Luận văn thạc sĩ toán học tích ngoài của ba vectơ trong không gian và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM NGỌC THÀNH TÍCH NGOÀI CỦA BA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA[.]

PHẠM NGỌC THÀNH

TÍCH NGOÀI CỦA BA VECTƠ

TRONG KHÔNG GIAN

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, NĂM 2020

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM NGỌC THÀNH

TÍCH NGOÀI CỦA BA VECTƠ

TRONG KHÔNG GIAN

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS TRỊNH THANH HẢI

THÁI NGUYÊN, NĂM 2020

Mục lục

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt iv

1.1 Tích ngoài hai vectơ trong mặt phẳng 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Tính chất 3

1.1.3 Biểu thức tọa độ của tích ngoài hai vectơ 4

1.1.4 Mối quan hệ giữa tích ngoài và tích vô hướng của hai vectơ 4

1.1.5 Diện tích của tam giác 4

1.1.6 Diện tích của hình bình hành 4

1.1.7 Diện tích của tứ giác 5

1.2 Tích ngoài ba vectơ trong không gian 5

1.2.1 Định nghĩa 5

1.2.2 Tính chất 5

1.2.3 Biểu thức xác định của tích ngoài ba vectơ 6

1.2.4 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ khác vectơ không 7 1.2.5 Tích ngoài ba vectơ trong hình học Euclid 7

1.2.6 Thể tích hình hộp 9

2 Vận dụng tích ngoài hai vectơ để giải quyết một số bài toán

2.1 Ứng dụng của tích ngoài hai vectơ trong mặt phẳng 11 2.1.1 Hệ thức giữa ba vectơ bất kì 11 2.1.2 Công thức cộng cung trong lượng giác 12 2.1.3 Đường thẳng, giao điểm của hai đường thẳng 12 2.1.4 Điều kiện đồng quy của ba đường thẳng 13 2.1.5 Định lý Céva 14 2.2 Một số ví dụ minh họa ứng dụng của tích ngoài hai vectơ

trong quá trình giải toán hình học phẳng 15

3 Vận dụng tích ngoài ba vectơ để giải quyết một số bài toán

3.1 Ứng dụng của tích ngoài ba vectơ trong không gian 25 3.1.1 Thể tích hình tứ diện 25 3.1.2 Điều kiện đồng phẳng cho bốn điểm 26 3.1.3 Phương trình mặt phẳng trong hình học Euclid 27 3.1.4 Định lý Thales trong không gian 28 3.2 Một số ví dụ minh họa ứng dụng của tích ngoài ba vectơ

trong quá trình giải toán hình học không gian 29

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Phó Giáo sư - Tiến

sĩ Trịnh Thanh Hải Tác giả xin trân trọng bày tỏ lòng kính trọng và biết

ơn sâu sắc tới thầy, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, động viên khích

lệ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu luận văn

Qua bản luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu trong suốt thời gian qua Tác giả cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và tất cả mọi người đã quan tâm, động viên và giúp đỡ để tác giả có thể hoàn thành luận văn của mình

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2020

Tác giả luận văn

Phạm Ngọc Thành

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

(−→a ,−→b ) Góc lượng giác giữa hai véc tơ −→a ,−→b . (a, b) Góc giữa hai đường thẳng a, b

SXY Z Diện tích hình học của 4XY Z

−

→a ↑↑ −→b (−→a ↑↓ −→b ) Hai véc tơ −→a ,−→b cùng hướng (ngược hướng).

−

→a k −→b Hai vectơ −→a ,−→b cùng phương.

Danh mục các hình vẽ

Hình 1: 8

Hình 2: 8

Hình 3: 9

Hình 4: 14

Hình 5: 15

Hình 6: 16

Hình 7: 17

Hình 8: 18

Hình 9: 19

Hình 10: 20

Hình 11: 22

Hình 12: 23

Hình 13: 26

Hình 14: 28

Hình 15: 29

Hình 16: 30

Hình 17: 31

Hình 18: 35

Hình 19: 36

Hình 20: 37

Hình 21: 38

Hình 22: 39

Hình 23: 40

Hình 24: 41

Hình 25: 42

Hình 26: 45

Hình 27: 46

Hình 28: 47

Hình 29: 48

Hình 30: 49

Hình 31: 50

Hình 32: 50

Hình 33: 51

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông đối với môn toán, nội dung tích ngoài của vectơ, mà cụ thể là tích ngoài của hai vectơ trong mặt phẳng, tích ngoài của ba vectơ trong không gian chưa được đưa vào giảng dạy mà các nội dung này chỉ được đề cập đến trong chương trình môn toán dành cho học sinh chuyên toán

Trong các đề thi học sinh giỏi, có rất nhiều bài liên quan đến tích ngoài của hai vectơ trong mặt phẳng, tích ngoài của ba vectơ trong không gian

Xuất phát từ thực tế trên, với mong muốn đưa ra một cách hệ thống kiến thức về tích ngoài hai vectơ trong mặt phẳng, tích ngoài ba vectơ trong không gian và ứng dụng khái niệm, tính chất của tích ngoài hai vectơ trong mặt phẳng, tích ngoài ba vectơ trong không gian để giải một

số bài toán, tác giả đã lựa chọn đề tài "Tích ngoài của ba vectơ trong không gian và ứng dụng"

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu và trình bày một cách hệ thống về tích ngoài hai vectơ trong mặt phẳng và tích ngoài của ba vectơ trong không gian Đồng thời trình bày ứng dụng của tích ngoài của hai vectơ trong mặt phẳng, tích ngoài của ba vectơ trong không gian

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn có nhiệm vụ:

a Tìm hiểu về tích ngoài hai vectơ trong mặt phẳng: Định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ tích ngoài hai vectơ, mối quan hệ giữa tích ngoài và tích vô hướng của hai vectơ, diện tích tam giác, diện tích hình bình hành, diện tích tứ giác

b Tìm hiểu về tích ngoài ba vectơ trong không gian: Định nghĩa, tính chất, biểu thức xác định của tích ngoài ba vectơ, điều kiện đồng phẳng của ba vectơ, tích ngoài ba vectơ trong hình học Euclid, thể tích hình hộp

c Tìm hiểu về ứng dụng tích ngoài hai vectơ trong mặt phẳng và tích ngoài của ba vectơ trong không gian

d Sưu tầm một số bài toán hình học phẳng, hình học không gian trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao Đẳng; đề thi THPT Quốc Gia;

đề thi chọn học sinh giỏi trong nước và Quốc tế có thể khai thác tính chất tích ngoài hai vectơ, tích ngoài của ba vectơ để giải Sau đó đưa ra lời giải các bài toán đó

4 Nội dung luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Vận dụng tích ngoài hai vectơ để vào giải quyết một số bài toán hình học phẳng

Chương 3 Vận dụng tích ngoài ba vectơ vào giải một số bài toán hình học không gian

Một cách cụ thể, luận văn sẽ trình bày các kết quả chính ở các tài liệu tham khảo [1]

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương 1, luận văn chọn lọc và trình bày một số kiến thức liên quan đến tích ngoài của hai vectơ trong mặt phẳng và tích ngoài của ba vectơ trong không gian

1.1 Tích ngoài hai vectơ trong mặt phẳng

1.1.1 Định nghĩa

Tích ngoài của hai vectơ −→a,−→b kí hiệu là [~a,~b] là một số được xác

định như sau:

* Nếu

" −→a = −→0

−

→

b = −→

0 thì [~a,~b] = 0

* Nếu

" −→a 6= −→0

−

→

b 6= −→

0 thì [~a,~b] = |−

→a |.|−→b | sin(−→a ,−→b ).

Từ định nghĩa trên ta có ngay hệ quả hiển nhiên:

−

→a k −→b ⇔ [~a,~b] = 0. 1.1.2 Tính chất

Tích ngoài của hai vectơ có các tính chất cơ bản sau đây:

i) [~a,~b] = −[~b, ~a](phản giao hoán)

ii) [~a,−→

b + −→c ] = [~a,~b] + [~a, ~c] (phân phối).

iii) [k~a, l~b] = (kl)[~a,~b]

1.1.3 Biểu thức tọa độ của tích ngoài hai vectơ

Định lý 1.1 Trên mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ −→a (x

1; y1), −→

b (x2; y2) Khi đó [~a,~b] = x1y2 − x2y1

1.1.4 Mối quan hệ giữa tích ngoài và tích vô hướng của hai

vectơ

Trong hình học phẳng, với hai vectơ tùy ý ~a và~b, ta có biểu thức:

(~a.~b)2 + [~a,~b]2 = ~a2.~b2

1.1.5 Diện tích của tam giác

Diện tích đại số của tam giác ABC là một số đại số (có thể dương,

âm hoặc bằng không), kí hiệu là S[ABC] = 1

2[

−→

AB,−→

AC] Định lý 1.2

i) Nếu tam giác ABC có hướng dương thì S[ABC] = SABC

ii) Nếu tam giác ABC có hướng âm thì S[ABC] = −SABC

Hệ quả 1.1 Trên mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC Biết rằng −→

AB = (x1; y1),−→

AC = (x2; y2) Khi đó SABC = 1

2|x1y2 − x2y1| Tính chất 1.1 Cho tam giác ABC và mỗi điểm M thì

M A + S[M CA]−−→

M B + S[M AB]−−→

M C = ~0 iii) Nếu điểm M thuộc đường thẳng BC ta có:

2[

−→

BC,−−→

M A]

1.1.6 Diện tích của hình bình hành

Diện tích đại số của hình bình hành ABCD là một số đại số (có thể dương, âm hoặc bằng không), kí hiệu là S[ABCD] = [−→

AB,−→

AC]

Chứng minh

Theo hệ thức Chasle về diện tích đại số, ta có

= 0 + 1

2[

−→

AB,−→

AC] + 1

2[

−→

AC,−→ AD] + 0

= 1

2[

−→

AC,−→

AD −−→

AB]

= 1

2[

−→

AC,−−→

BD]

1.2 Tích ngoài ba vectơ trong không gian

1.2.1 Định nghĩa

Tích ngoài của ba vectơ −→x , −→y , −→z trong không gian là một hàm vectơ

của ba vectơ −→x , −→y , −→z nhận giá trị thực và tuyến tính theo từng vectơ

−

→x , −→y , −→z và phản đối xứng theo −→x , −→y , −→z , kí hiệu là [−→x , −→y , −→z ].

1.2.2 Tính chất

Tích ngoài của ba vectơ trong không gian có hai tính chất cơ bản sau đây:

i) Tuyến tính đối với mỗi vectơ, nghĩa là đối với −→x chẳng hạn ta có:

* [−→x

2, −→y , −→z ] = [−→x

1, −→y , −→z ] + [−→x

2, −→y , −→z ]

* [α−→x , −→y , −→z ] = α[−→x , −→y , −→z ]

ii) Phản xứng nghĩa là nếu hoán vị hai vectơ nào đó cho nhau, thì giá trị của tích ngoài đổi thành số đối xứng Chẳng hạn ta có:

* [−→x , −→y , −→z ] = −[−→y , −→x , −→z ]

* Đặc biệt:[−→x , −→x , −→z ] = 0

* Nếu trong ba vectơ −→x,−→y ,−→z có hai vectơ cùng phương thì tích ngoài

của chúng bằng không

Chẳng hạn: Nếu −→y = α−→x thì [−→x , α−→x , −→z ] = α[−→x , −→x , −→z ] = 0 1.2.3 Biểu thức xác định của tích ngoài ba vectơ

Chọn ba vectơ tùy ý không đồng phẳng−→u , −→v , −→w thỏa mãn[−→u , −→v , −→w ] =

δ, δ 6= 0 khi đó bộ ba vectơ −→x , −→y , −→z có thể phân tích theo −→u , −→v , −→w như

sau:







−

→x = x

1−→u + x

2−→v + x

3−→w

−

→y = y

1−→u + y

2−→v + y

3−→w

−

→z = z

1−→u + z

2−→v + z

3−→w (1.1)

Ta có

[−→x , −→y , −→z ] = [x

1−→u +x

2−→v +x

3−→w , y

1−→u +y

2−→v +y

3−→w , z

1−→u +z

2−→v +z

3→−w ]

Ta khai triển vế phải dựa vào hai tính chất tuyến tính và phản xứng, cuối cùng sẽ được:

[−→x , −→y , −→z ] = (x

1y2z3+ x2y3z1+ x3y1z2− x3y2z1− x2y1z3− x1y3z2) × [−→u , −→v , −→w ]

Quy ước

x1 x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 z3

=x1y2z3+ x2y3z1+ x3y1z2− x3y2z1− x2y1z3− x1y3z2

được gọi là định thức

Vậy ta có

[−→x , −→y , −→z ] =

x1 x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 z3

[−→u , −→v , −→w ] (1.2)

Chú ý 1.1 Định thức có thể viết dưới dạng

∆ =

x1 x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 z3

= z1(x2y3−x3y2) + z2(x3y1−x1y3) + z3(x1y2−x2y1)

hay ∆ =

x1 x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 z3

= Az1 + Bz2 + Cz3,với A = x2y3 − x3y2,

B = x3y1 − x1y3, C = x1y2 − x2y1

Nếu chọn hai vectơ −→x, −→y không cùng phương thì A, B, C không triệt

tiêu đồng thời và ta có thể chọn z1, z2, z3 bằng vô số cách tức là chọn vectơ

1.2.4 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ khác vectơ không

Định lý 1.3 Ba vectơ khác vectơ không −→x , −→y , −→z là đồng phẳng nếu và

chỉ nếu tích ngoài của chúng bằng không

Chứng minh

* Điều kiện cần: Giả sử −→x , −→y , −→z đồng phẳng khi đó ta có−→z = α−→x + β−→y

và [−→x , −→y , −→z ] = [−→x , −→y , α−→x + β−→y ] = α[−→x , −→y , −→x ] + β[−→x , −→y , −→y ] = 0.

* Điều kiện đủ: Giả sử ta có [−→x , −→y , −→z ] = 0.

Nếu −→x , −→y cùng phương thì rõ ràng là chúng đồng phẳng với mọi vectơ

−

→z .

Nếu −→x , −→y không cùng phương, ta chọn vectơ −→t sao cho [−→x , −→y ,−→t ] 6= 0.

Cho nên các vectơ {−→x , −→y ,−→t } sẽ không đồng phẳng (theo điều kiện cần)

và ta có thể phân tích vectơ −→z theo −→x , −→y ,−→t : −→z = α−→x + β−→y + γ−→t và [−→x , −→y , −→z ] = [−→x , −→y , α−→x + β−→y + γ−→t ] = γ[−→x , −→y ,−→t ].

Ta thấy [−→x , −→y ,−→t ] 6= 0 kéo theo γ = 0 suy ra vectơ −→z đồng phẳng

với hai vectơ −→x , −→y

1.2.5 Tích ngoài ba vectơ trong hình học Euclid

Khái niệm cơ sở trực chuẩn

Quy ước [−→x , −→y , −→z ] = 1 nếu vectơ −→x , −→y , −→z là ba vectơ đơn vị và tạo

thành tam diện thuận thì bộ ba {−→x , −→y , −→z } được gọi là một cơ sở trực

chuẩn

Định lý 1.4 Nếu tích ngoài bằng 1 với một cơ sở trực chuẩn nào đó rồi thì nó sẽ bằng 1 với mọi cơ sở trực chuẩn khác

Chứng minh

Trước hết ta lấy một cở sở trực chuẩn thứ 2

là {−→x0,−→

y0, −→z } có chung vectơ −→z với cơ sở trực

chuẩn {−→x , −→y , −→z }.

Ta phải chứng minh [−→x , −→y , −→z ] = 1 suy ra

[−→

x0,−→

y0, −→z ] = 1.

Thật vậy gọi α là góc [xOx0 (xem hình vẽ 1) ta sẽ

có

−

→

x0 = cos α−→x + sin α−→y

−

→

y0 = − sin α−→x + cos α−→y ,−→z0 = −→z

và [−→

x0,−→

y0,−→

z0] =

cos α sin α 0

− sin α cos α 0

= cos2α + sin2α = 1 Trong trường hợp tổng quát, vị trí của −→

x0,−→

y0,−→

z0 là bất kì so với vị trí của −→x , −→y , −→z

Ta gọi OU là giao tuyến của mặt phẳng (XOY ) với mặt phẳng vuông góc với OZ0 qua O, tức là mặt phẳng chứa OX0, OY0 Ta chọn trục OV

sao cho {−→u , −→v ,−→z0} là trực chuẩn và trục OR sao cho {−→u , −→r , −→z } là trực

chuẩn (xem hình 2)

Ta lần lượt biến đổi cơ sở {−→x , −→y , −→z }

theo ba bước:

i){−→x , −→y , −→z } → {−→u , −→r , −→z } với

phép quay trục Z, góc ψ

ii){−→u , −→r , −→z } → {−→u , −→v ,−→z0} với

phép quay trục U, góc θ

iii){−→u , −→v ,−→z0} → {−→x0,−→

y0,−→

z0} với phép quay trục Z0, góc ϕ

Trong mỗi bước cơ sở sau có chung

một trục với cơ sở trước, cho nên nếu

tích ngoài của cơ sở trước bằng một thì tích ngoài của cơ sở sau cũng bằng một: [−→

x0,−→

y0,−→

z0] = [−→u , −→v ,−→z0] = [−→u , −→r , −→z ] = [−→x , −→y , −→z ] = 1.

Các góc ψ, θ, ϕ gọi là các góc Euler (Động học)

Dựng hình hộp với ba cạnh OA, OB, OC gọi là hình hộp dựng trên

ba vectơ −→x,−→y ,−→z

Ta chọn một cơ sở trực chuẩn {−→u , −→v , −→w } sao cho −→u cùng phương

với vectơ −→x, −→v đồng phẳng với −→y , −→z

Như vậy, ta có thể viết (xem hình 3)

−

→x = |−→x |.−→u

−

→x = |−→y | cos α.−→u + |−→y | sin α.−→v (trong đó ta gọi α là góc dxOy)

Mặt khác ta phân tích −→z = −→k +−→h,trong đó −→k đồng phẳng −→x, −→y

và −→v , còn −→h theo phương −→w (vuông góc với mặt phẳng (−→u , −→v )).

Khi đó:[−→x , −→y , −→z ] = [−→x , −→y ,−→k +−→h ] = [−→x , −→y ,−→h ]

vì ta có [−→x , −→y ,−→k ] = 0.

Vậy[−→x , −→y , −→z ] = [|−→x |−→u , |−→y | cos α.−→u +|−→y | sin α.−→v ,−→h ]

= |−→x ||−→y | sin α.[−→u , −→v ,−→h ].

nhưng −→

h = ±|−→

h |.−→w, cho nên [−→x , −→y , −→z ] = ±|−→x ||−→y | sin α|−→h |[−→u , −→v , −→w ]

= ±|−→x ||−→y | sin α|−→h |

ta thấy |−→x ||−→y | sin α = S, nếu gọi S là diện tích hình bình hành dựng bởi

−

→x , −→y Còn |−→h | là chiều cao của hình hộp mà đáy là hình bình hành ấy

và đáy trên có một đỉnh là C (−→z = −→OC).

Ta có [−→x , −→y , −→z ] = ±|h|S = ±V,V là thể tích hình hộp có cạnh

OA, OB, OC

Nếu −→

h cùng hướng với −→w, tức là tam diện {−→OA,−OB,→ −→OC} là thuận

thì ta có [−→x , −→y , −→z ] = V.

Như vậy thể tích hình hộp có cạnh −→

OA = −→x ,−OB = −→ →y ,−→OC = −→z

bằng [−→x , −→y , −→z ] nếu tam diện {−→x , −→y , −→z } là thuận Nếu tam diện ấy là

nghịch, ta có tích ngoài âm nên phải lấy giá trị tuyệt đối

Tóm lại, tích ngoài [−→x , −→y , −→z ] là thể tích của hình hộp dựng trên ba

vectơ−→x , −→y , −→z với dấu+ nếu{−→x , −→y , −→z } là một tam diện thuận, với dấu

− nếu ngược lại Đó là ý nghĩa hình học của tích ngoài ba vectơ

Chú ý 1.2 Từ công thức (1.2) nếu chọn bộ ba {−→u , −→v , −→w } là cơ sở trực

chuẩn thì [−→x , −→y , −→z ] =

x1 x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 z3

= [−→x , −→y ].−→z .

Chương 2

Vận dụng tích ngoài hai vectơ để

giải quyết một số bài toán trong

hình học phẳng

2.1 Ứng dụng của tích ngoài hai vectơ trong mặt

phẳng

2.1.1 Hệ thức giữa ba vectơ bất kì

Định lý 2.1 Trên mặt phẳng cho ba vectơ bất kì ~a,~b, ~c thì ta luôn có:

[~b, ~c].~a + [~c, ~a].~b + [~a,~b].~c = 0 (2.1) Chứng minh

* Nếu cả ba vectơ~a,~b, ~ccùng phương với nhau thì [~a,~b] = [~b, ~c] = [~c, ~a] = 0

dẫn đến (2.1) luôn đúng

* Nếu có ít nhất một cặp vectơ không cùng phương, chẳng hạn~a và~b, thì

[~a,~b] 6= 0 và vectơ ~c = α~a + β~b (∗)

Lần lượt lấy tích ngoài của hai vế với ~a và~b, ta được:[~c, ~a] = β[~b, ~a],

[~c,~b] = α[~a,~b] tức là α = −[~b, ~c]

[~a,~b], β = −

[~c, ~a]

[~a,~b] (∗∗)

Từ (∗) và (∗∗) ta có ~c = −[~b, ~c]~a − [~c, ~a]~b

[~a,~b]

hay là [~b,~c].~a + [~c,~a].~b + [~a,~b].~c = 0 

1.2.4 Điều kiện đồng phẳng ba vectơ khác vectơ không< /p>

Định lý 1.3 Ba vectơ. .. không< /p>

Định lý 1.3 Ba vectơ khác vectơ không −→x , −→y , −→z là đồng phẳng và< /sub>

chỉ tích ngồi chúng không

Chứng minh

* Điều kiện cần:... γ = 0 suy vectơ< /sub> −→z đồng phẳng

với hai vectơ −→x , −→y

1.2.5 Tích ngồi ba vectơ hình học Euclid

Khái