Phân tích nội lực hệ kết cấu phẳng siêu tĩnh bằng phương pháp lực sử dụng phần mềm mathcad

460 PHÂN TÍCH NỘI LỰC HỆ KẾT CẤU PHẲNG SIÊU TĨNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATHCAD Đinh Hoàng Long, Phạm Đình Nhật Khoa Xây dựng, trường Đại học Công nghệ TP Hồ Chí Minh GVHD TS Võ Minh Th[.]

PHÂN TÍCH NỘI LỰC HỆ KẾT CẤU PHẲNG SIÊU TĨNH

BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATHCAD

Đinh Hoàng Long, Phạm Đình Nhật

Khoa Xây dựng, trường Đại học Công nghệ TP Hồ Chí Minh

GVHD: TS Võ Minh Thi ện

TÓM TẮT

Bài báo dùng phương pháp lực trong phân tích kết cấu hệ siêu tĩnh dùng công cụ lập trình tính toán Mathcad Nội lực của kết cấu siêu tĩnh được xác định bằng cách giải hệ phương trình cân bằng tĩnh học và điều kiện tương thích biến dạng Một số ví dụ tính toán kết cấu phẳng được thực hiện nhằm đánh giá tính chính xác và độ tin cậy của phương pháp đề xuất

Từ khóa: hương pháp lực, Mathcad, phân tích nội lực, hệ siêu tĩnh

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong thiết kế công trình, kỹ sư xây dựng thường sử dụng hệ kết cấu siêu tĩnh bậc cao có tác dụng làm tăng độ cứng của hệ và đảm bảo điều kiện biến dạng bé Tuy nhiên, việc phân tính nội lực và biến dạng kết cấu siêu tĩnh thường rất phức tạp do khối lượng tính toán lớn Việc giải hệ siêu tĩnh bậc cao bằng cách sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh học kết hợp với phương trình biến dạng là việc không đơn giản Do đó, trong bài báo này nhóm tác giả đề xuất sử dụng phần mềm tính toán Mathcad[1] để phân tích nội lực hệ siêu tĩnh bằng phương pháp lực giải quyết các bài toán dầm, khung chịu tác dụng của tải trọng.Đ là công cụ lập trình mạnh, hỗ trợ tốt trong việc tính toán kết cấu

2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1 Công của thành phần nội lực

2.1.1 Thành phần lực dọc và lực cắt

Công của ngoại lực do thành phần lực dọc [2] được xác định theo Hình 1

Hình 1

Ta lấy ,

Công của ngoại lực do thành phần lực cắt [3] được xác định như Hình 2

Hình 2

Ta lấy ,

Ta có:

Thay (4) vào (3):

∫

với µ – hệ số phụ thuộc hình dạng mặt cắt ngang

∫

2.1.2 Thành phần momen

Công của ngoại lực do thành phần momen uốn , , xác định bởi:

Ta có:

Công do các thành phần nội lực tác dụng đồng thời:

( ) ( ) ( ) ( ) (9) Thế năng biến dạng đ n hồi của hệ:

∑ ∫ ( )

(10)

2.2 Công khả dĩ của ngoại lực và nội lực

2.2.1 Công khả dĩ của ngoại lực

Hình 3

Hình 4

Nếu lực tác dụng tại một điểm nhất định của cơ hệ, và sau đó tại một điểm khác tác dụng lực

sẽ xuất hiện chuyển dịch khả dĩ (Hình 3) Vì tại thời điểm này lực không thay đổi độ lớn nên công khả dĩ được xác định bởi diện tích hình chữ nhật (Hình 4)

Định lý về tính tương hỗ của công khả dĩ ngoại lực đã được chứng minh bởi Enrico Betti Glaoui (1823–1892)

Công khả dĩ của lực ở trạng thái thứ i đối với các chuyển vị ở trạng thái thứ j bằng với công khả dĩ của các lực ở trạng thái thứ j đối với các các chuyển vị ở trạng thái thứ i

Hình 5

Hình 6

(13) Dựa trên nguyên lý bảo toàn năng lượng, ta có:

2.2.2 Công khả dĩ của nội lực

Xét 2 trạng thái làm việc cơ hệ: Trạng thái i: do lực Pi tác dụng gây ra nội lực Mi, Qi, Ni

Trạng thái j: Do lực Pj tác dụng lên phân tố ds gây ra biến dạng khả dĩ:

Công khả dĩ do nội lực trạng thái i đối với các biến dạng khả dĩ của trạng thái j:

(16) Thay (15) vào (16), ta có:

Nếu xét trên toàn hệ với n thanh có chiều dài L, thì (17) có thể được viết lại:

∑ ∫ ( )

Xét 2 trạng thái của hệ:

Hình 7

Hình 8

Cơ hệ chịu tải trọng như Hình 7 gây ra nội lực MP, QP, NP Tác dụng lực đơn vị P=1 như Hình 8 gây ra nội lực ̅, ̅, ̅ Chúng gây ra các biến dạng đơn vị và sinh công khả dĩ:

∑ ∫ ( ̅ ̅ ) ̅

Công khả dĩ được viết lại:

(20)

(21)

Công thức trên được gọi là công thức Mohr [4] dùng để xác định chuyển vị của cơ hệ khi chịu tải trọng

Định lý Maxwell [5]: Chuyển động theo hướng thứ i do lực đơn vị hướng j bằng với chuyển động theo hướng j từ lực đơn vị theo hướng thứ i:

Theo định luật Hooke, đối với một hệ đ n hồi tuyến tính, ta có:

Công thức (23) có thể viết lại:

Theo Mohr:

∑ ∫ ( ̅ ̅)

(26)

Giá trị nội lực xác định theo:

∑ ̅

Để giải các công thức tích phân (25) và (26) của Mohr là phức tạp, giả sử biểu đồ Mi có dạng đường cong bất kỳ như Hình 9

Hình 9

̅ (30) Tích phân theo công thức (25), (26) viết lại:

Với là diện tích vi phân của biểu đồ ̅, ̅ , (31) trở thành:

Từ (32) nhận thấy rằng ∫ là momen tĩnh của diện tích biểu đồ ̅ đối với trục Oy, nên:

thay , (31) viết lại:

Theo công thức (34), tùy dạng tải trọng tác dụng, áp dụng quy tắc Vereshchagin [6] được thiết lập dưới dạng ma trận dưới dạng tổng quát áp dụng cho các trường hợp phần tử chịu tải trọng tập trung (Hình 10) và phân bố đều (Hình 11)

Áp dụng công thức (34), khi đó (25) viết lại:

∑ ∫ ( ̅ ̅)

Trường hợp tải trọng tập trung:

̅ [ ̅̅

]; ̅ * ̅ ̅

Trường hợp tải trọng phân bố đều:

̅ [

̅

̅

̅ ] ; ̅ [

̅

̅

̅ ]; [

]

(37)

3 VÍ DỤ ÁP DỤNG

Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm Cho EI=const, q=const, a=const

Hình 12 Lời giải

Bước 1: Xác định hệ cơ bản (Hình 13), vẽ các biểu đồ đơn vị Mi,j, Qi,j (Hình 14, 15) và MP, QP (Hình 16, 17)

Hình 15: Biểu đồ lực cắt đơn vị Q 1 ;

Hình 17: Biểu đồ lực cắt hệ cơ bản Q P