Luận văn thạc sĩ toán học phương trình sai phân suy biến chỉ số 1 và bài toán điều khiển tối ưu dạng tuyến tính – toàn phương

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THÀNH CHIÊU PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN SUY BIẾN CHỈ SỐ 1 VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU DẠNG TUYẾN TÍNH – TOÀN PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌ[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN THÀNH CHIÊU

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN SUY BIẾN CHỈ SỐ 1

VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU DẠNG TUYẾN TÍNH – TOÀN PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN THÀNH CHIÊU

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN SUY BIẾN CHỈ SỐ 1

VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU DẠNG TUYẾN TÍNH – TOÀN PHƯƠNG

Chuyên ngành: Toán học tính toán

Mã số: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH PHẠM KỲ ANH

Hà Nội – 2014

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn tận tình chu đáo của GS TSKH Phạm Kỳ Anh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Phạm Kỳ Anh đã luôn hướng dẫn và chỉ bảo chu đáo, tận tình, nghiêm khắc trong suốt quá trình tác giả nghiên cứu luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo, Phòng CTCT - SV, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ trong thời gian tác giả học tập và nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người thân và bạn bè đã ưu ái, giúp đỡ, động viên, khích lệ để tác giả hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2014

Học viên

Nguyễn Thành Chiêu

Mục lục

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 4

1 Một số kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Bài toán điều khiển tối ưu rời rạc cho phương trình sai phân

thường 7 1.1.1 Phương trình Euler - Lagrange rời rạc 7 1.1.2 Nguyên lý cực đại cho bài toán điều khiển tối ưu 9 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 11 1.2.1 Khái niệm và các tính chất 12 1.2.2 Bài toán Cauchy cho phương trình sai phân tuyến

tính chỉ số 1 19 1.2.3 Phương trình dưới liên hợp 23

2 Bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân tuyến

2.1 Bài toán điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính dừng suy biến 36 2.1.1 Giới thiệu về bài toán 36 2.1.2 Phương trình Hamilton cho bài toán điều khiển tối

ưu rời rạc 38

2

2.1.3 Nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu 40

2.2 Bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân chỉ số 1 55 2.2.1 Giới thiệu bài toán 55

2.2.2 Phương trình Hamilton và bài toán biên 56

2.2.3 Điều kiện đủ của tối ưu 57

2.2.4 Điều kiện cần và đủ để hệ Pontryagin có chỉ số 1 59

2.2.5 Nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu 60

3 Bài toán điều khiển tối ưu trong mô hình kinh tế 71 3.1 Mô hình mô tả bởi phương trình sai phân thường 71

3.1.1 Cấu trúc của hệ thống sản xuất 72

3.1.2 Điều kiện đạt tới sự cân bằng 74

3.2 Mô hình mô tả bởi phương trình sai phân suy biến 75

TÀI LIỆU THAM KHẢO 80

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

• dimW: số chiều của không gian vectơ W

• kerA: không gian nhân của ma trận A

• imA: không gian ảnh của ma trận A

• rankA: hạng của ma trận A

• span({xi}n

i=1): không gian con sinh bởi hệ vectơ x1, x2, , xn

• W1 ⊕ W2: tổng trực tiếp của hai không gian W1, W2

• W1 ∩ W2: giao của hai không gian W1, W2

•

n

P

i=1

Ai: tổng của các ma trận A1, A2, , An

• A†: nghịch đảo suy rộng Moore - Penrose của ma trận A

• diag(A1, A2): ma trận đường chéo khối có các thành phần A1,A2 nằm trên đường chéo

MỞ ĐẦU

Do nhu cầu của thực tiễn, việc nghiên cứu phương trình vi phân đại số và phương trình sai phân ẩn được nhiều nhà nghiên cứu toán học trong nước cũng như ở nước ngoài quan tâm nghiên cứu Nhiều bài toán thực tế (hệ thống điện, mô hình dân số, mô hình kinh tế, ) được mô tả bởi phương trình sai phân ẩn Mặt khác phương trình sai phân ẩn là kết quả của việc rời rạc hóa phương trình vi phân đại số, phương trình đạo hàm riêng đại

số Chẳng hạn, dùng phương pháp Euler hiển áp dụng cho phương trình

vi phân đại số chỉ số 1 thì ta nhận được phương trình sai phân tuyến tính

ẩn chỉ số 1 [3]

Xuất phát từ những nghiên cứu của các tác giả D J Bender and A J Laub [5] về bài toán điều khiển tối ưu dạng toàn phương cho hệ động lực

mô tả bởi phương trình sai phân ẩn hệ số hằng, chúng tôi đã đưa ra được các kết quả cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 Ngoài ra, từ

mô hình kinh tế của tác giả D G Luenberger [8] cho bài toán điều khiển

mô tả bởi phương trình sai phân thường, chúng tôi cũng đưa ra được kết quả tương tự cho hệ mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1

Bố cục luận văn như sau:

 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi giới thiệu điều kiện cần cho bài toán điều khiển tối ưu rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân thường Ngoài ra, chúng tôi giới thiệu các khái niệm về phương trình sai phẩn tuyến tính ẩn chỉ số 1, phương trình dưới liên hợp có chỉ số 1 và công

5

thức nghiệm cho bài toán giá trị ban đầu, bài toán điều kiện cuối.

 Chương 2 Bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân tuyến tính suy biến

Trong chương này, chúng tôi trình bày phương pháp giải bài toán điều khiển tối ưu dạng toàn phương cho phương trình sai phân ẩn hệ

số hằng bằng khai triển kỳ dị và phương trình Riccati Từ đây ta tìm được nghiệm tối ưu của bài toán Cuối cùng, chúng tôi đưa ra phương pháp giải bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 nhờ phép biến đổi Kronecker -Weierstrass và phương trình Riccati Kết quả cuối thu được trong chương này là mới

 Chương 3 Bài toán điều khiển tối ưu trong mô hình kinh tế Trong chương này, chúng tôi trình bày điều kiện cân bằng giữa cung và cầu để đạt lợi nhuận cực đại mô tả bởi bài toán điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc Tiếp theo chúng tôi mở rộng kết quả trên cho bài toán điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc suy biến

Đây là kết quả mới của luận văn và những nội dung chính đã được trình trong Seminar của bộ môn Toán học tính toán, Khoa Toán - Cơ

- Tin học, Đại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Bài toán điều khiển tối ưu rời rạc cho phương trình sai

phân thường

Trong mục này chúng tôi trình bày một số nghiên cứu của tác giả A P Sage [9] về bài toán điều khiển tối ưu cho hệ động lực mô tả bởi phương trình sai phân thường

1.1.1 Phương trình Euler - Lagrange rời rạc

Xét hàm mục tiêu

J =

N −1

X

n=0 Φ(xn, xn+1, n) =

N −1

X

n=0

Φn

trong đó với mỗi n = 0, 1, , N − 1, Φ(., , n) : Rm × Rm → R là hàm

khả vi liên tục Bây giờ ta sẽ tìm điều kiện cần để cực tiểu hàm J

Giả sử rằng, xn = ˆxn+ εηxn, xn+1 = ˆxn+1+ εηxn+1, với x = (ˆˆ x0, , ˆxN −1)

là các điểm cực trị, ε > 0 đủ nhỏ

7

Sử dụng khai triển Taylor ta có

∆J = J (ˆxn+ εηxn) − J (ˆxn)

=

N −1

X

n=0 {Φ(ˆxn+ εηxn, ˆxn+1 + εηxn+1, n) − Φ(ˆxn, ˆxn+1, n)}

=

N −1

X

n=0

{(∂Φn

∂ ˆxn, εηxn) + ( ∂Φn

∂ ˆxn+1, εηxn+1) + o(ε)},

suy ra

δJ =

N −1

X

n=0

{(∂Φn

∂ ˆxn, ηxn) + ( ∂Φn

∂ ˆxn+1, ηxn+1)}

Do xˆ là điểm cực trị nên

∂J

∂ε|ε=0 = 0,

khi đó

N −1

X

n=0

{(∂Φn

∂ ˆxn, ηxn) + ( ∂Φn

∂ ˆxn+1, ηxn+1)} = 0

Với δxn = ηxn, ta thu được

N −1

X

n=0

{δxTn∂Φn

∂ ˆxn + δx

T n+1

∂Φn

∂ ˆxn+1} = 0, (1.1) kết hợp

∂Φn

∂ ˆxn =

∂Φn

∂xn

∂xn

∂ ˆxn =

∂Φn

∂xn

và

N −1

X

n=0

δxTn+1 ∂Φn

∂ ˆxn+1 =

N

X

n=1

δxTn∂Φ(xn−1, xn, n − 1)

∂xn

=

N −1

X

n=0

δxTn∂Φ(xn−1, xn, n − 1)

T n

∂Φ(xn−1, xn, n − 1)

∂xn |n=Nn=0 ,

ta nhận được

N −1

X

n=0

δxTn(∂Φn

∂xn +

∂Φn−1

∂xn ) + δx

T n

∂Φn−1

∂xn |n=Nn=0 = 0 (1.2)

Do (1.2) không phụ thuộc vào việc chọn δxTn nên để J đạt cực tiểu thì

∂Φn−1

∂xn = 0, với n = 0, N,

∂xn +

∂Φn−1

∂xn = 0. (1.3)

Phương trình (1.3) là phương trình Euler - Lagrange rời rạc

1.1.2 Nguyên lý cực đại của bài toán điều khiển tối ưu

Xét phương trình sai phân

xn+1 = f (xn, un, n), với n = 0, 1, , N − 1, (1.4) trong đó xn ∈ Rm, un ∈ Rk Bài toán đặt ra là tìm vectơ điều khiển un để cực tiểu hàm mục tiêu

J = ϕ(xn, n)|n=Nn=0 +

N −1

X

n=0 Φ(xn, un, n), (1.5)

ở đây với mỗi n = 0, 1, , N − 1, Φ(., , n) :Rm×Rk →R là hàm khả vi

liên tục, ϕ(., n) : Rm →R là hàm khả vi liên tục tại n = N, n = 0

Xét hàm Lagrange

L = ϕ(xn, n)|n=Nn=0 +

N −1

X

n=0 {Φ(xn, un, n) + λTn+1(f (xn, un, n) − xn+1)}

= ϕ(xn, n)|n=Nn=0 +

N −1

X

n=0 (Hn− λTn+1xn+1),

ở đây

Hn = Φ(xn, un, n) + λTn+1f (xn, un, n)

Đặt

xn = ˆxn + εηn,

xn+1 = ˆxn+1+ εηn+1,

un = ˆun + εvn

Do đó

L = ϕ(ˆxN + εηN, N ) − ϕ(ˆx0 + εη0, 0) +

N −1

X

n=0 {H(ˆxn + εηn, ˆun + εvn, λn+1, n) − λTn+1(ˆxn+1+ εηn+1)}

Chúng ta đã biết

∂L

∂ε = 0,

nên

(∂ϕN

∂ ˆxN)

TηN − (∂ϕ0

∂ ˆx0)

Tη0 +

N −1

X

n=0

(∂Hn

∂ ˆxn )

Tηn

−

N −1

X

n=0

λTn+1ηn+1+

N −1

X

n=0

(∂Hn

∂ ˆun)

Tvn = 0 (1.6)

Ta có

−

N −1

X

n=0

λTn+1ηn+1 = −

N

X

n=1

λTnηn = −

N −1

X

n=0

λTnηn − λTNηN + λT0η0

Thay phương trình trên vào phương trình (1.6) ta thu được

((∂ϕN

∂xN)

T − λTN)ηN − ((∂ϕ0

∂x0)

T − λT0)η0 +

N −1

X

n=0

((∂Hn

∂xn)

T − λTn)ηn +

N −1

X

n=0

(∂Hn

∂un)

T

vn = 0 (1.7)

Do phương trình (1.7) không phụ thuộc vào việc chọn ηn, vn cho nên ta thu được nguyên lý cực đại cho bài toán điều khiển tối ưu

Định lý 1.1.1 Giả sử un, xn, n = 0, 1, , N − 1 là điểu khiển tối ưu

và quỹ đạo tối ưu của bài toán (1.4) - (1.5) Khi đó tồn tại vectơ λn thỏa mãn

λn = ∂H(xn, un, λn+1, n)

λ0 = ∂ϕ(0, n)

∂x0 ,

và

λN = ∂ϕ(N, n)

∂xN ,

trong đó

H(xn, un, λn+1, n) = Φ(xn, un, n) + λTn+1f (xn, un, n),

sao cho với mỗi n = 0, 1, , N − 1

H(xn, un, λn+1, n) = min

v∈R kH(xn, v, λn+1, n)

Ví dụ 1.1.2 Xét bài toán điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc

xn+1 = Axn+ Bun, n = 0, 1, , N − 1, (1.8) với điều kiện ban đầu

x0 = x0, (1.9)

và hàm mục tiêu

J (x, u, N ) = 1

2

N −1

X

k=0

(xTnuTn) W S

ST R

!

xn

un

!

−→ min

u n

trong đó xn là biến trạng thái và un là biến điều khiển

Hệ số trong phương trình (1.8), (1.9) là những ma trậnA, W, V ∈ Rm×m,

B, S ∈ Rm×k, R ∈Rk×k

Giả sử W và R là các ma trận đối xứng và ma trận W S

ST R

!

là nửa xác định dương

Xét hàm Hamilton

H = λTn+1(Axn+ Bun) − 1

2



xTn uTn

 Wn Sn

SnT Rn

!

xn

un

!

(1.10)

Áp dụng nguyên lý cực đại, ta thu được các phương trình sau

xn+1 = Axn + Bun,

λn = ∂H

∂xn = W xn+ A

Tλn+1+ Sun,

Run + STxn+ BTλn+1 = 0

1.2 Phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1

Trong mục này chúng tôi trình bày một số nghiên cứu của tác giả P K Anh, H T N Yến [1] về phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 và tác giả L C Lợi [6] về phương trình dưới liên hợp của phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1

1.2.1 Khái niệm và các tính chất

Xét phương trình sai phân tuyến tính ẩn với hệ số biến thiên dạng

Enxn+1 = Anxn + qn, n = 0, 1, , N, (1.11) trong đó En, An ∈ Rm×m và qn ∈ Rm đã cho Ma trận En giả thiết là suy biến với mọi n và rankEn = r (1 ≤ r ≤ m − 1)

Với mỗi n ≥ 0, gọi Qn ∈ Rm×m là phép chiếu bất kỳ lên kerEn, tức là

Q2n = Qn và imQn = kerEn Khi đó, tồn tại một ma trận không suy biến

Vn ∈ Rm×m sao cho Qn = VnQV˜ n−1, trong đó Q = diag(O˜ r, Im−r).

Đặt Pn = I − Qn và Gn = En+ AnVn−1QV˜ n−1 Chúng ta định nghĩa các toán tử nối hai không gian con kerEn−1 và

kerEn

Qn−1,n = Vn−1QV˜ n−1 và Qn,n−1 = VnQV˜ n−1−1

Ta có

Qn−1,n = Qn−1Qn−1,n = Qn−1,nQn, Qn−1,nQn,n−1 = Qn−1,n−1

và

Qn,n−1Qn−1,n = Qn

Định nghĩa 1.2.1 [1] Ta nói phương trình (1.11) có chỉ số 1 nếu

(i) rankEn = r , n = 0, N,

(ii) Sn∩ kerEn−1 = {0}, n = 1, N,

trong đó Sn = {ξ ∈ Rm : Anξ ∈ imEn}

Ngoài ra, giả thiết rằng dimS0 = r Gọi E−1 ∈ Rm×m là ma trận thỏa mãn điều kiện S0 ⊕ kerE−1 = Rm Nếu cặp ma trận {E0, A0} có chỉ số 1 (xem [7]) thì ta có thể lấy E−1 = E0 Gọi Q−1 là phép chiếu nào đó lên kerE−1 và P−1 = I − Q−1 Ta nhận thấy điều kiện (ii) đúng với n = 0, N

và toán tử nối Qn−1,n cũng xác định với n = 0, N

Dưới đây là ví dụ về phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1

Ví dụ 1.2.2 Xét phương trình sai phân tuyến tính (1.11) với

En =







n + 1 0 −1

−(n + 1) 0 1





, An =







1 n 0

0 1 0

n 0 1







Với mọi n ≥ 0, ta có 0 < rankEn = 1 < 3 và

kerEn =













0 1 0





u +







1 0

n + 1





v

u, v ∈ R







,

Sn =













−1 0

n + 1





u

u, v ∈R}







Ta tính được Sn ∩ kerEn−1 = {0} Vậy phương trình sai phân (1.11) với

En, An xác định như trên là phương trình sai phân ẩn tuyến tính chỉ số 1

Để rankE−1 = 1 và S0 ∩ kerE−1 = {0} thì ta có thể chọn ma trận

E−1 =







0 0 −1

0 0 0

0 0 1







Bây giờ chúng tôi trình bày một số tính chất quan trọng của phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 (xem [1])

Mệnh đề 1.2.3 Giả sử rằng ma trận Gn = En+ AnQn−1,n là không suy biến thì ta có các đẳng thức sau:

(i)

EnPn = En, (1.12) (ii)

Pn = G−1n En, (1.13) (iii)

G−1n AnQn−1,n = Qn, (1.14)

PnG−1n AnQn−1 = 0, QnG−1n AnQn−1 = Qn,n−1 (1.15)

Chứng minh Do Qn là phép chiếu lên kerEn nên Qnx ∈ kerEn với mọi

x ∈ Rm Vì vậy, với mọi x ∈ Rm, EnQnx = 0 hay EnQn = 0 Do đó,

En = En(Pn + Qn) = EnPn+ EnQn = EnPn

Đẳng thức (1.12) được chứng minh

Ta có

GnPn = (En + AnQn−1,n)Pn = EnPn+ AnQn−1,nPn

= En+ AnQn−1,nQnPn = En

Nhân G−1n từ bên trái của đẳng thức trên, ta nhận được đẳng thức (1.13) Tương tự,

GnQn = (En+ AnQn−1,n)Qn = AnQn−1,nQn = AnQn−1,n

Vậy Qn = G−1n AnQn−1,n, từ đây suy ra PnG−1n AnQn−1,n = PnQn = 0, và

QnG−1n AnQn−1 = QnG−1n AnQn−1,nQn,n−1 = QnQnQn,n−1 = Qn,n−1 Đẳng thức (1.14), (1.15) được chứng minh Mệnh đề đã được chứng minh Mệnh đề 1.2.4 Các khẳng định sau là tương đương

(i) Sn∩ kerEn−1 = {0}

(ii) Ma trận Gn = En+ AnQn−1,n không suy biến

(iii) Rm = Sn ⊕ kerEn−1

Chứng minh (i) ⇒(ii) Do Gn ∈ Rm×m nên Gn khả nghịch khi và chỉ khi

Gn đơn ánh, tức là kerGn = 0 Giả sử x ∈ kerGn, khi đó

0 = Gnx = (En+ AnQn−1,n)x = Enx + AnQn−1,nx

Ta có AnQn−1,nx = −Enx nên Qn−1,nx ∈ Sn Mặt khác

Qn−1,nx = Qn−1Qn−1,nx ∈ kerEn−1

Vậy Qn−1,nx ∈ Sn ∩ kerEn−1 = {0} hay Qn−1,nx = 0, suy ra

Qnx = Qn,n−1Qn−1,nx = 0

Hơn nữa, vì x ∈ kerEn = imQn nên x = Qnx = 0 Vậy kerGn = 0 hay ma trận Gn không suy biến

(ii) ⇒ (i) Giả sử x ∈ Sn ∩ kerEn−1 Vì x ∈ kerEn−1 = imQn−1 cho nên tồn tại y ∈ Rm sao cho x = Qn−1y Mặt khác, x ∈ Sn tức là tồn tại η ∈ Rm thỏa mãn Enη = Anx = AnQn−1y Sử dụng giả thiết Gn khả nghịch và các tính chất nêu trong Mệnh đề (1.2.3) ta có

G−1n Enη = G−1n AnQn−1y = G−1n AnQn−1,nQn,n−1y ⇔ Pnη = Qn,n−1y

Tác động Qn từ bên trái hai vế của phương trình trên, ta thu được

Qn,n−1y = 0

Vậy x = Qn−1y = Qn−1,nQn,n−1y = 0 hay Sn ∩ kerEn−1 = {0}

(iii) ⇒ (i) Ta có được từ định nghĩa tổng trực tiếp của hai không gian (i) ⇒ (iii) Với mọi x ∈ Rm, đặt v = Qn−1,nG−1n Anx, u = x − v Ta có,

v = Qn−1,nG−1n Anx = Qn−1Qn−1,nG−1n Anx ∈ kerEn−1 Hơn nữa,

Anu = An(x − v) = Anx − AnQn−1,nG−1n Anx

= (I − AnQn−1,nG−1n )Anx = (Gn − AnQn−1,n)G−1n Anx

= EnG−1n Anx ∈ imEn

Vậy u ∈ Sn và do đó Rm = Sn⊕ kerEn−1 Mệnh đề được chứng minh Mệnh đề 1.2.5 Giả sử phương trình (1.11) có chỉ số 1 Đặt

Qn−1 = Vn−1QV˜ n−1−1 là một phép chiếu nào đó lên kerEn−1 Khi đó

(i) Q˜n−1 = Qn−1,nG−1

n An là một phép chiếu chính tắc lên kerEn−1 song song với Sn;

(ii) Với V˜

n−1 = (s1n, , srn, hr+1n−1, , hmn−1) là ma trận có các cột tương ứng là cơ sở của Sn và kerEn−1, tức là Sn = span({sin}r

i=1) và

kerEn−1 = span({hjn−1}m

j=r+1) thì Qn−1˜ = ˜Vn−1Q ˜˜V−1

n−1 Chứng minh (i) Theo Mệnh đề (1.2.4), do phương trình (1.11) có chỉ số 1 nên Gn là ma trận khả nghịch Ta có

˜

Q2n−1 = Qn−1,n(G−1n AnQn−1,n)G−1n An = Qn−1,nG−1n An = ˜Qn−1

Mặt khác, Q˜n−1 = Qn−1Qn−1,nG−1

n An, suy ra

im ˜Qn−1 ⊂ imQn−1 = kerEn−1

En, An xác định phương trình sai phân ẩn tuyến tính số

Để rankE? ?1< /sub> = S0 ∩ kerE? ?1< /sub> = {0} ta chọn ma trận

E? ?1< /sub>...



0 ? ?1

0 0

0







Bây chúng tơi trình bày số tính chất quan trọng phương trình sai phân tuyến tính ẩn số (xem [1] )

Mệnh đề 1. 2.3 Giả sử... chứng minh Mệnh đề 1. 2.5 Giả sử phương trình (1. 11) có số Đặt

Qn? ?1< /sub> = Vn? ?1< /sub>QV˜ n? ?1< /sub>? ?1< /sup> phép chiếu lên kerEn? ?1< /sub> Khi

(i)