Luận văn thạc sĩ toán học một phương pháp qui hoạch lồi giải bài toán chấp nhận lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ NGỌC BÍCH MỘT PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH LỒI GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHO[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ THỊ NGỌC BÍCH

MỘT PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH LỒI GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ THỊ NGỌC BÍCH

MỘT PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH LỒI GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH Lê Dũng Mưu

Thái Nguyên - 2018

Mục lục

1.1 Tập lồi, hàm lồi 3

1.1.1 Tập lồi 3

1.1.2 Hàm lồi 10

1.2 Bài toán qui hoạch lồi 16

Chương 2 Một phương pháp qui hoạch lồi giải bài toán chấp nhận lồi 24 2.1 Bài toán chấp nhận lồi và ví dụ 24

2.1.1 Bài toán chấp nhận lồi 24

2.1.2 Ví dụ 25

2.2 Một phương pháp qui hoạch lồi giải bài toán chấp nhận lồi 25

2.2.1 Tóm tắt hai phương pháp cơ bản: chiếu lần lượt và chiếu song song 25

2.2.2 Thuật toán đạo hàm giải bài toán qui hoạch lồi 29

2.2.3 Phương pháp chuyển về bài toán qui hoạch lồi 32

Mở đầu

Tối ưu hóa được khởi nguồn như một ngành của Toán học, có rất nhiều ứng dụng trong quy hoạch tài nguyên, thiết kế chế tạo máy, điều khiển tự động, quản trị kinh doanh trong việc tạo nên các hệ hỗ trợ ra quyết định trong quản lý và phát triển các

hệ thống lớn

Chính vì vậy, các lĩnh vực của tối ưu hóa ngày càng trở nên đa dạng mang nhiều tên gọi khác nhau như Quy hoạch toán học, Điều khiển tối ưu, Vận trù học, Lý thuyết trò chơi Hiện nay môn học Tối ưu hóa được đưa vào giảng dạy trong nhiều chương trình đào tạo đại học cho các ngành khoa học cơ bản Một trong những bài toán quan trọng của Tối ưu hóa là bài toán qui hoạch lồi

Nhiều bài toán quan trọng trong lĩnh vực toán học hoặc trong thực tế có thể chuyển về bài toán qui hoạch lồi (tìm cực tiểu của một hàm lồi trên một tập lồi) Đối với lớp bài toán này có nhiều phương pháp giải hiệu quả, ví dụ như phương pháp đạo hàm, phương pháp dưới đạo hàm, phương pháp điểm trong, Bài toán chấp nhận lồi là bài toán tìm một điểm chung của một số hữu hạn hoặc vô hạn các tập lồi Bài toán này rất quan trọng vì nhiều bài toán trong toán học cũng như trong các lĩnh vực thực tế khác đều có thể chuyển về bài toán chấp nhận lồi Ví dụ như bài toán giải hệ phương trình, bài toán tìm nghiệm chung của các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân,

Chính vì vậy chúng tôi chọn đề tài: "Một phương pháp qui hoạch lồi giải bài toán chấp nhận lồi" Luận văn nghiên cứu về bài toán chấp nhận lồi và giới thiệu một vài phương pháp giải bài toán này, đặc biệt đi sâu vào phương pháp chuyển bài toán chấp nhận lồi về qui hoạch lồi Nội dung luận văn gồm hai chương:

Chương 1 "Bài toán qui hoạch lồi” giới thiệu các kiến thức cơ bản nhất về giải

tích lồi và bài toán qui hoạch lồi

Chương 2 "Một phương pháp qui hoạch lồi giải bài toán chấp nhận lồi" giới

thiệu phương pháp chiếu lần lượt và chiếu song song, thuật toán đạo hàm để giải bài toán qui hoạch lồi Cuối chương, đề cập đến một phương pháp giải bài toán chấp nhận lồi

Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các giáo sư, phó giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, Đại học Thăng Long, các thầy cô trong trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, tôi đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo, khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại trường Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn

Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018

Học viên

Vũ Thị Ngọc Bích

Chương 1

Bài toán qui hoạch lồi

Chương này trình bày một số kiến thức của giải tích lồi như tập lồi, hàm lồi, bài toán qui hoạch lồi, đây là những kiến thức nền tảng, cần thiết phục vụ cho việc nghiên cứu và giải quyết đề tài Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [1], [2] và [3]

1.1 Tập lồi, hàm lồi

1.1.1 Tập lồi

điểm avà b là tập tất cả các điểm x trong Rn có dạng

x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ R

Đoạn thẳng nối hai điểm a, blà tập hợp các điểm có dạng

x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1]

thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó Tức là C lồi khi và chỉ khi

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C

Ta nói x là tổ hợp lồi các điểm (vectơ) x1, x2, , xk nếu

x =

k

X

j=1

λjxj, λj > 0, ∀j = 1, , k,

k

X

j=1

λj = 1

Định nghĩa 1.3 Một tập D được gọi là tập affine nếu D chứa mọi đường thẳng đi

qua hai điểm bất kỳ x, y ∈ D, tức là

∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ Rn ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ D

Mệnh đề 1.1 Tập hợp C là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm

của nó Tức là: C lồi khi và chỉ khi

∀k ∈ N, ∀λ1, , λk > 0 :

k

X

j=1

λj = 1, ∀x1, , xk ∈ C ⇒

k

X

j=1

λjxj ∈ C

Chứng minh. Điều kiện đủ là hiển nhiên từ định nghĩa Ta chứng minh điều kiện cần bằng quy nạp theo số điểm Với k = 2, điều cần chứng minh suy ra ngay từ định nghĩa của tập lồi và tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề đúng với k − 1 điểm Ta cần chứng minh đúng với k điểm

Giả sử x là tổ hợp lồi của k điểm x1, , xk ∈ C Tức là

x =

k

X

j=1

λjxj, λj > 0, ∀j = 1, , k,

k

X

j=1

λj = 1

Đặt

ξ =

k−1

X

j=1

λj

Khi đó 0 < ξ < 1 và

x =

k−1

X

j=1

λjxj+ λkxk = ξ

k−1

X

j=1

λj

ξ x

j + λkxk

Do

k−1

X

j=1

λj

ξ = 1

và λj

ξ > 0với mọi ∀j = 1, , k − 1 nên theo giả thiết quy nạp, điểm

y :=

k−1

X

j=1

λj

ξ x

j ∈ C

Ta có

x = ξy + λkxk

Do ξ > 0, λk > 0và

ξ + λk =

k

X

j=1

λj = 1

nên x là một tổ hợp lồi của hai điểm y và xk đều thuộc C Vậy x ∈ C

, C là lồi trong Rm, thì các tập sau

là lồi :

A ∩ B := {x | x ∈ A, x ∈ B};

αA + βB := {x | x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R};

A × C := {x ∈ Rn+m | x = (a, c), a ∈ A, c ∈ C}

Mệnh đề 1.3 D 6= ∅ là tập affine khi và chỉ khi nó có dạng D = M + a với M là

không gian con của Rn và a ∈ Rn Không gian M được xác định duy nhất và được gọi là không gian con song song của D.

{x ∈ Rn | aTx = α}, trong đó a ∈ Rn là một vectơ pháp tuyến của siêu phẳng Một siêu phẳng sẽ chia không gian thành hai nửa không gian

Định nghĩa 1.5 Nửa không gian là một tập hợp có dạng

{x | aTx ≥ α},

trong đó a 6= 0 và α ∈ R Đây là nửa không gian đóng Tập

{x | aTx > α}

là nửa không gian mở.

6 Như vậy một siêu phẳng chia không gian thành hai nửa không gian, mỗi nửa không gian ở về một phía của siêu phẳng Nếu hai nửa không gian này là đóng thì phần chung của chúng chính là siêu phẳng đó

k (hoặc nói ngắn gọn là k-đơn hình) nếu S là tổ hợp lồi của k + 1 vectơ độc lập affine Các vectơ này gọi là đỉnh của đơn hình.

Ví dụ, một tam giác trong không gian 3 chiều là 2-đơn hình Tập hợp

Sk :=

(

x ∈ Rk | x ≥ 0,

k

X

j=1

xj ≤ 1

)

được gọi là đơn hình chuẩn tắc trong Rk

Định nghĩa 1.7 Một tập được gọi là tập lồi đa diện nếu nó là giao của một số hữu

hạn các nửa không gian đóng

Như vậy, theo định nghĩa, một tập lồi đa diện là tập nghiệm của một hệ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính Dạng tường minh của một tập lồi đa diện được cho như sau

D := {x ∈ Rn | j, x ≤ bj, j = 1, , m}

Hoặc nếu ta kí hiệu A là ma trận có m hàng là các vectơ aj, j = 1, , m và vectơ bT = (b1, , bm)thì hệ trên được viết là

D = {x ∈ Rn | Ax ≤ b}

Chú ý rằng do một phương trình

ha, xi = b

có thể viết lại một cách tương đương dưới dạng hai bất phương trình

ha, xi ≤ b, h−a, xi ≤ b nên tập nghiệm của một hệ hữu hạn các phương trình và bất phương trình là một tập lồi đa diện

Định nghĩa 1.8 Bao lồi của một tập D là giao của tất cả các tập lồi chứa D Bao lồi

của tập D được ký hiệu là coD

Bao lồi của một tập D là tập lồi nhỏ nhất chứa D

Định nghĩa 1.9 Một điểm a của một tập lồi D gọi là điểm trong tương đối nếu với

mọi x ∈ D đều có một số λ > 0 sao cho a + λ(x − a) ∈ D Tập các điểm trong tương đối của D ký hiệu là riD

Định nghĩa 1.10 Một tập D được gọi là nón nếu

∀λ > 0, ∀x ∈ D ⇒ λx ∈ D

Một nón gọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng Một nón được gọi là nón

lồinếu nó đồng thời là tập lồi Nếu nón lồi này lại là một tập lồi đa diện thì ta nói nó

là nón lồi đa diện.

Hình 1.1: Nón lồi và nón không lồi

(i) Tập ND(x0) := {ω ∈ Rn : 0 ≤ 0, ∀x ∈ D}gọi là nón pháp tuyến

ngoài của D tại x0 và tập −ND(x0) được gọi là nón pháp tuyến trong của D

tại x0 (ii) Tập N

D(x0) := {ω ∈ Rn : 0 ≤ , ∀x ∈ D} được gọi là nón pháp

tuyến của D tại x0