Luận văn thạc sĩ toán học một số bài toán số học trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  LÊ PHƢƠNG THẢO MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  LÊ[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

LÊ PHƯƠNG THẢO

MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

LÊ PHƯƠNG THẢO

MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI

THÁI NGUYÊN - 2019

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

L¶ Ph÷ìng Th£o

MËT SÈ B€I TON SÈ HÅC TRONG HœNH HÅC PHNG

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

Th¡i Nguy¶n - 2019

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

L¶ Ph÷ìng Th£o

MËT SÈ B€I TON SÈ HÅC TRONG HœNH HÅC PHNG

Chuy¶n ng nh: Ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p

M¢ sè: 8460113

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc:

PGS.TS NGUY™N VI›T HƒI

Th¡i Nguy¶n - 2019

Líi c£m ìn

º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn ÷ñc

sü h÷îng d¨n v  gióp ï nhi»t t¼nh cõa PGS.TS Nguy¹n Vi»t H£i, Gi£ng vi¶n cao c§p Tr÷íng ¤i håc H£i Pháng Tæi xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n th¦y v  xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa tæi èi vîi nhúng

i·u th¦y ¢ d nh cho tæi

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn pháng  o t¤o, Khoa To¡n Tin, quþ th¦y

cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K11 (2018 - 2020) Tr÷íng ¤i håc khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc

Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúng ng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v  t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n

Xin tr¥n trång c£m ìn!

H£i Pháng, th¡ng n«m 20

Ng÷íi vi¸t Luªn v«n

L¶ Ph÷ìng Th£o

Danh möc h¼nh

1.1 Tam gi¡c Pythagore: BC2 = AB2 + AC2 4

1.2 Tam gi¡c Heron [c, e, b + d], ÷íng cao a 8

1.3 Tam gi¡c Heron theo sü t«ng d¦n cõa c¤nh lîn nh§t 12

1.4 Tam gi¡c Pythagore cì b£n v  c¡c b¡n k½nh r, ra, rb, rc 13

1.5 T½nh ch§t c¡c cevian 19

2.1 Hai nghi»m l  tam gi¡c vuæng vîi m = 1 27

2.2 Hai nghi»m l  tam gi¡c tò vîi m = 2 29

2.3 Tam gi¡c c¤nh tü nhi¶n ngo¤i ti¸p ÷íng trán 31

3.1 Tù gi¡c húu t 42

3.2 Tù gi¡c húu t cõa Brahmagupta 44

3.3 ë d i 2 ÷íng ch²o, chu vi, di»n t½ch tù gi¡c 45

3.4 Düng tù gi¡c Brahmagupta tø tam gi¡c Heron 47

3.5 Hai ÷íng ch²o AB, BC ∈ P 52

3.6 (IMO 1968, #1), C¡ch gi£i thù ba 54

Danh möc b£ng

1.1 Tr½ch danh s¡ch c¡c tam gi¡c Heron cì b£n 11

1.2 Hå tam gi¡c Heron phö thuëc λ, vîi 10 gi¡ trà λ 23

2.1 Ba c¤nh l  c§p sè cëng 33

2.2 B i to¡n P2 = nS vîi n = 31 38

2.3 B i to¡n P2 = nS vîi n = 42 40

Möc löc

1.1 B i to¡n t¼m tam gi¡c Pythagore v  tam gi¡c Heron 4

1.1.1 C¡c bë ba Pythagore 4

1.1.2 C¡c tam gi¡c Heron 7

1.2 B i to¡n HG: Tam gi¡c Heron vîi r, ra, rb, rc ∈ N 10

1.3 Hå c¡c tam gi¡c Heron phö thuëc λ 18

2 Tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi h» thùc giúa S v  P 24 2.1 Tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi S = m.P, m ∈ N 24

2.1.1 Thuªt to¡n Goehl v  thuªt to¡n Markov 25

2.1.2 Hai tr÷íng hñp tham sè nguy¶n 32

2.2 Tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi P2 = nS, n ∈ N 35

2.2.1 Tr÷íng hñp n l  sè nguy¶n tè 36

2.2.2 Tr÷íng hñp n l  hñp sè 38

2.2.3 Tr÷íng hñp ri¶ng: Tam gi¡c Pythagore 39

3 Mët sè v§n · li¶n quan 41 3.1 Tù gi¡c câ c¤nh v  ÷íng ch²o húu t 41

3.2 X¡c ành c¡c y¸u tè cõa tù gi¡c Brahmagupta 45

3.3 Giîi thi»u mët sè b i to¡n thi Olympic 50

Giîi thi»u luªn v«n

1 Möc ½ch cõa · t i luªn v«n

Nhi·u b i to¡n, kh¡i ni»m trong h¼nh håc li¶n quan ¸n sè håc °c bi»t

câ nhúng b i to¡n ho n to n thuëc l¾nh vüc sè håc nh÷ bë ba Pythagore, tam gi¡c Heron, º gi£i quy¸t nhúng b i to¡n n y th÷íng ph£i gi£i ph÷ìng tr¼nh Diophantine, ph÷ìng tr¼nh Pythagore, ph÷ìng tr¼nh Pell, v  nhi·u ki¸n thùc s¥u v· sè nguy¶n tè nâi ri¶ng v  sè håc nâi chung · t i

n y tr¼nh b y nhi·u v§n · cõa sè håc ¡p döng v o h¼nh håc, mang l¤i nhúng k¸t qu£ s¥u s­c v· b i to¡n h¼nh håc gi£i b¬ng ki¸n thùc sè håc Möc ½ch cõa · t i l :

- Tr¼nh b y hai b i to¡n: t¼m c¡c tam gi¡c Pythagore, t¼m c¡c tam gi¡c Heron trong tr÷íng hñp têng qu¡t N¶u ra c¡c thuªt to¡n t¼m nghi»m cõa c¡c b i to¡n °t ra C¡c tr÷íng hñp ri¶ng x¡c ành tam gi¡c Heron: B i

th nh c§p sè cëng, l÷îi nguy¶n c¡c tam gi¡c Heron,

- Sû döng c¡c ki¸n thùc cõa sè håc nh÷: lþ thuy¸t chia h¸t, sü ph¥n t½ch mët sè tü nhi¶n th nh c¡c sè nguy¶n tè, gi£i ph÷ìng tr¼nh Diophantine, c¡c lªp luªn sè håc nâi chung, º nghi¶n cùu mët sè tr÷íng hñp ri¶ng quan trång cõa b i to¡n t¼m tam gi¡c c¤nh nguy¶n thäa m¢n mët trong

ba i·u ki»n sau

S = mP ; P2 = nS hay R/r = N ∈N

- N¶u ra c¡c b i to¡n li¶n quan v  c¡ch gi£i quy¸t chóng: Tù gi¡c húu t, tù gi¡c Brahmagupta; Bçi d÷ïng n«ng lüc d¤y c¡c chuy¶n · khâ ð tr÷íng THCS v  THPT gâp ph¦n  o t¤o håc sinh gi¡i mæn H¼nh håc

2 Nëi dung cõa · t i, nhúng v§n · c¦n gi£i quy¸t

Düa v o c¡c t i li»u [2], [3], [4], [6] luªn v«n tr¼nh b y mët sè b i to¡n hay v· tam gi¡c nguy¶n v  công l  nhúng b i to¡n khâ hay g°p trong c¡c ký thi håc sinh gi¡i To¡n trong n÷îc v  quèc t¸ Nëi dung luªn v«n chia l m 3 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 Tam gi¡c Pythagore v  tam gi¡c Heron

B i to¡n t¼m bë ba Pythagore l  b i to¡n sè håc quen thuëc, tuy nhi¶n khæng thº khæng nh­c l¤i c¡c k¸t qu£ ¢ câ trong nhi·u cæng tr¼nh Vi»c l m n y công coi l  bê sung c¡c ki¸n thùc cì b£n ¦u ti¶n cõa b i to¡n °t ra B i to¡n t¼m tam gi¡c Heron d¨n tîi nhi·u tr÷íng hñp ri¶ng thó và v  k¸t thóc ð mët k¸t qu£ têng qu¡t: Hå c¡c tam gi¡c Heron phö thuëc tham sè Ch÷ìng n y bao gçm:

1.1 B i to¡n t¼m tam gi¡c Pythagore v  tam gi¡c Heron

Nëi dung ch÷ìng n y · cªp ¸n hai b i to¡n v· t¼m tam gi¡c c¤nh

döng gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh Diophantine d¤ng °c bi»t d¨n tîi c¡c thuªt to¡n gi£i b i to¡n b¬ng c¡c ph¦n m·m tin håc Ch÷ìng n y bao gçm c¡c möc sau:

Ch÷ìng 3 Mët sè v§n · li¶n quan

Ch÷ìng 3 x²t b i to¡n tam gi¡c nguy¶n mð rëng cho tù gi¡c húu t vîi ph÷ìng ph¡p ti¸p cªn t÷ìng tü 2 ch÷ìng 1 v  2 Ph²p düng tù gi¡c húu

t nëi ti¸p ÷íng trán (tù gi¡c Brahmagupta) ÷ñc gi£i quy¸t trån vµn Ð

¥y công tr¼nh b y mët v i b i to¡n h¼nh håc câ nëi dung sè håc ¢ g°p trong c¡c ký thi håc sinh gi¡i, thi Olympic c¡c n÷îc

Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc chia th nh 3 ph¦n:

3.1 Tù gi¡c câ c¤nh v  ÷íng ch²o húu t

3.2 X¡c ành c¡c y¸u tè cõa tù gi¡c Brahmagupta

3.3 Giîi thi»u mët sè b i to¡n thi Olympic

Ch֓ng 1

Tam gi¡c Pythagore v  tam gi¡c

Heron

1.1 B i to¡n t¼m tam gi¡c Pythagore v  tam gi¡c

Heron 1.1.1 C¡c bë ba Pythagore

Trong h¼nh håc câ mët ành lþ quan trång v  quen thuëc: ành lþ Pythagore Nëi dung cõa ành lþ l  "trong mët tam gi¡c vuæng b¼nh ph÷ìng c¤nh huy·n b¬ng têng b¼nh ph÷ìng hai c¤nh gâc vuæng", h¼nh 1.1

H¼nh 1.1: Tam gi¡c Pythagore: BC 2 = AB 2 + AC 2

tr¼nh n y gåi l  bë ba Pythagore.

Trong sè håc, tªp hñp c¡c sè nguy¶n tè câ thº ÷ñc xem l  mët bë gen

ho n ch¿nh dòng º x¥y düng to n bë c¡c sè tü nhi¶n Gièng nh÷ méi con ng÷íi câ nhúng °c iºm ri¶ng bi»t do chóng ta câ nhúng bë gen kh¡c nhau, c¡c sè công vªy méi con sè kh¡c nhau sð húu mët bë gen kh¡c nhau V¼ 12 = 2.2.3 = 22.3 ta câ thº nâi sè 12 câ hai gen sè 2 v  mët gen sè 3,

gen sè 5

tè nh÷ sau

n = pα1

2 pαk

k

th¼ ta nâi n câ α1 gen p1, α2 gen p2, , αk gen pk

Ta nh­c l¤i mët t½nh ch§t sè håc, câ thº °t t¶n l  t½nh "t¡ch ÷ñc":n¸u

a.b = A2 (sè ch½nh ph÷ìng), a, b ∈N th¼ a v b ph£i câ d¤ng a = u2·w, b =

v2.w vîi u, v, w ∈ N Câ thº gi£i th½ch nh÷ sau: n¸u sè l÷ñng gen p trong

th¼ z + y = u2w, z − y = v2w v  x = uvw Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh













x = uvw

y = u

w 2

z = u

2

(2m+1)

s, z = u2 + v2
s

Khi u + v v  u − v l  c¡c sè ch®n th¼ ta °t u = v + 2k, suy ra











x = (v + 2k)vw = v2 + 2kv
w

y = 2kv + 2k2
w

z = v2 + 2kv + 2k2
w

vi¸t l¤i th nh

x = (x + k)2 − k2

w, y = 2(v + k)kw, z = (v + k)2 + k2w

Trong c£ hai tr÷íng hñp tr¶n ta câ nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh Pythagore l :







x = c.(2ab)

y = c a2 − b2

, a, b, c ∈ N, a > b

z = c a2 + b2

Ph÷ìng tr¼nh Pythagore câ væ sè nghi»m phö thuëc 3 tham sè Tuy

khæng câ nghi»m nguy¶n kh¡c 0

Vîi c = 1 ta câ bë ba Pythagore x = 2ab, y = a2 − b2, z = a2 + b2

do Euclide t¼m ra (kho£ng 300 n«m tr÷îc Cæng nguy¶n) Bë ba n y l  v½ dö v· mët bë ba Pythagore cì b£n (c¡c canh t÷ìng ùng cõa chóng l 

a = 2mn, b = m2 − n2, c = m2 + n2 trong â m, n l  nguy¶n tè còng nhau, ch¿ câ mæt sè l´) Ta câ c¡c t½nh ch§t sau cõa bë ba Pythagore cì b£n (a, b, c) (xem trong [1]):

bë ba Pythagore cì b£n m  c¤nh huy·n (ho°c c¤nh gâc vuæng) l  ch½nh ph÷ìng Têng cõa c¤nh huy·n v  c¤nh gâc vuæng ch®n cõa bë ba Pythagore

cì b£n luæn l  sè ch½nh ph÷ìng

(iii) Di»n t½ch



S = ab 2



(v) Trong 4 sè a, b, a + b, b − a câ óng mët sè chia h¸t cho 7; trong 4

sè a + c, b + c, c − a, c − b câ óng mët sè chia h¸t cho 8 (cho 9); trong 6

sè a, b, 2a + b, 2a − b, 2b + a, 2b − a câ óng mët sè chia h¸t cho 11 1.1.2 C¡c tam gi¡c Heron

Câ mët sè c¡ch x¡c ành kh¡i ni»m "tam gi¡c Heron" Trong · t i n y

ta chån c¡ch x¡c ành sau:

v  di»n t½ch S cõa nâ l  c¡c sè tü nhi¶n

Heron câ thº cho k¸t qu£ c¤nh v  di»n t½ch l  sè húu t, b¬ng c¡ch nh¥n t§t c£ vîi bëi sè chung nhä nh§t cõa m¨u ta v¨n ÷ñc nghi»m tü nhi¶n

tam gi¡c Heron (nguy¶n) v  ng÷ñc l¤i Vi»c t¼m c¡c cæng thùc cho tam gi¡c Heron cì b£n b¬ng h¼nh håc thu¦n tóy g°p nhi·u khâ kh«n Tuy nhi¶n b¬ng c¡ch sû döng "lþ thuy¸t sè" ta khæng nhúng tr¡nh ÷ñc nhúng khâ kh«n â m  cán t¼m ÷ñc c¡c cæng thùc biºu di¹n ìn gi£n

Tam gi¡c Heron ÷ñc °t theo t¶n cõa nh  to¡n håc Hy L¤p "Heron of Alexandria" v¼ nâ câ li¶n quan ¸n cæng thùc t½nh di»n t½ch

S =

q

s(s − a)(s − b)(s − c), vîi s = a + b + c

2

Vîi c¡ch x¡c ành nh÷ vªy ta ph¡t biºu v  chùng minh mët sè t½nh ch§t cõa tam gi¡c Heron, câ tham kh£o v  h» thèng trong [3]

T½nh ch§t 1.1.1 B§t k¼ mët tam gi¡c n o câ ë d i ba c¤nh t¤o th nh

Chùng minh V¼ bë ba sè Pythagore l  c¡c sè tü nhi¶n v  di»n t½ch cõa nâ b¬ng mët nûa t½ch hai c¤nh gâc vuæng, trong â 1 c¤nh gâc vuæng ph£i l 

sè ch®n

Mët v½ dö cho mët tam gi¡c Heron khæng ph£i l  tam gi¡c vuæng l 

b¬ng c¡ch gh²p hai tam gi¡c câ ë d i ba c¤nh l  3, 4, 5 dåc theo c¤nh câ

ë d i b¬ng 4 Ph÷ìng ph¡p têng qu¡t cho c¡ch l m n y ÷ñc minh håa

ð h¼nh 1.2: L§y mët tam gi¡c vîi ë d i ba c¤nh l  mët bë ba Pythagore

a, b, c (c l  sè lîn nh§t); mët tam gi¡c kh¡c câ ë d i ba c¤nh l  mët bë

câ ë d i l  a º ÷ñc mët tam gi¡c câ ë d i ba c¤nh l  c¡c sè tü nhi¶n

c, e, b + d, v  câ di»n t½ch l  mët sè húu t: S = 1

2(b + d) · a (mët nûa c¤nh ¡y nh¥n vîi chi·u cao) Mët c¥u häi thó và °t ra l  li»u t§t c£ c¡c

H¼nh 1.2: Tam gi¡c Heron [c, e, b + d], ÷íng cao a

tam gi¡c Heron ·u câ thº ÷ñc t¤o ra b¬ng c¡ch gh²p hai tam gi¡c vuæng (vîi ë d i c¡c c¤nh l  c¡c sè tü nhi¶n (bë ba Pythagore)) nh÷ tr¼nh b y

ð tr¶n khæng? C¥u tr£ líi l  khæng N¸u ta l§y mët tam gi¡c Heron vîi

ë d i ba c¤nh l  0, 5; 0, 5 v  0, 6 th¼ rã r ng nâ khæng thº ÷ñc gh²p tø hai tam gi¡c vîi ë d i ba c¤nh ·u tü nhi¶n Ho°c mët v½ dö kh¡c t÷íng minh hìn, l  l§y mët tam gi¡c vîi ë d i c¡c c¤nh 5, 29, 30 vîi di»n t½ch

72, th¼ s³ khæng câ ÷íng cao n o cõa nâ l  mët sè tü nhi¶n

T½nh ch§t 1.1.2 Câ thº chia mët tam gi¡c Heron th nh hai tam gi¡c vuæng m  ë d i c¡c c¤nh cõa chóng t¤o th nh nhúng bë ba Pythagore húu

t¿ (3 c¤nh l  c¡c sè húu t thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh Pythagore).

l  lîn nh§t, khi â ÷íng vuæng gâc h¤ tø ¿nh èi di»n xuèng c¤nh n y

2(b + d)ad Rót a ta ÷ñc a = 2S

b + d

b2 − d2 = c2 − e2

⇔(b − d)(b + d) = c2 − e2

⇔b − d = c

b + d

(b + d) + (b − d) l  húu t¿ Hay 2b l  húu t¿ Suy ra b húu t¿ v  d công ph£i

l  sè húu t¿

T½nh ch§t 1.1.3 B i to¡n t¼m c¡c tam gi¡c Heron t÷ìng ÷ìng vîi b i

S2 = s(s − a)(s − b)(s − c)

Cæng thùc têng qu¡t c¡c tam gi¡c Heron ¢ ÷ñc cæng bè bði Brah-magupta v  Carmichael n«m 1952 (theo Dickson 2005, p 193), â l 

a = n m2 + k2
(1.1)

b = m n2 + k2
(1.2)

c = (m + n) m.n − k2
(1.3)

S = kmn(m + n) mn − k (1.5)

(m, n, k) = 1, m.n > k2 ≥ m

(2m + n) v  m ≤ n ≤ 1

Theo â ta câ thº li»t k¶ mët sè tam gi¡c Heron s­p x¸p theo sü t«ng cõa c¤nh lîn nh§t trong tam gi¡c:

(3, 4, 5), (5, 5, 6), (5, 5, 8), (6, 8, 10), (10, 10, 12), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (4, 13, 15), (13, 14, 15), (10, 13, 13), (10, 10, 16),

V½ dö 1.1.1 Tr½ch danh s¡ch c¡c tam gi¡c Heron cì b£n x¸p theo di»n t½ch t«ng d¦n, n¸u còng di»n t½ch th¼ x¸p theo chu vi t«ng d¦n

N«m 1994, trong Mathmatical Notes, Vol 55, N0 2, S Sh Kozhegel'dinov (Nga) ¢ cæng bè k¸t qu£ b i to¡n t¼m c¡c tam gi¡c Heron cì b£n vîi 6 kiºu biºu di¹n kh¡c nhau v  vi»c t¼m tam gi¡c Heron cì b£n ÷ñc coi l 

ho n th nh Sau ¥y ta x²t mët sè b i to¡n t¼m tam gi¡c Heron k±m theo mët sè i·u ki»n °c bi»t

hñp tr¡i l¤i tam gi¡c ÷ñc gåi l  ph¥n t½ch ÷ñc, tùc l  ½t nh§t 1 ÷íng cao l  sè tü nhi¶n Ti¸p theo ta kþ hi»u t¥m c¡c ÷íng trán nëi ti¸p v 

Di»n t½ch TG Chu vi TG ë d i b + d ë d i e ë d i c

B£ng 1.1: Tr½ch danh s¡ch c¡c tam gi¡c Heron cì b£n

H¼nh 1.3: Tam gi¡c Heron theo sü t«ng d¦n cõa c¤nh lîn nh§t

ti¸p cõa tam gi¡c

Gi£i ¦y õ v  ÷a ra thuªt to¡n t¼m h¸t c¡c nghi»m cõa b i to¡n HG

l  cæng vi»c khæng ìn gi£n Chóng tæi ch¿ døng l¤i ð vi»c ÷a ra k¸t luªn t÷íng minh trong mët sè tr÷íng hñp cö thº

2(a + b + c) ∈ N v  di»n t½ch S =

1

ùng Trong méi bë ba Pythagore cì b£n b¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p v  3 b¡n k½nh cõa ba ÷íng trán b ng ti¸p l  sè tü nhi¶n, h¼nh 1.4 Ng÷ñc l¤i

th¼ d¹ th§y ba sè a,b,c l  sè tü nhi¶n v¼

a = r + ra = rc − rb ∈ N

b = r + rb = rc − ra ∈ N