Luận văn thạc sĩ toán học một định lý hội tụ mạnh cho hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— BÙI THỊ THANH KHUYÊN MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO HỆ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH LU[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

————— o0o —————

BÙI THỊ THANH KHUYÊN

MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO

HỆ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT

VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG

KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2020

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI THỊ THANH KHUYÊN

MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO

HỆ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT

VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG

KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 TS Trương Minh Tuyên

2 TS Phạm Hồng Trường

Thái Nguyên – 2020

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS Trương Minh Tuyên và

TS Phạm Hồng Trường Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến

TS Trương Minh Tuyên và TS Phạm Hồng Trường, các thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng các thầy giáo, cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K12A3 đã tạo điều kiện tốt nhất và tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường

Tôi xin chân thành cảm ơn Hội đồng quản trị, Ban giám hiệu trường THPT Lương Thế Vinh, thành phố Cẩm Phả, tỉnh Quảng Ninh đã tạo điều kiện giúp

đỡ tôi trong suốt thời gian đi học

Nhân dịp này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, khích lệ, tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa học -Đại học Thái Nguyên dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Tôi mong muốn nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Mục lục

Một số ký hiệu và viết tắt iv

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Không gian Banach phản xạ 3 1.2 Khoảng cách Bregman và một số lớp ánh xạ Bregman không giãn 4 1.2.1 Hàm lồi và khoảng cách Bregman 4 1.2.2 Phép chiếu Bregman 20 1.2.3 Một số lớp ánh xạ Bregman không giãn 24 Chương 2 Xấp xỉ nghiệm chung cho hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động 29 2.1 Toán tử giải hỗn hợp và tính chất 29 2.2 Phát biểu bài toán và phương pháp lặp 33 2.3 Sự hội tụ mạnh của phương pháp 33

Một số ký hiệu và viết tắt

X không gian Banach

X∗ không gian đối ngẫu của X

R tập hợp các số thực

R+ tập các số thực không âm

∩ phép giao int M phần trong của tập hợp M inf M cận dưới đúng của tập hợp số M sup M cận trên đúng của tập hợp số M max M số lớn nhất trong tập hợp số M min M số nhỏ nhất trong tập hợp số M argminx∈XF (x) tập các điểm cực tiểu của hàm F trên X

∅ tập rỗng dom(A) miền hữu hiệu của toán tử (hàm số) A R(A) miền ảnh của toán tử A

A−1 toán tử ngược của toán tử A

I toán tử đồng nhất lim sup

n→∞

xn giới hạn trên của dãy số {xn}

lim inf

n→∞ xn giới hạn dưới của dãy số {xn}

xn → x0 dãy {xn} hội tụ mạnh về x0

xn * x0 dãy {xn} hội tụ yếu về x0

F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T ˆ

F (T ) tập điểm bất động tiệm cận của ánh xạ T

∂f dưới vi phân của hàm lồi f

5 f gradient của hàm f

M bao đóng của tập hợp M projfC phép chiếu Bregman lên C

Df(x, y) khoảng cách Bregman từ x đến y

Mở đầu

Đầu thế kỉ XX đã xuất hiện nhiều định lý điểm bất động nổi tiếng, trong đó phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co của Banach (1922) Các kết quả này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học khác nhau như: Giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, các bài toán liên quan đến kinh tế như bài toán cân bằng, bài toán chấp nhận lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân

Bài toán về điểm bất động có hai lĩnh vực được quan tâm nghiên cứu chủ yếu,

đó là: Ta quan tâm đến sự tồn tại nghiệm của phương trình T (x) = x, trong đó

T là một ánh xạ từ tập con C của không gian X vào X và nghiệm x0 của nó được gọi là một điểm bất động của T Trong rất nhiều trường hợp quan trọng việc giải một phương trình được đưa về việc tìm điểm bất động của một ánh xạ thích hợp Chẳng hạn, nếu X là một không gian tuyến tính, S là một ánh xạ trong

X và y là một phần tử cố định thuộc X, thì nghiệm của phương trình S(x) = y chính là điểm bất động của ánh xạ T được xác định bởi T (x) = S(x) + x − y, với

x ∈ X Bên cạnh đó việc tìm ra các phương pháp tìm hay xấp xỉ điểm bất động của một ánh xạ cũng thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều người làm toán trong và ngoài nước

Trong thời gian gần đây, lớp bài toán cân bằng mà tổng quát hơn là bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát trong không gian Hilbert hay Banach đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước

Một trong những khó khăn khi nghiên cứu bài toán xấp xỉ điểm bất động

và bài toán cân bằng trong không gian Banach là ta phải sử dụng đến ánh xạ đối ngẫu của không gian Ta biết rằng trong trường hợp tổng quát ánh xạ đối ngẫu rất khó xác định và ngoài ra nó không có tính chất tuyến tính Do đó việc tìm dạng tường minh của toán tử giải tương ứng với toán tử đơn điệu trong không gian Banach là “rất khó” Để khắc phục khó khăn này, người ta đã sử

dụng khoảng cách Bregman để thay thế cho khoảng cách thông thường và thay thế ánh xạ đối ngẫu bởi gradient của một phiếm hàm lồi, khả vi Gâteaux Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả của Darvish và các cộng sự trong bài báo [14] về một phương pháp chiếu (kết hợp phương pháp chiếu lai ghép và chiếu thu hẹp) xấp xỉ điểm bất động chung của một họ hữu hạn toán tử Bregman không giãn tương đối yếu và nghiệm của hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát trong không gian Banach phản xạ

Nội dung của luận văn được chia làm hai chương chính:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, luận văn đề cập đến một số vấn đề về không gian Banach phản xạ, khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman và một số lớp toán tử Bregman không giãn

Chương 2 Xấp xỉ nghiệm chung cho hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động

Trong chương này luận văn tập trung trình bày lại một cách chi tiết các kết quả của Darvish V và các cộng sự trong tài liệu [14] về một phương pháp chiếu cho bài toán tìm nghiệm chung của hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động cho lớp ánh xạ Bregman không giãn tương đối yếu trong không gian Banach phản xạ

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này bao bồm hai mục Mục 1.1 trình bày về một số tính chất cơ bản của không gian phản xạ Mục 1.2 giới thiệu về khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman và một số lớp ánh xạ Bregman không giãn Nội dung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1, 15, 21, 24, 27]

1.1 Không gian Banach phản xạ

Trước hết, trong mục này chúng tôi nhắc lại khái niệm không gian Banach phản xạ

Định nghĩa 1.1.1 Một không gian Banach X được gọi là không gian phản xạ, nếu với mọi phần tử x∗∗ của không gian liên hợp thứ hai X∗∗ của X, đều tồn tại phần tử x thuộc X sao cho

hx, x∗i = hx∗, x∗∗i với mọi x∗ ∈ X∗ Chú ý 1.1.2 Trong luận văn, chúng tôi sử dụng ký hiệu hx∗, xi để chỉ giá trị của phiếm hàm x∗ ∈ X∗ tại x ∈ X

Mệnh đề 1.1.3 [1] Cho X là một không gian Banach Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

i) X là không gian phản xạ

ii) Mọi dãy bị chặn trong X, đều có một dãy con hội tụ yếu

Mệnh đề dưới đây cho ta mối liên hệ giữa tập đóng và tập đóng yếu trong không gian tuyến tính định chuẩn

Mệnh đề 1.1.4 Nếu C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian không gian tuyến tính định chuẩn X, thì C là tập đóng yếu

Chứng minh Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử tồn tại dãy {xn} ⊂ C sao cho xn * x, nhưng x /∈ C Theo định lý tách các tập lồi, tồn tại x∗ ∈ X∗ tách ngặt x và C, tức là tồn tại ε > 0 sao cho

hy, x∗i ≤ hx, x∗i − ε, với mọi y ∈ C Đặc biệt, ta có

hxn, x∗i ≤ hx, x∗i − ε, với mọi n ≥ 1 Ngoài ra, vì xn * x, nên hxn, x∗i → hx, x∗i Do đó, trong bất đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận được

hx, x∗i ≤ hx, x∗i − ε, điều này là vô lý Do đó, điều giả sử là sai, hay C là tập đóng yếu

Mệnh đề được chứng minh

Chú ý 1.1.5 Nếu C là tập đóng yếu, thì hiển nhiên C là tập đóng

1.2 Khoảng cách Bregman và một số lớp ánh xạ Bregman

không giãn

1.2.1 Hàm lồi và khoảng cách Bregman

Cho X là một không gian Banach và cho f : X −→ (−∞, ∞] là một hàm

số Ta ký hiệu miền hữu hiệu domf là tập {x ∈ X : f (x) < ∞} Với mỗi x ∈ int domf và y ∈ X, ta ký hiệu f0(x, y) là đạo hàm phải của f tại x theo hướng

y, tức là

f0(x, y) = lim

t↓0

f (x + ty) − f (x)

t . Định nghĩa 1.2.1 Hàm f được gọi là khả vi Gâteaux tại x nếu giới hạn limt→0(f (x + ty) − f (x))/t tồn tại với mọi y Trong trường hợp này f0(x, y) trùng với (5f )(x), giá trị của gradient 5f của f tại x

trên tập con C của X nếu giới hạn trên tồn tại đều với mọi x ∈ C và kyk = 1 Chú ý 1.2.3 i) Nếu hàm f khả vi Gâteaux (Fréchet) trên X, thì toán tử gradient 5f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X

ii) Ta biết rằng nếu f là khả vi Gâteaux (khả vi Fréchet) trên int domf , thì f liên tục và đạo hàm Gâteaux 5f của nó là liên tục từ tôpô mạnh vào tôpô yếu* trên int domf (xem [6])

iii) Nếu f khả vi Fréchet đều trên X, thì tồn tại số M sao cho k 5 f (x)k ≤ M , với mọi x ∈ X

Dưới đây một tính chất đơn giản của hàm khả vi Fréchet đều

Mệnh đề 1.2.4 (xem [2], Định lý 1.8) Nếu f : X −→ R khả vi Fréchet đều, thì f liên tục đều trên X

Chứng minh Lấy bất kỳ u, v ∈ X Xét hàm số h(t) = f [u + t(v − u)] với mọi

t ∈ [0, 1] Khi đó, ta có

h(t + τ ) − h(t)

τ =

f ([u + (t + τ )(v − u)]) − f [u + t(v − u)]

Vì f khả vi Fréchet đều trên X, nên khi cho τ → 0, ta nhận được

h0(t) = 5f (u + t(v − u))(v − u)

Theo định lý Lagrange, tồn tại θ ∈ (0, 1) sao cho

h(1) − h(0) = h0(θ)

Suy ra

|f (u) − f (v)| = |h(1) − h(0)|

= | 5 f (u + θ(v − u))(v − u)|

≤ k 5 f (u + θ(v − u))kku − vk

Từ Chú ý 1.2.3 iii), suy ra tồn tại M sao cho k 5 f (x)k ≤ M , với mọi x ∈ X.

Do đó, ta nhận được

|f (u) − f (v)| ≤ M ku − vk

Vậy f liên tục đều trên X

Định nghĩa 1.2.5 Cho D ⊂ X, f : D → R ∪ {±∞}

i) Hàm f được gọi là chính thường nếu dom f 6= ∅ và f (x) > −∞(∀x ∈ D), trong đó

dom f = {x ∈ D : f (x) < ∞}

ii) Hàm f được gọi là hàm lồi trên D nếu epi f là tập lồi trong E × R, trong đó

epi f = {(x, r) ∈ D × R : f (x) ≤ r}

iii) Hàm f : D ⊂ X → R được gọi là nửa liên tục dưới tại điểm x ∈ D nếu với mỗi ε > 0 có một δ > 0 sao cho f (x) − ε ≤ f (x) với mọi x ∈ D, kx − xk < δ Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên D nếu f nửa liên tục dưới tại mọi điểm x ∈ D

Dưới đây là ví dụ về hàm nửa liên tục dưới

Ví dụ 1.2.6 Cho f : R −→ R là hàm số được xác định bởi

f (x) =







|x| khi x 6= 0

−1 khi x = 0

Khi đó, hàm f là hàm nửa liên tục dưới tại điểm x = 0, nhưng không liên tục tại x = 0

Thật vậy, dễ thấy f không liên tục tại x = 0 Với mọi ε > 0 và với mọi δ > 0 (trong trường hợp này có thể chọn δ là số dương bất kỳ) ta có

f (0) − ε = −1 − ε < −1 ≤ f (x), với mọi x Do đó, f là nửa liên tục dưới tại 0

f [tx + (1 − t)y] ≤ tf (x) + (1 − t)f (y) (1.1) với mọi x, y ∈ X và mọi t ∈ [0, 1]

Chứng minh Giả sử f là hàm lồi trên X Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức (1.1) đúng với mọi t ∈ (0, 1) Nếu x hoặc y không thuộc dom f , thì hiển nhiên bất đẳng thức (1.1) đúng Giả sử x, y ∈ dom f Khi đó ta có (x, f (x)) ∈ epi f và (y, f (y)) ∈ epi f Vì epi f là tập lồi, nên (t(x, f (x)) + (1 − t)(y, f (y))) ∈ epi f với mọi t ∈ (0, 1), tức là (tx + (1 − t)y, tf (x) + (1 − t)f (y)) ∈ epi f với mọi t ∈ (0, 1) Suy ra

f [tx + (1 − t)y] ≤ tf (x) + (1 − t)f (y)

Ngược lại giả sử bất đẳng thức (1.1) đúng với mọi t ∈ (0, 1) Ta sẽ chỉ ra epi f là tập lồi Thật vậy, giả sử (x, s) ∈ epi f và (y, r) ∈ epi f , tức là f (x) ≤ s

và f (y) ≤ r Khi đó, từ bất đẳng thức (1.1), ta có

f [tx + (1 − t)y] ≤ tf (x) + (1 − t)f (y) ≤ ts + (1 − t)r, với mọi t ∈ [0, 1] Suy ra (t(x, s) + (1 − t)(y, r)) ∈ epi f với mọi t ∈ [0, 1] Suy ra epi f là tập lồi và do đó f là hàm lồi

Mệnh đề 1.2.8 Nếu f là một hàm lồi và x ∈ dom f , thì các khẳng định sau là đúng:

i) Hàm ϕf(y, x; ·) : R \ {0} −→ (−∞, ∞] xác định bởi

ϕf(y, x; t) = f (x + ty) − f (x)

t

là hàm không giảm trên mỗi khoảng (0, ∞) và (−∞, 0)

ii) Với mọi y ∈ X, giới hạn f0(x, y) = limt↓0ϕf(y, x; t) là tồn tại và

f0(x, y) ≤ f (x + y) − f (x)

Chứng minh i) Nếu 0 < t < s < ∞, thì từ Mệnh đề 1.2.7, ta có

f (x + ty) = f t

s(x + sy) +

s − t

s x



≤ t

sf (x + sy) +

s − t

s f (x)

= f (x) + tf (x + sy) − f (x)

s , điều này suy ra ϕf(y, x; t) ≤ ϕf(y, x; s) Do đó ϕf(y, x; ·) là hàm không giảm trên (0, ∞) Tương tự, ta cũng nhận được ϕf(y, x; ·) là hàm không giảm trên (−∞, 0)

ii) Theo i) giới hạn f0(x, y) = limt↓0ϕf(y, x; t) tồn tại và f0(x, y) ≤ ϕf(y, x; 1), tức là

f0(x, y) ≤ f (x + y) − f (x)

Mệnh đề 1.2.9 Cho D ⊂ E là một tập lồi, f : D → R ∪ {±∞} là một hàm lồi trên D Khi đó, ta có các khẳng định dưới đây:

i) Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên D đều là điểm cực tiểu toàn cục của f trên D

ii) Nếu f là hàm lồi chặt trên D thì điểm cực tiểu của f nếu có là duy nhất Chứng minh i) Giả sử x0 ∈ D là một điểm cực tiểu địa phương của f , nhưng x0 không là điểm cực tiểu toàn cục Khi đó, tồn tại x1 ∈ D sao cho f (x1) < f (x0)

Vì x0 ∈ D là một điểm cực tiểu địa phương của f , nên tồn tại một lân cận U của x0 sao cho

f (x0) ≤ f (x), với mọi x ∈ D ∩ U Với t ∈ (0, 1) đủ nhỏ, ta có xt = x0+ t(x1− x0) ∈ D ∩ U , do

đó ta nhận được

f (x0) ≤ f (xt) = f [tx1+ (1 − t)x0] ≤ tf (x1) + (1 − t)f (x0)

Suy ra f (x0) ≤ f (x1), mâu thuẫn với f (x1) < f (x0) Vậy x0 là một điểm cực tiểu của f trên D

ii) Giả sử x1 và x2 là các điểm cực tiểu của f trên D với x1 6= x2 Khi đó

f (x1) = f (x2) = m = min

x∈Df (x)

f ( 1 2

2 ) < 2(f (x1) + f (x2)) = m, mâu thuẫn với m = minx∈Df (x) Vậy điểm cực tiểu của f nếu có là duy nhất Định nghĩa 1.2.10 Cho f : X −→ (−∞, ∞] là một hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới Cho x ∈ int domf , dưới vi phân của f tại x được xác định bởi

∂f (x) = {x∗ ∈ X∗ : f (x) + hx∗, y − xi ≤ f (y) ∀y ∈ X}

Ví dụ 1.2.11 Cho x0 ∈ R và f : R −→ R xác định bởi f(x) = |x − x0| với mọi

x ∈ R Khi đó, ta có

∂f (x) =















1, nếu x > x0,

−1, nếu x < x0, [−1, 1], nếu x = x0

Dễ thấy f khả vi tại mọi x 6= 0, nên ta có ∂f (x) = {1} nếu x > x0 và

∂f (x) = {−1} nếu x < x0 Tại x0, ta có ξ ∈ ∂f (x0) khi và chỉ khi

|x − x0| ≥ ξ(x − x0), ∀x ∈ R

Điều này tương đương với ξ ∈ [−1, 1] và do đó ∂f (x0) = [−1, 1]

Ví dụ 1.2.12 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn, g(x) = 1

2kxk2

với mọi x ∈ X Khi đó,

∂g(x) =







0, x = 0, {f ∈ X∗ : hx, f i = kxk2 = kf k2}, x 6= 0

Thật vậy, f ∈ ∂g(0) khi và chỉ khi

1

2kyk2 ≥ hy, f i, ∀y ∈ X

Thay y bởi λy với λ > 0, ta nhận được

λ

2kyk2 ≥ hy, f i, ∀y ∈ X