Luận văn thạc sĩ toán học thuật toán giải một số bài toán tối ưu phân thức tuyến tính và phi tuyến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  LÊ ĐÌNH THẢN THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU PHÂN THỨC TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯ[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

LÊ ĐÌNH THẢN

THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU PHÂN THỨC TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018

LÊ ĐÌNH THẢN

THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU PHÂN THỨC TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 8460112

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS Trần Vũ Thiệu

THÁI NGUYÊN - 2018

Mục lục

1.1 HÀM PHÂN THỨC AFIN 7

1.2 BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH 9

1.3 CÁCH TIẾP CẬN CHARNES - COOPER 11

1.4 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CỔ ĐIỂN 14

2 THUẬT TOÁN CẢI TIẾN GIẢI QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH 18 2.1 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT BÀI TOÁN (LP) 18

2.1.1 Biến đổi (LFP) về bài toán tuyến tính (LP) 18

2.1.2 Thuật toán 20

2.1.3 Ví dụ minh họa 20

2.2 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HAI BÀI TOÁN (LP) 25

2.2.1 Cơ sở của phương pháp 26

2.2.2 Phương pháp hạn chế hàm mục tiêu ở mẫu số 27

2.2.3 Ví dụ minh họa 28

2.2.4 Bài toán cực tiểu 29

3.3 ÁP DỤNG GIẢI QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH 39

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

(xi ≤ yi, ∀i = 1, , n)

(xi ≥ yi, ∀i = 1, , n)

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Chương 1:

- Hình 1.1 Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 1.1

- Hình 1.2 Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 1.2 Chương 2:

- Hình 2.1 Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 2.1

- Hình 2.2 Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 2.2

- Hình 2.3 Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 2.6 Chương 3:

- Hình 3.1 Sơ đồ khối thuật toán Dinkelbach

MỞ ĐẦU

Quy hoạch phân tuyến tính (Linear Fractional Programming, viết tắt LFP), rộng hơn là quy hoạch phân thức phi tuyến, là một mở rộng trực tiếp của quy hoạch tuyến tính (Linear Programming, viết tắt LP), với đối tượng nghiên cứu là các bài toán tìm cực tiểu (cực đại) một hàm phân tuyến tính (tỉ số hai hàm tuyến tính afin), trên một tập ràng buộc được xác định bởi các đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính

Các bài toán quy hoạch phân tuyến tính thường dùng để mô tả toán học cho nhiều bài toán thực tế với các hàm mục tiêu phân thức, chẳng hạn: lợi nhuận/chi phí, sản phẩm/số lao động, v.v và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của kinh tế, tài chính, kỹ thuật, v.v

Quy hoạch phân tuyến tính có nhiều điểm tương đồng với quy hoạch tuyến tính, cả về lý thuyết lẫn phương pháp giải Trong một số trường hợp riêng, bài toán quy hoạch phân tuyến tính trở thành bài toán quy hoạch tuyến tính và do đó có thể giải theo thuật toán đơn hình quen thuộc của quy hoạch tuyến tính Trong trường hợp tổng quát, nhiều tác giả cũng đã tìm cách đưa việc giải quy hoạch phân tuyến tính về giải một hay nhiều bài toán quy hoạch tuyến tính

Luận văn với đề tài "Thuật toán giải một số bài toán tối ưu phân thức tuyến tính và phi tuyến" nhằm tìm hiểu và trình bày một số thuật toán mới gần đây, nêu ở các tài liệu tham khảo [5] - [7], giải quy hoạch phân tuyến tính (nhờ đưa về quy hoạch tuyến tính) và giải quy hoạch phân thức phi tuyến (theo tiếp cận tham số)

Nội dung luận văn được trình bày trong ba chương

Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại về hàm phân thức afin và tính chất, bài toán quy hoạch phân tuyến tính, mối liên hệ giữa quy hoạch phân tuyến tính với quy hoạch tuyến tính và cuối chương giới thiệu phương pháp tiêu biểu dựa trên thuật toán đơn hình để giải quy hoạch phân tuyến tính

Chương 2 "Thuật toán cải tiến giải quy hoạch phân tuyến tính" trình bày thuật toán cải tiến của M B Hasan và S Acharjee nêu

ở [5] giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính (LFP) bằng cách đưa về một bài toán quy hoạch tuyến tính (LP) và thuật toán của P Pandian

và M Jayalakshmi nêu ở [7] đưa (LFP) về giải hai bài toán (LP)

Chương 3 "Tiếp cận tham số giải quy hoạch phân thức phi tuyến" trình bày các kết quả nghiên cứu của A Jeflea nêu ở [6]

về tiếp cận tham số giải bài toán phân thức phi tuyến: Thuật toán Dinkelbach, thuật toán Dinkelbach rút gọn cho phép giải gần đúng các bài toán tham số và sự hội tụ của các thuật toán Áp dụng cách tiếp cận tham số giải bài toán phân thức tuyến tính (LFP)

Do thời gian có hạn nên luận văn này chủ yếu chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu

đã có theo chủ đề đặt ra Trong quá trình viết luận văn cũng như trong soạn thảo văn bản chắc chắn không tránh khỏi có những sai sót nhất định Tác giả luận văn rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Trần Vũ Thiệu, người thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình giúp

đỡ trong suốt quá trình làm luận văn Tác giả cũng xin chân thành cảm

ơn quý thầy cô trong Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên và các GS, PGS, TS của Viện Toán học, Viện Công nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu

Lê Đình Thản