 1)!

1.4 Chỉnh hợp

Định nghĩa 1.12 Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp thứ tự cho k phần

tử (0 ≤ k ≤ n) của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử thuộc A

Kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Akn

Công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử

Akn = n(n − 1) (n − k + 1) = n!

(n − k)!·

Định nghĩa 1.13 Cho tập hữu hạn X gồm n phần tử Mỗi dãy có độ dài k các phần tử của tập X, mà mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần và được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử thuộc tập X

Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử, kí hiệu là Ak

n, bằng số ánh xạ từ tập k

phần tử đến tập n phần tử và bằng nk, do đó ta có công thức

Ak

n = nk

1.5 Tổ hợp

Định nghĩa 1.14 Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập con gồm k (0 ≤ k ≤ n)

phần tử thuộc A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho

Số tổ hợp chập k (0 ≤ k ≤ n) của n phần tử, được kí hiệu là Cnk Công thức tính số tổ hợp chập k (0 ≤ k ≤ n) của n phần tử

Cnk = n!

k!(n − k)!.

Định nghĩa 1.15 Cho tập hợp A = {a1, a2, , an} Một tổ hợp lặp chập m (m

không nhất thiết phải nhỏ hơn n) của n phần tử thuộc A là một bộ gồm m phần

tử, mà mỗi phần tử này là một trong những phần tử của A

Ta sử dụng Cm

n để kí hiệu số tổ hợp lặp chập m của n phần tử Khi đó

Cm

n = Cn+m−1m

1.6 Khai triển lũy thừa của nhị thức

Ta có công thức khai triển của (x + y)n

Cho mỗi số tự nhiên n > 1 ta có

(x + y)n =

n

X

k=0

Cnkxn−kyk

Ta có thể tính nhanh các hệ số trong khai triển trên bằng tam giác Pascal

1

Chương 2 ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP

Trong chương này, tác giả nhắc lại một số đẳng thức cơ bản trong tổ hợp và một số bất đẳng thức cơ bản trong đại số Trên cơ sở lý thuyết đó tiến hành giải quyết các bài toán về cực trị tổ hợp liên quan đến việc ước lượng các phần tử của tập hữu hạn

Trong chương 2, tác giả sử dụng các tài liệu tham khảo [1], [2], [3] và [4]

2.1 Một số đẳng thức cơ bản trong tổ hợp

Tính chất 2.1 (Tính chất đối xứng) Với mọi số tự nhiên n, k ∈ N thỏa mãn

0 ≤ k ≤ n ta có

Cnk = Cnn−k

Tính chất 2.2 (Tính chất tam giác Pascal)

Cnk + Cnk+1 = Cn+1k+1

Tính chất 2.3 (Công thức tính tổng theo cột)

n

X

k=0

Ckm = Cn+1m+1

Chứng minh Áp dụng công thức Pascal, ta có:

n

X

k=0

Ckm =

n

X

k=0

(Ck+1m+1 − Ckm+1) = Cn+1m+1 − C0m+1 = Cn+1m+1

Tính chất 2.4 (Công thức tính tổng theo đường chéo chính).

n

X

k=0

Cm+kk = Cm+n+1n

Chứng minh

n

X

k=0

Cm+kk =

n

X

k=0

Cm+km (sử dụng Tính chất 2.1)

= Cm+n+1m+1 (sử dụng Tính chất 2.3)

= Cm+n+1n (sử dụng Tính chất 2.1)

Tính chất 2.5 (Công thức tính tổng theo đường chéo phụ liên quan đến số Fibonacci)

n

X

k=0

Cn−kk = Fn+1

Qui ước Cnk = 0, với k > n

Chứng minh

Với n = 0, n = 1 thì C00 = 1 = F1, C10 + C10 = 1 = F2

Giả sử công thức trên đúng đến n − 1 Khi đó

n

X

k=0

Cn−kk =

n

X

k=0

Cn−1−kk−1 +

n

X

k=0

Cn−1−kk (sử dụng Tính chất 2.2)

=

n−2

X

k=0

Cn−kk +

n−1

X

k=0

Cn−kk

= Fn−1 + Fn (sử dụng giả thiết quy nạp)

= Fn+1 (sử dụng công thức truy hồi của dãy Fibonacci)

Tính chất 2.6 (Quy tắc hút) Với n, k ∈ N thỏa mãn 0 < k ≤ n ta có:

Cnk = n

kC

k−1 n−1

Chứng minh Ta có Cnk = n!

k!(n − k)! =

n

k.

(n − 1)!

(k − 1)!(n − k)! =

n

kC

k−1 n−1

Tính chất 2.7 (Công thức lùi cơ số) Với n, k ∈ N thỏa mãn 0 ≤ k < n ta có:

Cnk = n

n − kC

k n−1

Chứng minh Ta có Cnk = n!

k!(n − k)! =

n

n − k.

(n − 1)!

k!(n − 1 − k)! =

n

n − kC

k n−1

Tính chất 2.8 (Tính đơn điệu (monotonicity)).

Cn0 < Cn1 < · · · < Cbn−1

2 c+1

2c

n > · · · > Cnn

Tính chất 2.9 (Công thức Vandermonde) Với mọi số nguyên không âm n, m, r

thỏa mãn k ≤ n, k ≤ r ≤ m + k ta có

n

X

k=0

CnkCmr−k = Cn+mr

Tính chất 2.10 (Công thức Vandermonde mở rộng) Cho n1, n2, , nr là các số nguyên không âm và k = k1 + k2 + + kr thỏa mãn ki ≤ ni ∀i = 1, r ta có

X

k 1 +k 2 + +k r =k

Ck1

n1.Ck2

n2 Ckr

nr = Cnk

1 +n2+ +nr

Tính chất 2.11 (Đẳng thức hệ số tổ hợp kèm phân số) Cho các số nguyên dương

k, n thỏa mãn k < n Khi đó ta có

Cn−kk n

n − k = C

k n−k + Cn−k−1k−1

Cn+kk 1

n + k =

1

k n+k − Cn+k−1k−1

2.2 Một số bất đẳng thức thông dụng

Định lý 2.1 (Định lí về các giá trị trung bình cộng và nhân, xem [2]) Giả sử

x1, x2, , xn là các số không âm Khi đó

x1 + x2 + · · · + xn

x1x2 · · · xn (2.1)

Dấu đẳng thức xảy ra khi x1 = x2 = · · · = xn

Bất đẳng thức 2.1 còn gọi tắt là bất đẳng thức AM-GM Hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức giữa trung bình nhân và trung bình điều hòa (gọi tắt là bất đẳng thức GM-HM)

Hệ quả 2.1 (Bất đẳng thức GM-HM) Với mọi bộ số dương a1, a2, ···, an, ta đều có

n

√

a1a2 · · · an ≥ n

1

a1 +

1

a2 + · · · +

1

an

Trong chương 2, tác giả sử dụng tài liệu tham khảo [1], [2], [3] [4]

2.1 Một số đẳng thức tổ hợp

Tính chất 2.1 (Tính chất đối... 1.9 Cho tập hợp gồm n (n ≥ 1) phần tử Mỗi cách xếp n

phần tử theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử cho

Kí hiệu số hốn vị n phần tử Pn

Ta có cơng thức tính số hốn vị... BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP

Trong chương này, tác giả nhắc lại số đẳng thức tổ hợp số bất đẳng thức đại số Trên sở lý thuyết tiến hành giải tốn cực trị tổ hợp liên quan đến việc ước