Chuyên đề Phương pháp giải phương trình mũ docx

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY log... Các phương pháp giải PT mũ thường gặp: 2.1.. Phương pháp đặt ẩn phụ Cũng như PT vô tỉ và lượng giác, để giải PT mũ

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Công thức mũ:

* Các đẳng thức cơ bản:

1) a aα β =aα β+ 2) aαβ =aα β−

a 3) (aα β) =aαβ

4) ( )abα =a bα α 5)

α

 

=

 ÷

b b Vớia b, >0, α β, là những số thực tuỳ ý.

* Cho α β, là các số thực tuỳ ý , ta có:

1) Với a >1 thì aα >aβ ⇔α β> 2) Với 0 < <a 1 thì aα >aβ ⇔α β<

Nhận xét: Với a >0 thì aα =aβ ⇔α β=

* Cho 0 a< <b và số thực m , ta có:

1) a m <b m ⇔m >0 2) a m >b m ⇔m <0

Nhận xét : Với a b, > 0;a ≠b thì aα =bα ⇔α = 0.

* Nếu n là số tự nhiên lẻ thì a n <b n ⇔ <a b, n a <n b⇔ <a bvới mọi a b,

Chú ý :

* Cho số thực a > 0; m n, là hai số nguyên, n > 0: =

m

n m n

* Lũy thừa với số mũ nguyên âm và mũ 0 thì cơ số khác không

* Lũy thừa với số mũ hữu tỉ và số thực thì cơ số dương

2 Công thức Logarit

a Định nghĩa: cho a >0,a ≠1; b > 0 Ta có: loga b =α ⇔aα =b

Ví dụ : log 82 = ⇔ =x 8 2x ⇔ = ⇒x 3 log 82 =3

Ta có kí hiệu: log10a =lga (lô ga thập phân của a) và loge a = lna (loga tự nhiên của a )

b Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:

• log 1a =0 • loga a =1 • log x

a a =x

c Tính chất:

Cho x y, >0; 0< ≠a 1 Ta có:

• log ( )a xy =loga x +loga y • loga x loga x loga y

Chú ý : Nếu xy >0 thì log ( )a xy =log | | log | |a x + a y và loga x log | | log | |a x a y

d Công thức đổi cơ số: Cho 0<a b, ≠1;c > 0, ta có: log log

log

a b

a

c c

b

Từ đó ta có các hệ quả sau:

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY

log log 1 log 1

log

b

a

α

• log = 1 log ,a ≠ 0

• logb c = logb a loga c logb c logb a

α

= và loga n b 1loga b

n

=

3 Hàm số mũ:

a Định nghĩa: Là hàm số có dạng y =a x với a > 0;a ≠1

b Tính chất: Hàm số mũ y =a x (0< ≠a 1) có các tính chất sau

• Tập xác định là ¡ và tập giá trị là (0;+∞)

• Liên tục trên ¡

• a > ⇒ 1 hàm đồng biến, tức là 1 2

1 2

a >a ⇔x >x

• 0 < < ⇒a 1 hàm nghịch biến, tức là 1 2

1 2

a >a ⇔x <x

• Giới hạn :

1 0

1 lim (1 )x lim (1 )x

x

0

1 lim x 1

x

e x

• Đạo hàm: (a x) ' =a x lna ⇒( )e x ' =e x và ( )a u ' =a u u ' lna

4 Hàm số Lôgarit

a Định nghĩa: Là hàm số có dạng y = loga x, trong đó 0< ≠a 1

b Tính chất: Các tính chất của hàm số lôgarit

• Liên tục trên tập xác định D =(0;+∞) và tập giá trị ¡

• a > ⇒ 1 hàm đồng biến⇒loga x1 >loga x2 ⇔x1 >x2 > 0

• 0 < < ⇒a 1 hàm số nghịch biến ⇒ loga x1 >loga x2 ⇔ <0 x1 <x2

• Giới hạn:

0

ln(1 )

x

x x

→

• Đạo hàm: với x≠ 0 ta có (ln | | ') = ⇒1 (log | | ') = 1

ln

a

ln | | 'u u

u

= , u≠ 0

B DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

1 Các phương trình mũ cơ bản:

1.a f x( ) =a g x( ) ⇔ f x( )=g x( ); a,b > 0 2.a f x( ) = ⇔b f x( )= loga b; a,b > 0

3.a f x( ) =b g x( ) ⇔ f x( ) =g x( ) loga b; a,b > 0

Để giải phương trình mũ thì ta phải tìm cách chuyển về các phương trình cơ bản trên

Ví dụ 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau:

1) 2x + −x = 4x− 2) (2+ 3)3x =(2− 3)5x+8

2 2

3) 8 36.3

x

x

x+ = − 4) 2x+1 43 2x−1 3.8 −x =2 2.0, 125

5) 2 4 0.125x x = 4 2 6) 2x2+x −4.2x2−x −22x + =4 0

−1 −2 =

7) 2 3x x 5x 12 8)2x 3x− 1 5x− 2 = 12

x

− +2 = 36 32

8 10) 2 5 6 2

3

3 x + −x = x+

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1)2x +2x+1 +2x+2 = 3x +3x+1+3x+2 2) 32x2+ +x 5 =272x+1

3)5x2− +5x 6 =2x−3 4)2 5x x x1 10

−

=

5) (x2 +3)x2− +5x 4 =(x2 +3)x+4 6)

32 0, 25.128

− = − ( x=10)

7)

2x 2

x

−

 

=

 ÷

  8)

1

2 x x+ 27 5x x =180.

9)4x2− +3x 2 +4x2+ +6x 5 =42x2+ +3x 7 +1 10)2x2− +x 8 = 41 3x−

11) x2 6x 5

2

2 − − = 16 2 12)2x + 2x 1− + 2x 2− = 3x − 3x 1− + 3x 2− 13)2 3 5x x 1− x 2− = 12 14)5x + 5x 1+ + 5x 2+ = 3x + 3x 1+ + 3x 2+

2 Các phương pháp giải PT mũ thường gặp:

2.1 Phương pháp đặt ẩn phụ

Cũng như PT vô tỉ và lượng giác, để giải PT mũ ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ Tức là ta thay thế một biểu thức chứa hàm số mũ bằng một biểu thức chứa ẩn phụ mà ta đặt và chuyển về những phương trình – bất phương trình ma ta đã biết cách giải Phương pháp đặt ẩn phụ rất phong phú và đa dạng, để có được cách đặt ẩn phụ phù hợp thì ta phải nhận xét được quan hệ của các cơ số có trong phương trình

*Dạng 1:F a( f(x))= 0.Với dạng này ta đặt t =a f x( ), t >0(trong đkxđ của f(x)) và chuyển về phương trìnhF t( )= 0, giải tìm nghiệm dương t của phương trình, từ đó ta tìm được x

Ta thường gặp dạng:m a 2 (x)f +n a f x( ) + =p 0

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

1) 2.16x −15.4x − =8 0 2) 4cos 2x +4cos2x − =3 0 3) 9 x2− −2x x −7.3 x2− − −2x x 1 =2

4) 2 x −21− x =1 + + + =

4

2

5) 2.3 x x 9 x 9 x 6) 2x2−x −22+ −x x2 =3

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY

7) 32x −8.3x+ x+4 −9.9 x+4 = 0 8) 23 6.2 3(1 1) 12 1

*Dạng 2: m a f x( ) +n b f x( ) + =p 0, trong đó: ab =1

Với phương trình dạng này ta đặt t a f x( ), t 0 b f x( ) 1

t

Ví dụ 3: Giải các phương trình – bất phương trình sau

1) (5+ 24)x +(5− 24)x =10 2) (7 4 3)+ x −3(2− 3)x + =2 0

3) ( 7 + 48 )x +( 7− 48 )x =14

*Dạng 3: m a 2 ( )f x +n a b.( )f x( ) +p b 2 ( )f x = 0 Với dạng này ta giải như sau

Chia 2 vế phương trình cho b2 ( )f x và đặtt ( )a f x( ), t 0

b

= > Ta có PT:mt2 +nt + =p 0

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau

1) 6.9x −13.6x +6.4x =0 2) 9− + +x2 2x 1−34.152x x− 2 +252x x− +2 1 =0

3) 125x +50x =23x+1 4) 3.8x +4.12x −18x −2.27x =0

Bài tập 2: Giải các PT sau

1)5 x − 51 − x + 4 = 0 2)3x+9.3−x− =10 0

3

3

2

= +

− x+

x

5)

16

5 20 2

2 2

7)( 3 + 5 )x + 16 ( 3 − 5 )x = 2x+3 8)( 7 + 4 3 ) (x − 3 2 − 3 )x + 2 = 0

9)( 7 4 3− ) (x+ 7 4 3+ )x =14 10)( 2 − 3 ) (x + 2 + 3 )x = 4

11)( 5 + 2 6 )tanx + ( 5 − 2 6 )tanx = 10 12)41 /x + 61 /x = 91 /x

13)6 9x − 13 6x + 6 4x = 10 14)5.4x+2.25x−7.10x =0

15)3 4 15 3 4 15 83

x

− + + = 16)92x x− +2 1−34.152x x− 2 +252x x− +2 1=0

1

1

x x

x

−

−

+

+ = − 18)( ) 2 ( ) 2

2

3 5 x x− 3 5 x x− 2+ −x x 0

19)( 3 + 2 2 ) (x = 2 − 1 )x + 3 20)6.92x2 −x−13.62x2 −x+6.42x2 −x =0

21)34x 8+ − 4.32x 5+ + 27 0 = 22)22x 6+ + 2x 7+ − 17 0 =

23)(2 + 3)x + − (2 3)x − = 4 0 24)2.16x − 15.4x − = 8 0

25)(3 + 5)x + 16(3 − 5)x = 2x 3+ 26)(7 4 3) + x − 3(2 − 3)x + = 2 0

27)3.16x + 2.8x = 5.36x 28)2.41x + 61x = 91x

29)82x 23x 3x 12 0

+

− + = 30)3x + 9.3−x − = 10 0

31)5.4x + 2.25x − 7.10x = 0 32)52 x + = 5 5 x 1 + + 5 x

33) −+ =

x

3 1 1 3 34)25.2x − 10x + 5x = 25

35) 9x − 3x 2 + = − 3x 9 36) 5 0

10

1

7 lg sin cos 1

cos 2 sin











+

x x x

2.2 Phương phỏp hàm số

• Nếu hàm số y = f x( ) đồng biến (hoặc nghịch biến) và liờn tục trờn D thỡ phương trỡnh ( ) =k chỉ

cú nhiều nhất một nghiệm

• Nếu hai hàm số y = f x( ) và y =g x( ) cú tớnh đơn điệu trỏi ngược nhau và cựng liờn tục trờn D thỡ phương trỡnh f x( ) =g x( ) chỉ cú nhiều nhất một nghiệm

Hàm số y = ax đồng biến khi a>1 và nghịch biến khi 0<a<1

Hàm số f(x) đơn điệu trên D và u, v thuộc D thì f(u)=f(v) tơng đơng u=v

Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên (a, b) thì ptrình f(x)=0 có tối đa 1 nghiệm trên đó

Vớ dụ 5: Giải cỏc phương trỡnh sau:

1) 4x +3x =5x 2) 3x = −4 x 3) 1) 3.4x +(3x −10)2x + − =3 x 0

4) 2003x +2005x = 4006x +2 5) 3cosx =2cosx +cosx

Bài tập 3: Giải cỏc phương trỡnh sau:

1)34x+8 −4.32x+5 +27 =0 2)22x+6 +2x+7 −17 = 0

3)(2+ 3)x + −(2 3)x − =4 0 4)2.16x −15.4x − =8 0

5)(3+ 5)x +16(3− 5)x =2x+3 6)3.16x +2.8x =5.36x

7)8x2 −23x x+3 +12 =0 8) (7 4 3)+ x −3(2− 3)x + =2 0

9)2.4x1 +6x1 =9x1 10)3x + − =x 4 0

2

11)x (3 2 )x x 2(1 2 )x 0 12) 3x =2x +1

−

 ữ

 

2

3

x x

x x 14) 25x −6.5x + =5 0

15) ( 7 48 )x ( 7 48 )x 14 16) x4 −8e x−1 =x x e( 2 x−1−8)

17) 2x 2x x (x 1) 18) 15x + 1 = 4x

19)2 = 32 + 1

x

x 20)9x = 5x + 4x + 2 20x

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY

21)22x−1 + 32x + 52x+1 = 2x + 3x+1 + 5x+2 22) 2 , 9

5

2 2









 +











23)1 2+ x+ 1+3x+ 1 =6x 24)

x

x

x

x x

x

2

2 2

1

−

=

−

−

−

25)x2 − ( 3 − 2x) ( x + 2 1 − 2x) = 0 26)25.2x−10x+ =5x 25

27)12 3x + 3 15x − 5x+ 1 = 20 28)3x + 4x = 5x

29)x2 − − (3 2 )x 2(1 2 ) 0x + − x = 30)22x 1− + 32x + 52x 1+ = 2x + 3x 1+ + 5x 2+

Bài tập 4: Tìm tất cả các cặp số thực (x;y) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau :

2

3

| 2 3| log 5 ( 4)

3x − − −x =5− +y (1) và 4 | | |y − y −1 | (+ +y 3)2 ≤8 (2).

Bài tập 5: T×m x > 0 t/m bÊt ph¬ng tr×nh

1 2

10 3

−

>

x x

x

./

Đ ề 1:(Đại học KhA)

3x+5x=6x+2

Đ ề 4:

GPT: 2x− 1−2x2−x =(x−1)2

Đ ề 5:

Tìm m để PT sau có nghiệm duy nhất:

m x x x

2

Đ ề 6:

Giải và biện luận:

5x2 + 2mx+ 2−52x2 + 4mx+m+ 2 =x2+2mx+m

Đ ề 10:

GPT: x Log6 ( 3x) −365 x7 =0

Đ ề 11:

2 2

2 2 log 6 log 4

4 x−x = x

Đ ề 37:(Đại học Thuỷ sản;Trang-39)

Giải biện luận: a+2x + a−2x =a

Đ ề 38:(Đại học Lâm nghiệp;Trang-40)

Tìm nghiệm PT: 22 ( 16 ) 2 ( 2 16 ) 1 24

3 2

3 x − + Log x − + =

Log

Đ ề 59:(Đại học Dân lập Đông đô KB-D

;Trang-57) GPT: 32x-1=2+3x-1

Đ ề 69:(CĐ CN HN ;Trang-66)

GPT: 25x-2(3-x)5x+2x-7=0

Đ ề 77:(Học viện KHQS-KD ;Trang-72)

GPT: 3 4 52

x

Đ ề 85:(Trung học nghiệp vụ Du lịch;Trang-80)

GPT: 4Log9x−6.2Log9x+2Log327=0

Đ ề 94:(Đại học Hồng đức;Trang-88) Giải PT:

1 1

1

3

5 x− − x− + − x+ x+ =0

Đ ề 101:(Đại học Dân lập Duy tân-KD;Trang-92)

Cho PT: (k+1)4x+(3k−2)2x+ 1−3k+1=0

1) GPT khi k=3 ?

2) Tìm tất cả các giá trị k để PT trên có 2

nghiệm trái dấu ?

Đ ề 102:(Đại học Dân lập Bình

dương-KD;Trang-92)

Giải PT: 3.4x+2.9x =5.6x

Đ ề 105(Đại học Dân lập KT Công

nghệ-KA+B;Trang-97)

Giải BPT:  3+ 8x+ 3− 8x =6

Đ ề 106(Đại học Dân lập KT Công

nghệ-KD;Trang-98)

Giải PT:  6− 35x+ 6− 35x =12

a) Giải BPT khi m=1?

b) Tìm m để BPT thoả mãn ∀∈R

Giải PT: 4x −6.2x+ 1+32=0

Đ ề 109(Đại học Hùng vương-KD1;Trang-100)

3

26

9x− x+ =

Đ ề 114 :(CĐ SP-Đồng Nai ;Trang-105) Giải PT: −1x2−4x+3 =1

x

Đ ề 4:(Trang-422)

2

1 2

=







 −

−







a

a a

a

Với 0<a<1

Đ ề 9:(Trang-429) Tìm a để 2 PT sau tương đương:

4x+ 1+2x+ 4 =2x+ 2 +16;a−93x− 2+a.9x− 1=1

Đ ề 12:(Trang-)Giải PT:

0 3

) 4 (

2 2

4 x+ 1+ x Sin2y− + +Cos2y=

Đ ề 17:(Trang-441) Giải: 4Sin2x+2.Cos2x =2+ 2

Đ ề 21:(Trang-447) Cho PT:( 5+1) (x +a 5−1)x =2x

a) GPT khi a=1/4?

b) Tìm a để PT có đúng 1 nghiệm ?

Đ ề 25:(Trang-452) Tìm k để PT:

0 ) 2 2

( 2 ) 3 2 ( 4

2 1 2 2 2

−

−x k Log x x x x Log x k

Có 3 nghiệm phân biệt ?

Đ ề 1:(Đại học QG-HN;Trang-3)Giải PT:

x

x Log

+

=

− + +

Đ ề 3:(Đại học QG HN-KD;Trang-18) Giải PT:8.3x+3.2x =64+6x

Đ ề 7:(Đại học SP-HN-KB;Trang-50)

3 x−8.3x+ x+ −9.9 x+ =0

Đ ề 16:(Đại học Thuỷ lợi CS II;Trang-115) Giải PT:22 2 1 9.2 2 22 2 0

= +

x

Đ ề 17:(Đại học Y HN;Trang-123)

2

12 2

1 2

6

23x− x− 3(x−1) + x =

Đ ề 19:(Đại học Cần thơ-KD;Trang-137) GPT:  5+2 6Sinx + 5−2 6Sinx =2

Đ ề 25:(Đại học Thái nguyên-KD;Trang-168)

x

2 3

1+ 2 =

Đ ề 30:(Đại học Đà lạt-KD-AV ;Trang-201) Giải PT:9Cotgx +3Cotgx−2=0

Đ ề 34:(Đại học An ninh;Trang-218) Giải PT: 6,(0,7) 7

100

72

+

x x