Luận văn thạc sĩ toán học rẽ nhánh hopf và định lý tâm lyapunov

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thanh Hải RẼ NHÁNH HOPF VÀ ĐỊNH LÝ TÂM LYAPUNOV LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội 2020 1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thanh Hải

RẼ NHÁNH HOPF

VÀ ĐỊNH LÝ TÂM LYAPUNOV

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2020

1

Nguyễn Thanh Hải

RẼ NHÁNH HOPF

VÀ ĐỊNH LÝ TÂM LYAPUNOV

Chuyên ngành: Toán giải tích

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS LÊ HUY TIỄN

Hà Nội - 2020

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc nhất tới TS Lê Huy Tiễn - người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn này

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Cảm

ơn các thầy cô giáo đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn cao học

Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân

đã luôn động viên, cổ vũ em trong quá trình học tập

Hà Nội, ngày 23 tháng 05 năm 2020

Học viên

Nguyễn Thanh Hải

i

Mục lục

1.1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.2 Các ví dụ rẽ nhánh của phương trình vi phân một chiều 8

1.3 Các ví dụ rẽ nhánh của phương trình vi phân hai chiều 14

2 SỰ TỒN TẠI RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 18 2.1 Rẽ nhánh nút-yên ngựa 18

2.2 Rẽ nhánh xuyên tới hạn 21

2.3 Rẽ nhánh dĩa 24

2.4 Rẽ nhánh Hopf 27

3 SỰ BẢO TOÀN TÂM LYAPUNOV 33 3.1 Tâm Lyapunov 33

3.2 Hệ vi phân Hamilton 35

3.3 Tâm Lyapunov và sự bảo toàn 36

LỜI NÓI ĐẦU

Trong hệ động lực, rẽ nhánh là khái niệm ngược với ổn định

Khái niệm rẽ nhánh lần đầu tiên được giới thiệu bởi Henri Poincaré vào năm 1885, sau đó được các nhà toán học nghiên cứu sâu rộng, chẳng hạn [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], Lý thuyết rẽ nhánh

là nghiên cứu toán học về những thay đổi trong bức tranh pha của nghiệm phương trình sai phân, nghiệm phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân Rẽ nhánh xảy ra khi thay đổi nhỏ giá trị tham số của một hệ động lực gây ra sự thay đổi đột ngột trong bức tranh pha Rẽ nhánh được chia ra làm hai loại

• Rẽ nhánh địa phương xảy ra khi thay đổi tham số làm cho bức tranh pha xung quanh điểm cân bằng hoặc điểm tuần hoàn thay đổi

• Rẽ nhánh toàn cục xảy ra nếu bức tranh pha toàn cục thay đổi khi giá trị tham số thay đổi

Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu rẽ nhánh Hopf và định lý tâm Lyapunov

Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1 Các ví dụ rẽ nhánh của phương trình vi phân

Trong chương này, đầu tiên ta sẽ trình bày lại những kiến thức liên quan phục vụ cho việc tìm hiểu rẽ nhánh trong phương trình vi phân Sau đó, ta tính toán chi tiết và minh họa hình học một số loại rẽ nhánh trong không gian một chiều và không gian hai chiều

Chương 2 Sự tồn tại rẽ nhánh của phương trình vi phân

Mục đích của chương này là trình bày các định lý tồn tại các rẽ nhánh nút-yên ngựa, rẽ nhánh xuyên tới hạn, rẽ nhánh dĩa, rẽ nhánh Hopf

Chương 3 Sự bảo toàn tâm Lyapunov

1

Nội dung luận văn chủ yếu tham khảo từ cuốn sách [2] Luận văn chỉ xét

rẽ nhánh của hệ liên tục, tức là các phương trình vi phân

Hà Nội, ngày 23 tháng 05 năm 2020

Học viên

Nguyễn Thanh Hải

Danh sách hình

1.1 Điểm yên ngựa 7

1.3 Lược đồ rẽ nhánh nút-yên ngựa trong không gian một chiều 9

1.5 Lược đồ rẽ nhánh dĩa trong không gian một chiều 11

1.7 Lược đồ rẽ nhánh xuyên tới hạn trong không gian một chiều 13 1.8 Bức tranh pha rẽ nhánh nút-yên ngựa trong không gian hai chiều 14 1.9 Lược đồ rẽ nhánh Hopf 15 1.10 (a) a = −0.5, (b) a = 0.5 16

2.1 (a) −

∂2f

∂x 2 (x0, µ0)

∂f

∂µ(x0, µ0)

∂2f

∂x 2 (x0, µ0)

∂f

∂µ(x0, µ0)

2.2 (a) −

∂2f

∂x 2 (x0, µ0)

∂2f

∂x∂µ(x0, µ0)

∂2f

∂x 2 (x0, µ0)

∂2f

∂x∂µ(x0, µ0)

2.3 (a) −

∂3f

∂x 3 (x 0 , µ 0 )

∂2f

∂x∂µ(x0, µ0)

∂3f

∂x 3 (x 0 , µ 0 )

∂2f

∂x∂µ(x0, µ0)

2.4 Điểm cân bằng (a, 0, 0): từ ổn định tiệm cận sang ổn định, rồi không ổn định 28

3

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

VÀ VÍ DỤ RẼ NHÁNH

CỦA PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN

Trong chương này chúng ta sẽ nhắc lại những kiến thức liên quan đến sự rẽ nhánh của phương trình vi phân Cụ thể ta định nghĩa điểm cân bằng, điểm tuần hoàn, điểm ổn định (hút), điểm không ổn định (đẩy) và các điều kiện liên quan phục vụ cho Chương 2 và Chương 3 Sau đó một số ví dụ về rẽ nhánh trong không gian một chiều và không gian hai chiều được tính toán minh họa cụ thể

1.1 Kiến thức chuẩn bị

Xét phương trình vi phân phụ thuộc tham số

Trong toàn luận văn, ta giả sử vế phải thỏa mãn các điều kiện của sự tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục Ta ký hiệu ϕa,t là dòng sinh bởi phương trình vi phân trên; nói cách khác

x(t) = ϕa,t(x0)

là nghiệm duy nhất của (1.1) thỏa mãn x(0) = x0.

Việc thay đổi giá trị tham số a từ a0 đến giá trị a1 gần a0 sẽ làm thay đổi bức tranh pha của nghiệm phương trình vi phân Có hai trường hợp xảy ra Trường hợp 1: bức tranh pha với a = a1 đồng phôi với bức tranh pha với

Trường hợp 2: bức tranh pha với a = a1 không đồng phôi với bức tranh pha với a = a0 Ta nói a0 là điểm phân nhánh hay rẽ nhánh (bifurcation) Với phương trình sai phân, ta chỉ xét khái niệm điểm bất động, điểm tuần hoàn Điểm tuần hoàn của ánh xạ chính là điểm bất động của một lũy thừa nào đó của nó Điểm tuần hoàn chu kỳ 1 chính là điểm bất động

Tuy nhiên đối với phương trình vi phân, điểm cân bằng (nghiệm hằng) và điểm nằm trên quỹ đạo đóng (nghiệm tuần hoàn) có đặc tính rất khác nhau Định nghĩa 1.1.1 Xét phương trình vi phân

với f : Rm →Rm là ánh xạ trơn Điểm p được gọi là điểm cân bằng, hay điểm

kỳ dị của hệ (1.2) nếu f (p) = 0 Dễ thấy điểm cân bằng của hệ là điểm bất động của ánh xạ ϕt, hay nói cách khác

x(t) ≡ p

là nghiệm hằng của phương trình vi phân

Nghiệm x(t) gọi là nghiệm tuần hoàn nếu tồn tại số T > 0 sao cho

x(t + T ) = x(t) với mọi t Số T nhỏ nhất gọi là chu kỳ của nghiệm tuần hoàn x(t)

Điểm p được gọi là điểm tuần hoàn của hệ (1.2) nếu nó nằm trên quỹ đạo tuần hoàn γ = x(t) nào đó, tức là tồn tại t0 sao cho p = x(t0)

Định nghĩa 1.1.2 Cho p là điểm cân bằng Nếu tồn tại  > 0 sao cho với

lim

5

thì p gọi là điểm đẩy

Nói cách khác, điểm cân bằng p gọi là hút nếu mọi điểm gần p đều hút về

p dưới tác động của dòng ϕt; điểm cân bằng p gọi là đẩy nếu mọi điểm gần

p đều ra xa p dưới tác động của ánh xạ dòng ϕt Do dòng ϕt là khả ngược, nên điểm cân bằng p là hút đối với dòng ϕt nếu và chỉ nếu p là đẩy đối với dòng ϕ−t Ta có tiêu chuẩn phổ để xác định một điểm cân bằng là hút hay đẩy, dựa vào các giá trị riêng của ma trận Jacobi

Định nghĩa 1.1.3 Cho f = (f 1 , f 2 , , f m ) là một ánh xạ trong Rm và cho

p ∈Rm Ma trận Jacobi của f tại p, ký hiệu bởi Dpf, hay Df (p) là ma trận







∂f 1

∂x m (p)

.

∂f m

∂x m (p)







của đạo hàm thành phần tại p

Định lý 1.1.4 Cho p là một điểm cân bằng của phương trình vi phân (1.2) trong đó hàm f trơn Khi đó, các phát biểu sau đây là đúng

(i) Nếu ma trận Dpf có mọi giá trị riêng với phần thực âm

Reλ < 0 với mọi λ ∈ σ(Dpf ) thì p là hút (cũng gọi là ổn định tiệm cận)

(ii) Nếu ma trận Dpf có mọi giá trị riêng với phần thực dương

Reλ > 0 với mọi λ ∈ σ(Dpf ) thì p là đẩy

Trong không gian hai chiều và không gian có số chiều lớn hơn, tồn tại điểm cân bằng hỗn hợp (điểm yên ngựa) Điểm yên ngựa là trường hợp đặc biệt của điểm hyperbolic