Luận văn thạc sĩ toán học từ bài toán quy hoạch toàn phương đến bất đẳng thức biến phân affine

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ SIM TỪ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠ[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ SIM

TỪ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017

NGUYỄN THỊ SIM

TỪ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - 2017

Mục lục

1.1 Tập lồi 4

1.1.1 Tập affine và bao affine 4

1.1.2 Tập lồi, nón lồi và bao lồi 6

1.1.3 Điểm cực biên, phương lùi xa, nón lùi xa và phương cực biên 8

1.1.4 Các định lý tách tập lồi 8

1.1.5 Tập lồi đa diện 9

1.1.6 Hàm lồi và tính chất 10

1.2 Hàm toàn phương 12

1.2.1 Ma trận xác định dương và ma trận nửa xác định dương 12

1.2.2 Hàm toàn phương 13

2 Bài toán quy hoạch toàn phương 15 2.1 Giới thiệu bài toán và sự tồn tại nghiệm 15

2.1.1 Định nghĩa bài toán quy hoạch toàn phương 15

2.1.2 Các dạng bài toán quy hoạch toàn phương 17

2.1.3 Điều kiện tồn tại nghiệm 17

2.2 Điều kiện tối ưu (Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (KKT)) 29 3 Bài toán bất đẳng thức biến phân affine 31 3.1 Giới thiệu bài toán 31

toán bất đẳng thức biến phân affine 40

Bảng ký hiệu

R tập số thực

hx, yi tích vô hướng của hai vectơ x và y kxk chuẩn của vectơ x

I ánh xạ đơn vị

A⊆ Rn

A là tập con trong Rn dim A số chiều của tập A

a f f E bao affine của E

cone E bao nón sinh bởi E

coA bao lồi của tập A

Lời nói đầu

Bài toán quy hoạch toàn phương lồi là một lớp bài toán quan trọng về tối ưu vì bài toán này có rất nhiều ứng dụng trong thực tế

Bài toán bất đẳng thức biến phân cũng là một lớp bài toán quan trọng Một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hay được xét là bài toán bất đẳng thức biến phân affine Có thể nói bài toán bất đẳng thức biến phân affine là một dạng tổng quát của bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc lồi Trong luận văn này xét đến mối quan hệ giữa bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc lồi với bài toán bất đẳng thức biến phân Ta nhận thấy

là bài toán quy hoạch toàn phương lồi có thể mô tả dưới một bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Tuy nhiên, không phải mọi bài toán bất đẳng thức biến phân affine đều sinh ra từ bài toán quy hoạch toàn phương Qua đây ta thấy sự phát triển từ bài toán quy hoạch toàn phương đến bất đẳng thức biến phân affine

Cụ thể trong luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày một số kiến thức cơ bản nhất

về tập lồi, hàm lồi và hàm toàn phương như: tập affine và bao affine; tập lồi, nón lồi và bao lồi; điểm cực biên, phương lùi xa, nón lùi xa và phương cực biên; các định lý tách tập lồi; tập lồi đa diện; hàm lồi và các tính chất; hàm toàn phương

Chương 2: Bài toán quy hoạch toàn phương Trình bày định nghĩa bài

toán quy hoạch toàn phương, các dạng bài toán, điều kiện tồn tại nghiệm và điều kiện tối ưu của bài toán quy hoạch toàn phương

Chương 3: Bài toán bất đẳng thức biến phân affine Giới thiệu về bài

toán bất đẳng thức biến phân affine, điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine và phương pháp giải bài toán quy hoạch toàn phương bằng cách đưa về bài toán bất đẳng thức biến phân affine

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Lê Dũng Mưu Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn

Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác và nghiên cứu của bản thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K9Y (khóa 2015–2017); Nhà trường và các phòng chức năng của Trường; Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K9Y (khóa 2015–2017) đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập, nghiên cứu

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu

Thái Nguyên, ngày 05 tháng 9 năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Sim

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản nhất về tập lồi, hàm lồi, hàm toàn phương Cụ thể: Mục 1.1 giới thiệu khái niệm tập lồi, hàm lồi Mục 1.2 trình bày định nghĩa hàm toàn phương Các kiến thức của chương này được viết trên cơ sở tổng hợp từ các tài liệu [1], [2] và [3]

1.1 Tập lồi

Cho x1, x2 là hai điểm trong Rn Đường thẳng đi qua x1, x2 là tập tất cả các điểm x ∈ Rncó dạng x = (1 − λ ) x1+ λ x2= x1+ λ x2− x1
với λ ∈ R

nếu

(1 − λ ) x + λ y ∈ A ∀x, y ∈ A ∀λ ∈ R

Nhận xét 1.1.1 Nếu A là tập affine, thì với

a∈ Rn, A + a = {x + a : x ∈ A}

là tập affine

chứa 0 Nghĩa là, nếu x, y ∈ M thì mọi điểm λ x + µy cũng thuộc M với

λ , µ ∈ R

Định lý 1.1.1 Mỗi tập affine A không rỗng là một tập affine khi và chỉ khi

A= a + L trong đó a ∈ A và L là một không gian con.

Chứng minh.

Giả sử A là một tập affine và a ∈ A Khi đó, A = a + L với L = −a + A

Do −a ∈ Rn nên L = −a + A cũng là một tập affine Hơn nữa, 0 ∈ L (vì

a∈ A) nên L là một không gian con Ngược lại, giả sử A = a + L với a ∈ A

và L là một không gian con Do không gian con L là một tập affine nên

A= a + L cũng là một tập affine

Không gian con L nói trên được gọi là không gian con song song với tập affine A: A//M Nó được xác định một cách duy nhất 

Định nghĩa 1.1.2 Chiều (thứ nguyên) của một tập affine A không rỗng

được định nghĩa là chiều của không gian con song song với nó Kí hiệu dimA

Chú ý 1.1.1 Quy ước: dim∅ = −1.

Giả sử L là một không gian con trong Rn, phần bù trực giao của L được xác định như sau: L⊥= {x ∈ Rn: x⊥y, ∀y ∈ L}, trong đó x⊥y ⇔ (x, y) = 0 Khi đó, tập L⊥cũng là một không gian con và dim L + dim L⊥= n, L⊥
⊥= L

phẳng

H = {x ∈ Rn: hx, bi = β }

là một siêu phẳng trong Rn Hơn nữa, mọi siêu phẳng đều có thể biểu diễn duy nhất bằng cách này.

xi ∈ Rn và λ1+ λ2+ + λk = 1 gọi là một tổ hợp affine của các điểm

x1, x2, , xk

A là một tập affine khi và chỉ khi A chứa mọi tổ hợp affine các phần tử

thuộc nó Giao của một họ bất kì các tập affine cũng là một tập affine Cho

E là một tập bất kì trong Rn, có ít nhất một tập affine chứa E, cụ thể là Rn

∃λ1, , λm ∈ R,∑

i=1

λi= 1 : x = ∑

i=1

λixi

nếu a f f {b0, b1, , bm} là m chiều

độc lập tuyến tính

Thật vậy,

a f f {b0, b1, , bm} = L + b0 trong đó, L = a f f {0, b1− b0, , bm− b0}

Do đó, dim L = m ⇔ b1− b0, b2− b0, , bm− b0 độc lập tuyến tính

Cho hai điểm x1, x2∈ Rn Đoạn nối x1, x2 được định nghĩa như sau:

x1; x2 = x ∈ A : x = λ x1+ (1 − λ ) x2, 0 6 λ 6 1

∀x1, x2∈ C ∀λ ∈ R : 0 6 λ 6 1 thì λ x1+ (1 − λ ) x2 ∈ C

Nói cách khác, nếu C chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó

đều là các tập lồi

Trong R3 các hình cầu, khối lăng trụ tam giác, khối chóp tứ giác là các tập lồi

Các nửa không gian, hình cầu đơn vị trong không gian Banach là các tập lồi

Một số hình vẽ về tập lồi, tập không lồi trong R2 (xem Hình 1.1)