TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Sinh viên Hoàng Lê Thu Hằng Lớp Toán 4T Mã sinh viên 13S[.]
Trang 1KHOA TOÁN
TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
CHỦ ĐỀ:
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Sinh viên: Hoàng Lê Thu Hằng Lớp: Toán 4T
Mã sinh viên: 13S1011044 Giáo viên hướng dẫn: Thầy Nguyễn Đăng Minh Phúc
Huế, tháng 4 năm 2017
Trang 2Chủ đề: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng
Bài toán 1: Tính tích phân sau: 𝑰 = ∫ 𝒙 𝐥𝐧 𝒙
(𝒙𝟐+ 𝟏)𝟐𝒅𝒙
𝟑 𝟏
Bài giải:
Đặt {
𝑢 = ln 𝑥
(𝑥2+ 1)2𝑑𝑥 ⇒
{
𝑥
2(𝑥2+ 1)|1
3
3 1
1
1
3 1
1
1
𝑥
𝑥2+ 1) 𝑑𝑥
3 1
1
2ln(𝑥
1 3
1
1
2ln 2)
1
4ln 5
1
4ln 5
Phân tích:
phần, phương pháp đổi biến số để tìm được các nguyên hàm tương ứng, học sinh phải có đầy đủ các kiến thức cơ bản về phép tính đạo hàm của các hàm cơ bản, phép tính đạo hàm đối với hàm hợp
trong bài toán này Sau khi xác định được phương pháp làm (phương pháp tích phân từng phần),
Trang 3học sinh cần phải hiểu được lượng nào sẽ đặt làm 𝑢 và lượng nào đặt làm 𝑑𝑣 để tìm nguyên hàm Sau đó, bằng những kỹ năng tính toán của bản thân, các em sẽ thu được kết quả
Câu hỏi trắc nghiệm:
Câu 1: Tính 𝐼 = ∫ 𝑃(𝑥) ln 𝑥 𝑑𝑥
𝑏 𝑎
(𝑎, 𝑏 ∈ ℝ), trong đó 𝑃(𝑥) là đa thức, bằng phương pháp tích phân từng phần
A Đặt {𝑢 = 𝑃(𝑥)
𝑥
𝑎
𝑏
′(𝑥) 𝑥
𝑏 𝑎
𝑑𝑥
B Đặt {𝑢 = 𝑃(𝑥)
𝑥
𝑃(𝑎)
𝑃(𝑏)
′(𝑥) 𝑥
𝑃(𝑏) 𝑃(𝑎)
𝑑𝑥
C Đặt {𝑑𝑣 = 𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑢 = ln 𝑥 ⟹ {
𝑥𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑄(𝑥)
𝑥
𝑏 𝑎
𝑑𝑥
D Đặt {𝑑𝑣 = 𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑢 = ln 𝑥 ⟹ {
𝑥𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑄(𝑥)
⟹ 𝐼 = ln 𝑥 𝑄(𝑥)|𝑒𝑒 𝑎𝑏 − ∫ 𝑄(𝑥)
𝑥
𝑒𝑏
𝑒𝑎
𝑑𝑥
Đáp án: C
em bị nhẫm lẫn giữa đạo hàm và nguyên hàm dẫn đến việc đặt sai các lượng 𝑢 và 𝑑𝑣 (phương
án nhiễu A, B)
tích phân từng phần ta cũng phải đổi cận như ở phương pháp đổi biến số dẫn đến việc đưa ra kết quả sai (phương án nhiễu B, D)
Câu 2: Tìm nguyên hàm 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑥
(𝑥2+ 1)2𝑑𝑥
𝑥2+ 1+ 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ
2(𝑥2+ 1)+ 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ
Trang 4Đáp án: D
ở đây, học sinh thường mắc phải các sai lầm về kỹ năng đạo hàm, kỹ năng tìm nguyên hàm các hàm cơ bản dẫn đến sai sót (phương án nhiễu A, B, C)
Câu 3: Khi tính tích phân 𝐼 = ∫ 1
3 1
, một học sinh làm như sau:
Bước 1: 1
1
𝑥
𝑥2+ 1
Bước 2: 𝐼 = ∫ (1
𝑥
𝑥2+ 1) 𝑑𝑥
3 1
𝑥2+ 1|1
3
Bước 3: 𝐼 = ln 3
1
2= ln 3 − ln 5
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A Sai từ Bước 1 B Sai từ Bước 2 C Sai từ Bước 3 D Đúng
Đáp án: B
Học sinh thường thiếu giá trị 1
𝑥
𝑥2+ 1 dẫn đến sai sót trong quá trình làm bài (phương án nhiễu D)
Bài toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝒚 = |𝒙𝟐− 𝟒𝒙 + 𝟑|
và đường thẳng 𝒅: 𝒚 = 𝒙 + 𝟑
Bài giải:
Gọi 𝑆 là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
Gọi 𝑆1 và 𝑆2 lần lượt là phần diện tích hình phẳng giới hạn
𝑥 + 3 và trục hoành
Suy ra: 𝑆 = 𝑆1− 2𝑆2
Ta có:
Trang 5 𝑥2− 4𝑥 + 3 = 𝑥 + 3 ⟺ 𝑥2− 5𝑥 = 0 ⟺ [𝑥 = 0
𝑥 = 5 Suy ra: 𝑆1 = ∫ |(𝑥2 − 4𝑥 + 3) − (𝑥 + 3)|𝑑𝑥
5 0
5 0
5 0
2
𝑥3
3)|
0 5
6
𝑥 = 3 Suy ra: 𝑆2 = ∫ |𝑥2− 4𝑥 + 3|𝑑𝑥
3 1
3 1
𝑑𝑥
3
1 3
3
4
109
Phân tích:
đường thẳng 𝑑: 𝑦 = 𝑥 − 3, ta cần xác định được phần hình phẳng đó trên mặt phẳng tọa độ Do
đó, việc vẽ được đồ thị hai hàm số này đóng vai trò quan trọng trong việc định hướng giải quyết bài toán
quan sát, tư duy, suy luận để tìm được cách tính sao cho hợp lý, dễ dàng và thuận tiện
Trang 6Ngoài ra, học sinh cần phải hiểu được cách tính một tích phân có chứa giá trị tuyệt đối, biết xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối phục vụ cho việc tính toán được chính xác
Câu hỏi trắc nghiệm:
Câu 1: Đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) được cho như hình vẽ:
Trang 7Đáp án: B
hiểu rõ bản chất của mỗi loại hàm số (phương án nhiễu A) Cũng vì chưa hiểu rõ bản chất của hàm số 𝑦 = |𝑓(𝑥)| mà học sinh có những cách vẽ hình không đúng (phương án nhiều C, D)
Câu 2: Cho hai hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) và y= 𝑔(𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏] Gọi 𝐷 là phần hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đó và các đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (𝑎 < 𝑏) Gọi
𝑆𝐷 là diện tích của hình phẳng 𝐷 Lúc đó, 𝑆𝐷 được biểu diễn theo công thức nào?
𝑏 𝑎
𝑏 𝑎
𝑏 𝑎
𝑏 𝑎
Đáp án: B
tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số là máy móc, dẫn đến việc bị nhầm lẫn giữa hai phép tính cộng và trừ (thay vì tính 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥), học sinh lại tính 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) (phương án nhiễu A, C)
vào trong dấu giá trị tuyệt đối Từ đó, học sinh đưa ra kết quả sai (phương án nhiễu C, D)
Câu 3: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏] Gọi 𝐷 là phần hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (như hình
vẽ dưới đây)