S GD & ĐT QUANG NAMỞ ̉ Đ THI OLYMPIC TOÁN L P 10Ề Ớ Năm h c 20162017ọ (Th i gian làm bài 180 phút)ờ Câu 1 (5 đi m)ể Giai ph ng trinh saù̉ ươ Câu 2 (3 đi m)ể Cho Parabol (P) va ho đ ng thăng ̀ ̣̀ ươ[.]
Trang 1S GD & ĐT QUANG NAMỞ ̉ Đ THI OLYMPIC TOÁN L P 10Ề Ớ
Năm h c 20162017ọ
(Th i gian làm bài 180 phút) ờ
Câu 1: (5 đi m)ể
Giai ph̉ ương trinh saù :
Câu 2: (3 đi m)ể
Cho Parabol (P) va ho đ̀ ̣ ương thăng ̀ ̉ : y = (m – 2)x + 2 – 2m.
1) Tim đi u ki n c a m đ c t (P) t i 2 đi m phân biêt.̀ ề ệ ủ ể ắ ạ ể ̣
2) Khi c t (P) t i 2 đi m phân biêt co hoanh đô lân lắ ạ ể ̣ ́ ̀ ̣ ̀ ượt la x, x. Tim tât ca cac gia tri cua m thoa ̀ ̀ ́ ̉ ́ ́ ̣ ̉ ̉ mañ :
Câu 3 : ( 3 điêm) ̉
Cho a>0, b>0, c>0 va a + 2b + 3c . Tim gia tri nho nhât cua .̀ ̀ ́ ̣ ̉ ́ ̉
Câu 4 : ( 2 điêm) ̉
Giai hê ph̉ ̣ ương trinh̀ :
Câu 5 : ( 3 điêm) ̉
Cho tam giác ABC có ba c nh là a, b,c. Ch ng minh r ng: . ạ ứ ằ
Câu 6 : ( 4 điêm)̉ :
Trong m t ph ng v i h t a đ , cho tam giác cân t i có phặ ẳ ớ ệ ọ ộ ạ ương trình hai c nh là , đi m thu cạ ể ộ
đo n th ng . Tìm t a đ đi m H sao cho có giá tr nh nh t.ạ ẳ ọ ộ ể ị ỏ ấ
Trang 2S GD & ĐT QUANG NAMỞ ̉ ĐÁP ÁN THI OLYMPIC TOÁN L P 10Ớ
Năm h c 20162017ọ
(Th i gian làm bài 180 phút) ờ
Câu 1: (5 đi m)ể
Giai ph̉ ương trinh saù trên tâp sô th c: ̣ ́ ự
Phương trình đã cho tương đương:
(*)
Phương trình (*) tr thành h đ i x ng: ở ệ ố ứ
Đ t ặ
Phương trình (2) tr thành: (2’)ở
Xem đây là phương trình b c hai theo n u.ậ ẩ
Phương trình (2’) vô nghi m Phệ ương trình (2) vô nghi m.ệ
1,5
+) V i a = x th vào (1):ớ ế
Câu 2: (3 đi m)ể
Cho Parabol (P) va ho đ̀ ̣ ương thăng ̀ ̉ : y = (m – 2)x + 2 – 2m.
1) Tim đi u ki n c a m đ c t (P) t i 2 đi m phân biêt.̀ ề ệ ủ ể ắ ạ ể ̣
Phương trinh hoanh đô giao điêm cua (P) va : (1)̀ ̀ ̣ ̉ ̉ ̀
Theo đê: (1) co 2 nghiêm phân biêt > 0 (*)̀ ́ ̣ ̣
1,0
2) Khi (dm) c t (P) t i 2 đi m phân biêt co hoanh đô lân lắ ạ ể ̣ ́ ̀ ̣ ̀ ượt la x, x. Tim tât ca cac gia tri cua m thoà ̀ ́ ̉ ́ ́ ̣ ̉ ̉ mañ :
Phương trinh (1) co 2 nghiêm x, x nên x+ x=m+3 va x. x = 2+2m.̀ ́ ̣ ̀
Theo đề :
1,0
Kêt h p v i (*) ta đ́ ợ ớ ược :
1,0
Trang 3Cho a>0, b>0, c>0 va a + 2b + 3c . Tim gia tri nho nhât cua .̀ ̀ ́ ̣ ̉ ́ ̉
Ap dung gia thiêt va bât đăng th c Côsi ta đ́ ̣ ̉ ́ ̀ ́ ̉ ứ ược:
1,0
, dâu = xay ra khi a = 2, b = 3, c = 4́ ̉ 0,5 Câu 4 : ( 2 điêm) . Giai hê ph ng trinh̉ ̉ ̣ ươ ̀ :
Điêu kiên: ̀ ̣
Đăt ̣
0,25
0.5
Câu 5 : ( 3 điêm) ̉
Cho tam giác ABC có ba c nh là a, b,c. Ch ng minh r ng: .ạ ứ ằ
Ta có
1,5 0,5
Câu 6: (4 đi m) ể
Trong m t ph ng v i h t a đ , cho tam giác cân t i có phặ ẳ ớ ệ ọ ộ ạ ương trình hai c nh là , đi m thu cạ ể ộ
đo n th ng . Tìm t a đ đi m sao cho có giá tr nh nh t.ạ ẳ ọ ộ ể ị ỏ ấ
Trang 4Tìm t a đ đi m sao cho có giá tr nh nh tọ ộ ể ị ỏ ấ
Phương trình các đường phân giác góc A là
Do Δ cân t i nên phân giác trong ()ạ
c a góc vuông góc v i BCủ ớ
1,0
, khi đó đi qua và có vtpt ;
Phương trình c nh : ạ
T a đ ọ ộ :
T a đ ọ ộ :
Khi đó ; ngược hướ ; n m hai phía () ( th a mãn)ng ằ ỏ
1,0
, khi đó đi qua và có vtpt
Phương trình c nh: ạ
T a đ ọ ộ :
T a đ ọ ộ :
Khi đó ; cùng hướng (lo i)ạ
1,0
V i ớ ; . Đ t ặ
. D u ấ
H t ế
S GD VÀ ĐT QU NG NAMỞ Ả KÌ THI OLYMPIC
TRƯỜNG THPT NGUY N THÁI BÌNHỄ MÔN: TOÁN 10 NĂM H C 2016Ọ
2017
Th i gian: 150’ (không k th i gian phát đ ) ờ ể ờ ề
Câu 1 (4 đi m). ể Cho hàm s y = ố
1 V đ th hàm s khi m = 0 ẽ ồ ị ố
2 Tìm m đ có hai nghi m phân bi t l n h n 1 ể ệ ệ ớ ơ
Câu 2 (2 đi m) ể Gi i ph ng trình sau: ả ươ
Câu 3 ( 3 đi m) ể Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
Câu 4 ( 4 đi m) ể Cho 3 s d ng a, b,c th a . ố ươ ỏ
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c S = a+ b + c ị ớ ấ ủ ể ứ
Trang 5Câu 5 ( 3 đi m) ể Cho tam giác ABC đ u n i ti p đ ng tròn tâm O bán kính R. Ch ng ề ộ ế ườ ứ minh đi m M thu c đ ể ộ ườ ng tròn khi và ch khi ỉ
Câu 6 ( 4 đi m) ể Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình thang ABCD vuông t i A, B ặ ẳ ọ ộ ạ
và AD = 2BC. G i H là hình chi u vuông góc c a đi m A lên đ ọ ế ủ ể ườ ng chéo BD và E là trung đi m c a đo n HD ể ủ ạ Gi s , ph ả ử ươ ng trình đ ườ ng th ng và . Tìm t a đ các đ nh ẳ ọ ộ ỉ
A, B và D c a hình thang ABCD ủ
H t ế
Thí sinh không đượ ử ục s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm. ệ ộ ả
TRƯỜNG THPT NGUY N THÁI BÌNHỄ
T TOÁNỔ
ĐÁP ÁN KÌ THI OLYMPIC MÔN: TOÁN 10 NĂM H C 20162017Ọ
Câu Ý N i dung trình bàyộ Đi mể
T a đ đ nh, chi u ọ ộ ỉ ề
Hình d ngạ 1.0
Phương trình có 2 nghi m phân bi tệ ệ
l n h n 1 khiớ ơ
1.0
2 2,0 đi m.phương trình sau: ể Gi iả
Trang 6Đk x 1 0,5
Phương trình tươ ng
đương ( 0.5
Gi i đả ược nghi mệ
x = 3; x = 0.5
3 ( 3 đi m) ể Gi i h ả ệ
ph ươ ng trình:
* Thay x = 0 vào h ta th y không th a h ệ ấ ỏ ệ
Đ t ặ
H tr thành ệ ở
0.5
* V i ớ
Ta có
0,5
* V i ta có ớ
Ta có
0,5
4
4 đi m.ể Cho .
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c S = a+ b + cị ớ ấ ủ ể ứ
C ng v theo v ta độ ế ế ược VT 1,5
GTLN c a S b ng 3 khi a = b = c =1ủ ằ 0,5
5 3,0 đi m: ể Ch ng minh đi m M thu c đ ứ ể ộ ườ ng tròn khi và ch khi ỉ
( đpcm)
6 4,0 đi mể
Trang 7 Qua E d ng đ ự ườ ng th ng song song v i AD c t AH t i K và c t AB ẳ ớ ắ ạ ắ
t i I ạ Suy ra: +) K là tr c tâm c a tam giác ABE, nên BK AE ự ủ +) K là trung đi m c a AH nên KE song song AD và hay KE ể ủ song song và b ng BC ằ
0.5
Do đó: CE: 2x 8y + 27 = 0 1.0
Mà , m t khác E là trung đi m c a HD nên ặ ể ủ 0.5
Khi đó BD: y 3 = 0, suy ra AH: x + 1 = 0 nên A(1; 1) 0.5
Suy ra AB: x 2y +3=0. Do đó: B(3; 3) 1.0 KL: A(1; 1), B(3; 3) và D(2; 3) 0.5
H c sinh làm cách khác n u đúng căn c thang đi m giáo viên cho đi m.ọ ế ứ ể ể
S GIÁO VÀ ĐÀO T OỞ Ạ
QU NG NAMẢ
KÌ THI OLYMPIC 243 L N TH 2 – TOÁN Ầ Ứ
10
Th i gian làm bài: 180ph, không k th i gian ờ ể ờ giao đề
TRƯỜNG THPT NGUY N HI NỄ Ề
Câu 1(5,0đ)
a. Gi i b t ph ng trình: ả ấ ươ
b. Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
Câu 2(4,0đ):
a Gi s phả ử ương trình b c 2 n x(tham s m): có 2 nghi m th a . Tìm ậ ẩ ố ệ ỏ GTLN,GTNN c a P= ủ
b Cho hàm s y=f(x)=2(m1)x+ . Tìm t t c các giá tr c a m đ f(x)<0, ố ấ ả ị ủ ể
Câu 3(3,0đ):
a Cho tam giác ABC. G i D,E l n lọ ầ ượt là các đi m th a ể ỏ Tìm v trí đi m K trên AD sao cho B,K,E th ng hàng.ị ể ẳ
b Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b, AB=c. G i I, p l n lọ ầ ượt là tâm đường tròn n iộ
ti p, n a chu vi c a tam giác ABC. Ch ng minh r ng:ế ử ủ ứ ằ
Câu 4(4,0đ)
Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đặ ẳ ớ ệ ụ ọ ộ ường tròn ngo i ạ
ti p và tr ng tâm l n lế ọ ầ ượt I(4;0), G(,). Tìm t a đ các đ nh A,B,C c a tam giác ABC. Bi t ọ ộ ỉ ủ ế
đ nh B n m trên đỉ ằ ường th ng 2x+y1=0; M(4;2) n m trên đẳ ằ ường cao k t đ nh B c a tam ẻ ừ ỉ ủ giác ABC
Câu 5(4,0đ) Cho x,y,z đ u là các s th c d ng th a x+y+z=xyzề ố ự ươ ỏ
Ch ng minh r ng, ứ ằ
H tế
Trang 8S GIÁO VÀ ĐÀO T OỞ Ạ
QU NG NAMẢ
KÌ THI OLYMPIC 243 L N TH 2 – TOÁN 10Ầ Ứ
H ướ ng d n ch m ẫ ấ
TRƯỜNG THPT NGUY NỄ
HI NỀ
Câu1
Trang 9Đ t ặ BPT (1)
Mà do và t 0 nên >0.
BPT tt: xt1 0 t22t1 0 Lúc đó, x
V y nghi m c a BPT là x ậ ệ ủ
0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25
(2)
Đ t lúc đó h tr thành: ặ ệ ở
Đ t S=u+v; P=uv; ặ
H tr thành: ệ ở Lúc đó,
V y nghi m c a h : ậ ệ ủ ệ
0.25
0.5
0.25 0.25x4
0.5 0.5 Câu 2
4đ a. Gi s phGTLN,GTNN c a P= ả ử ương trình b c 2 n x(tham s m): có 2 nghi m th a . Tìm ủ ậ ẩ ố ệ ỏ 3đ
Trang 10PT đã cho có 2 nghi m phân bi t th a ệ ệ ỏ
Đ nh lí Vietị
BBT
24
16 0
144
P
2
4
m
D a trên BBT, ta có MaxP=16 t i x=2; MinP=144 t i x=2ự ạ ạ
0.25 0.5
0.5 0.25 0.5 0.5
0.5
b Cho hàm s y=f(x)=2(m1)x+ . Tìm t t c các giá tr c a m đ f(x)<0, ố ấ ả ị ủ ể 1đ
, f(x)=2(m1)xm f(x)<0,
0.25 0.5 0.25
Câu 3
3đ Ph n a.
ầ
Vì (1)
G s , = ỉả ử
VÌ B,K,E th ng hàng(B E) nên ta có m sao cho ẳ
Do đó ta có:
T đó, x= và m= . V y ừ ậ
1.5đ