1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của PQ và tính diện tích tam giác IPQ.. Gọi M là trung điểm AA và N là trung điểm của CC.. Hãy tính độ
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2013
Môn thi: TOÁN
ĐỀ 32
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = 2 1
1
x
x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ
là a Tiếp tuyến tại A của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q Chứng tỏ rằng A là trung điểm của PQ và tính diện tích tam giác IPQ
Câu II: (2điểm)
1) Giải bất phương trình: log ( 32 x 1 6) 1 log (72 10 x)
2) Giải phương trình: sin62 cos62 1tan 2
x
Câu III: (1 điểm) Tính tích phân: I =
4
2 0
2
1 tan
x
x
Câu IV: (1 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một
hình thoi cạnh a, góc BAD = 600 Gọi M là trung điểm AA và N là trung điểm của CC Chứng minh rằng bốn điểm B , M, N, D đồng phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA theo a để tứ giác B MDN là hình vuông
Câu V: (1 điểm) Cho ba số thực a, b, c lớn hơn 1 có tích abc = 8 Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: 1 1 1
P
II PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d
có phương trình 2x – y + 3 = 0 Lập phương trình đường thẳng ( ) qua A và tạo với d một góc α có
cosα 1
10 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(– 1;–3;1) Lập phương trình của mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P): x + y – 2z + 4 = 0
Câu VII.a: (1 điểm) Cho tập hợp X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Từ các chữ số của tập
X có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 1 và 2
B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: ( 2 điểm)
Trang 21) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) và B(3;3), đường thẳng ( ): 3x – 4y + 8 = 0 Lập phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng ( )
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2), D(–1;–3;1) Chứng tỏ A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện và tìm trực tâm của tam giác ABC
Câu VII.b: (1 điểm) Giải hệ phương trình: log log
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu I: 2) Giao điểm I(1; –2). ;2 1
1
a
A a
a
Phương trình tiếp tuyến tại A: y = 1 2
(1 a) (x – a) +
1
a a
Giao điểm của tiệm cận đứng và tiếp tuyến tại A: 1; 2
1
a P
a
Giao điểm của tiệm cận ngang và tiếp tuyến tại A: Q(2a – 1; –2)
Ta có: xP + xQ = 2a = 2xA Vậy A là trung điểm của PQ
Ta có IP = 2 2 2
a
a a ; IQ = 2(a 1) SIPQ =
1
2IP.IQ = 2 (đvdt)
Câu II: 1) Điều kiện: 1 10
2
x
2
x
x
3x 1 6 2(7 10 x ) 3x 1 2 10 x 8 49x2 – 418x + 369 ≤ 0
1 ≤ x ≤ 369
49 (thoả)
2
2x + sin2x – 4 = 0
sin2x = 1
4
Câu III: I =
2
2xe dx x cos xdx = I1 + I2
Tính: I1 =
4
0
2xe dx Đặt x 2
x
dv e dx I1 =
4
2e – 2
e
I2 =
4
0
1 cos 2
2
x
0
8 4
Câu IV: Gọi P là trung điểm của DD A B NP là hình bình hành A P // B N
Trang 3A PDM là hình bình hành A P // MD
B N // MD hay B , M, N, D đồng phẳng
Tứ giác B NDM là hình bình hành Để B’MND là hình vuông thì 2B N2
= B D2 Đặt: y = AA’
2
2 4
y
a y a y = a 2
Câu V: Ta chứng minh: 1 1 2
2
0
a b ab (đúng) Dấu "=" xảy ra a = b
Xét
3
1
P
3
3 1
1 abc Vậy P nhỏ nhất bằng 1 khi a = b = c = 2
Câu VI.a: 1) PT đường thẳng ( ) có dạng: a(x – 2) + b(y +1) = 0 ax + by – 2a + b = 0
Ta có:
cos
10
a b
7a2 – 8ab + b2 = 0 Chon a = 1 b = 1; b = 7
( 1): x + y – 1 = 0 và ( 2): x + 7y + 5 = 0
2) PT mặt cầu (S) có dạng: x2
+ y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (S) qua A: 6a + 2b + 2c – d – 11 = 0
(S) qua B: 2b + 8c – d – 17 = 0
(S) qua C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = 0
Tâm I (P): a + b – 2c + 4 = 0
Giải ra ta được: a = 1, b = –1, c = 2, d = –3
Vậy (S): x2
+ y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0
Câu VII.a: Có 6 tập con có 5 chữ số chứa các số 0; 1; 2
Có 4 tập con có 5 chữ số chứa 1 và 2, nhưng không chứa số 0
Vậy số có các chữ số khác nhau được lập từ các chữ số đã cho bằng:
6(P5 – P4) + 4P5 = 1.056 (số)
Câu VI.b: 1) Tâm I của đường tròn nằm trên đường trung trực d của đoạn AB
d qua M(1; 2) có VTPT là (4; 2)
AB d: 2x + y – 4 = 0 Tâm I(a;4 – 2a)
Ta có IA = d(I,D) 11a 8 5 5a2 10a 10 2a2 – 37a + 93 = 0
3 31 2
a a
Với a = 3 I(3;–2), R = 5 (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25
Với a = 31
2
31
; 27 2
2 (C):
2
2
2) Ta có ( 3;1; 4); 1 ( 1;1;1)
2
PT mặt phẳng (ABC): 3x + y + 2z – 6 = 0 D (ABC ) đpcm
Câu VII.b: Điều kiện: x > 0 và x ≠ 1 và y > 0 và y ≠ 1
Ta có logy xy logx y log2y x logy x 2 0 log 1
y
y
x
x y
Với x = y x = y = log 3 1 2
Với x = 12
y ta có:
2
1
2y 2y 3
theo bất đẳng thức Cô-si suy ra PT vô nghiệm