Luận văn thạc sĩ toán học một phương pháp lặp xoay vòng giải một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  VŨ MINH ĐỨC MỘT PHƢƠNG PHÁP LẶP XOAY VÒNG GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI H[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

VŨ MINH ĐỨC

MỘT PHƯƠNG PHÁP LẶP XOAY VÒNG GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

VŨ MINH ĐỨC

MỘT PHƯƠNG PHÁP LẶP XOAY VÒNG GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Trương Minh Tuyên

THÁI NGUYÊN - 2019

Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trương Minh Tuyên, thầy đã tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, cùng các thầy, cô giáo trong khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo và các đồng nghiệp của Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Tiền Hải, tỉnh Thái Bình Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động viện, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Mục lục

1.1 Một số đặc trưng của không gian Hilbert 3

1.2 Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn 10

1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển 13

1.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 16

1.5 Một số bổ đề bổ trợ 19

Chương 2 Phương pháp lặp xoay vòng giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn 21 2.1 Phát biểu bài toán 21

2.2 Phương pháp lặp giải Bài toán (2.5) 25

2.3 Một số ứng dụng 35

2.3.1 Điểm bất động chung của các ánh xạ không giãn 35

2.3.2 Điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn 37

2.3.3 Không điểm chung của các toán tử đơn điệu 41

2.4 Ví dụ số minh họa 44

Một số ký hiệu và viết tắt

Mở đầu

Bài toán "Bất đẳng thức biến phân" được nảy sinh trong quá trình nghiên cứu và giải các bài toán thực tế như bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính, bài toán mạng giao thông, lý thuyết trò chơi, phương trình vật lý toán Bài toán này được giới thiệu lần đầu tiên bởi Hartman và Stampacchia vào năm 1966 trong tài liệu [6] Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều, cũng như vô hạn chiều cùng với các ứng dụng của nó được giới thiệu khá chi tiết trong cuốn sách “An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications” của D Kinderlehrer và G Stampacchia xuất bản năm 1980 [8]

Từ đó, bài toán bất đẳng thức biên phân được nghiên cứu và phát triển mạnh

mẽ, thu hút sự được sự quan tâm của nhiều người làm toán trong và ngoài nước Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thức biến phân là việc xây dựng các phương pháp giải Có nhiều phương pháp giải đã được

đề xuất như phương pháp gradient, gradient tăng cường hay phương pháp điểm bất động, phương pháp đường dốc nhất

Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau: Tìm một phần tử

trong đó F là một ánh xạ liên tục từ không gian Hilbert H vào chính nó và ta

ký hiệu bài toán này là VI(C, F ) Bài toán này có ý nghĩa quan trọng trong việc giải bài toán tối ưu lồi có ràng buộc và một trường hợp đặc biệt là bài toán chấp nhận lồi nổi tiếng Ta xem mỗi tập C là tập điểm bất động của phép chiếu mêtric

phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn Ngoài ra, nó cũng đã được nghiên cứu và mở rộng thành bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn hay vô hạn đếm được hay không đếm được

ánh xạ không giãn.

Năm 2001, Yamada [17] đã giới thiệu phương pháp đường dốc nhất lai ghép giải bài toán (0.1), trong đó F : H −→ H là một toán tử Lipschitz, đơn điệu mạnh và C là tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn

các ánh xạ không giãn chỉ được biết ở dạng gần đúng (có nhiễu), hay nói cách khác mỗi ánh xạ không giãn được thay bởi một dãy ánh xạ nhiễu, thì ánh xạ không giãn ban đầu sẽ được thay bằng dãy ánh xạ gần không giãn Do đó chủ

đề bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của các dãy ánh xạ gần không giãn đã và đang thu hút nhiều người làm toán trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

Mục đích của luận văn là giới thiệu một số kết quả về bài toán tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn trong không gian Hilbert H Luận văn bao gồm 2 chương: Chương 1 nhắc lại một số tính chất đặc trưng của không gian Hilbert, bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn, bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển, cùng với một số bài toán liên quan Chương 2 trình bày lại kết quả của các tác giả T.M Tuyen [16] cho bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được ánh xạ gần không giãn trong không gian Hilbert thực H Ngoài ra, Chương 2 của luận văn cũng đề cập đến một số ứng dụng của Định lý (Định lý 2.4) chính cho các bài toán liên quan, cùng với đó là hai ví dụ số minh họa thêm cho tính đúng đắn của phương pháp

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này bao gồm năm mục chính Mục 1.1 đề cập đến một số đặc trưng

cơ bản của không gian Hilbert thực Mục 1.2 giới thiệu sơ lược một số kết quả

về bài toán tìm điển bất động của ánh xạ không giãn Mục 1.3 và 1.4 đề cập đến bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển và bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert Mục 1.5 giới thiệu một số bổ đề bổ trợ cần sử dụng trong Chương 2 của luận văn Nội dung của chương này phần lớn được tham khảo từ các tài liệu [1], [2] và [8]

1.1 Một số đặc trưng của không gian Hilbert

Ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng được kí hiệu

là h., i và chuẩn được kí hiệu là k.k

Mệnh đề 1.1 Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau

với mọi x, y, z ∈ H

Chứng minh Thật vậy, ta có

= [hx, xi − 2hx, yi + hy, yi]

+ [hx, xi − 2hx, zi + hz, zi]

Vậy ta được điều phải chứng minh.

Mệnh đề 1.2 Cho H là một không gian Hilbert thực Khi đó, với mọi x, y ∈ H

và mọi λ ∈ [0, 1], ta có

Chứng minh Ta có

Ta được điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.3 Trong không gian Hilbert thực H, ta luôn có

với mọi x, y ∈ H

Chứng minh Với mọi x, y ∈ H, ta có

Mệnh đề được chứng minh

về phần tử x ∈ H, nếu

lim

vị trí thứ n

, 0, , 0, ),

X

n=1

|hen, yi|2 < kyk2 < ∞

Ta biết rằng mọi không gian Hilbert H đều thỏa mãn điều kiện của Opial, tính chất này được thể hiện trong mệnh đề dưới đây:

ta có

lim inf

Ta có

Vì x 6= y, nên

lim inf

= lim inf

n→∞ kxn − xk2

Do đó, ta nhận được

lim inf

Mệnh đề được chứng minh

Mệnh đề 1.5 Mọi không gian Hilbert thực H đều có tính chất Kadec-Klee, tức

Chứng minh Ta có

→ 0, n → ∞

Mệnh đề 1.6 Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực

Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf

Từ đẳng thức hình bình hành, ta có

lim

Ta có

∗+ y∗

= 0

Từ Mệnh đề 1.6, ta có mệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 1.7 Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực

sao cho

xác định như trên được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C

Ví dụ 1.1 Cho C = {x ∈ H : hx, ui = y}, với u 6= 0 Khi đó

Ví dụ 1.2 Cho C = {x ∈ H : kx − ak ≤ R}, trong đó a ∈ H là một phần tử cho trước và R là một số dương Khi đó, ta có:







x nếu kx − ak ≤ R,

là một phép chiếu mêtric

Mệnh đề 1.8 Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert

Điều này tương đương với

= α2ky − PCxk2+ kx − PCxk2− 2αhy − PCx, x − PCxi.

Từ đó, ta nhận được

Ngược lại, giả sử b) đúng Với mọi x ∈ H và mọi y ∈ C, ta có

Từ mệnh đề trên, ta có hệ quả dưới đây:

phép chiếu mêtric từ H lên C Khi đó, ta có các khẳng định sau:

a) với mọi x, y ∈ H, ta có

b) với mọi x ∈ H và y ∈ C, ta có

Chứng minh a) Với mọi x, y ∈ H, từ Mệnh đề 1.8, ta có

Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được điều phải chứng minh

b) Với mọi x ∈ H và y ∈ C, từ Mệnh đề 1.8, ta có

kx − yk2 = k(x − PCx) − (y − PCx)k2

Hệ quả được chứng minh

Mệnh đề 1.9 Nếu C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H, thì

C là tập đóng yếu

Chứng minh Trước hết, ta chỉ ra tồn tại một phần tử v ∈ H, v 6= 0 sao cho

sup

y∈C

với mọi y ∈ C Suy ra

với mọi y ∈ C Điều này tương đương với

với mọi y ∈ C Do đó

sup

y∈C

Bây giờ ta chỉ ra C là tập đóng yếu Giả sử ngược lại rằng C không là tập

C là tập lồi và đóng, nên theo chứng minh trên, ta có

hv, zi < hv, xi − ε,

hv, xni < hv, xi − ε,

với mọi n Cho n → ∞, ta nhận được

hv, xi ≤ hv, xi − ε, điều này là vô lý Do đó, C là tập đóng yếu

Chú ý 1.1 Nếu C là tập đóng yếu trong H thì hiển nhiên C là tập đóng

Từ định lý Banach-Alaoglu, ta có mệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 1.10 Mọi tập con bị chặn của H đều là tập compact tương đối yếu

1.2 Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn

Định nghĩa 1.2 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H Ánh xạ T : C −→ H được gọi là một ánh xạ không giãn, nếu với mọi x, y ∈ C, ta có

kT x − T yk ≤ kx − yk

Ta ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T là F ix(T ), tức là

F ix(T ) = {x ∈ C : T x = x}

Mệnh đề dưới đây cho ta mô tả về tính chất của tập điểm bất động F ix(T ) Mệnh đề 1.11 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H và T : C −→ H là một ánh xạ không giãn Khi đó, F ix(T ) là một tập lồi và đóng trong H

Chứng minh Giả sử F ix(T ) 6= ∅

Trước hết, ta chỉ ra F ix(T ) là tập đóng Thật vậy, vì T là ánh xạ không giãn

với mọi n ≥ 1 Từ tính liên tục của chuẩn, cho n → ∞, ta nhận được kT x − xk =

0, tức là x ∈ F ix(T ) Do đó, F ix(T ) là tập đóng

không giãn của T ta có

Suy ra T z = z và do đó z ∈ F ix(T ) Vậy F ix(T ) là một tập lồi

Mệnh đề 1.12 (Nguyên lý nửa đóng) Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H và T : C −→ C là một ánh xạ không giãn Khi

x ∈ F ix(T )

nên từ Mệnh đề 1.4, ta có

lim inf

≤ lim inf

≤ lim inf

Suy ra mâu thuẫn Do đó, x − T x = y Đặc biệt, nếu y = 0 thì x = T x hay

x ∈ F ix(T )

Bài toán Cho T : C −→ C là một ánh xạ không giãn từ tập con lồi, đóng

và khác rỗng C của không gian Hilbert H vào chính nó là một ánh xạ không

Đã có nhiều phương pháp nổi tiếng được đề xuất để giải bài toán trên, như phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa, phương pháp lặp Halpern, phương pháp xấp xỉ mềm, phương pháp sử dụng siêu phẳng cắt

Chú ý 1.2 Nếu T là ánh xạ co trên C, thì dãy lặp Picard xác định bởi x0 ∈ C

này không còn đúng đối với lớp ánh xạ không giãn

Phương pháp lặp Mann

Năm 1953, W R Mann [9] đã nghiên cứu và đề xuất phương pháp lặp sau:







(1.3)

n=0αn =

∞ Dãy lặp (1.3) được gọi là dãy lặp Mann Mann W R đã chứng minh rằng,

bởi (1.3) sẽ hội tụ yếu tới một điểm bất động của ánh xạ T Chú ý rằng nếu H

là không gian Hilbert vô hạn chiều thì dãy lặp (1.3) chỉ cho sự hội tụ yếu Phương pháp lặp Halpern

Năm 1967, B Halpern [5] đã đề xuất phương pháp lặp







(1.4)

đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.4) về điểm bất động của ánh xạ

Phương pháp lặp xấp xỉ mềm

Năm 2000, Moudafi [10] đã đề xuất phương pháp xấp xỉ mềm, để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và đã chứng minh được các kết quả sau:

εn

hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân:

x ∈ F ix(T ) sao cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ F ix(T ),

zn+1 = 1

εn

1

εn

mạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân:

x ∈ F ix(T ) sao cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ F ix(T ),

ở đây, f : C → C là một ánh xạ co cho trước với hệ số co c ∈ [0, 1) Tức là

kf (x) − f (y)k ≤ ckx − yk ∀x, y ∈ C

Chú ý 1.3 Khi f (x) = u với mọi x ∈ C, thì phương pháp xấp xỉ mềm của Moudafi trở về phương pháp lặp của Halpern

1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển

Trong mục này, chúng tôi đề cập đến bài toán bất đẳng thức biến phân trên

liên tục Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển của ánh xạ đơn trị được phát biểu như sau:

và ký hiệu là V I(F, C)

Sự tồn tại nghiệm của Bài toán (1.7) được cho bởi định lý dưới đây:

một ánh xạ liên tục Khi đó, Bài toán (1.7) có ít nhất một nghiệm

Chứng minh Đặt PC là phép chiếu mêtric từ Rn lên C Khi đó, PC(I − γF )

Bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.7) có mối quan hệ mật thiết với một số bài toán khác như là: Hệ phương trình, bài toán tối ưu, bài toán bù và bài toán điểm bất động

a) Hệ phương trình

Nhiều vấn đề cân bằng kinh tế cổ điển đã được mô hình như một hệ phương trình, vì điều kiện thanh toán bù trừ thị trường, nhất thiết phải có sự cân bằng giữa cung và cầu Bài toán bất đẳng thức biến phân có thể xem như một hệ phương trình thông qua mệnh đề dưới đây:

b) Bài toán tối ưu

hàm lồi trên C Xét bài toán sau:

Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán (1.8) và bất đẳng thức biến phân cổ điển

(1.8) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của Bài toán (1.7), với F x = 5f (x).

lồi, nên

Bài toán (1.8)

c) Bài toán bù

bao gồm các phương trình và bất phương trình có dạng sau:

Khi F là một ánh xạ affine, tức là F x = M x + b, với M là ma trận cỡ n × n và

b là véc tơ cỡ n × 1, thì (1.9) được gọi là bài toán bù tuyến tính

Mối quan hệ giữa bài toán bù và bài toán bất đẳng thức biến phân được cho bởi mệnh đề dưới đây:

1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển

Trong mục này, đề cập đến toán bất đẳng thức biến phân

liên... PC(I − γF )

Bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.7) có mối quan hệ mật thiết với số toán khác là: Hệ phương trình, tốn tối ưu, toán bù toán điểm bất động

a) Hệ phương trình

Nhiều...

liên tục Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển ánh xạ đơn trị phát biểu sau:

và ký hiệu V I(F, C)

Sự tồn nghiệm Bài toán (1.7) cho định lý đây:

một ánh xạ liên tục