1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ KHOA TOÁN Sinh viên thực hiện Trần Mỹ Kỳ Duyên MÔN HỌC ĐÁNH GIÁ TRONG GIÁO DỤC TOÁN Giảng viên hướng dẫn Nguyễn Đăng Minh Phúc Lớp Toán 4T Huế, tháng 04 nă[.]
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ
KHOA TOÁN
Sinh viên thực hiện: Trần Mỹ Kỳ Duyên
MÔN HỌC: ĐÁNH GIÁ TRONG GIÁO DỤC TOÁN
Huế, tháng 04 năm 2017
Trang 2§2 CÁCH VIẾT CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
KHÁCH QUAN
ĐỀ TÀI BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN CÁC MẶT TRÒN XOAY
Câu 1 Một lọ nước hoa thương hiệu Chloé được thiết kế như sau: vỏ là dạng hình nón
có đỉnh 𝑆 và đáy là hình tròn tâm 𝑂, bán kính 𝑅, chiều cao của hình nón là ℎ; phần chứa dung dịch nước hoa lại là hình trụ nội tiếp hình nón trên Hỏi các nhà thiết kế nên thiết kế như thế nào để vỏ nước hoa vẫn là hình nón như trên mà lọ nước hoa có thể chứa được nhiều dung dịch nước hoa nhất?
Giải
Giả sử ta có hình trụ nội tiếp hình nón như hình vẽ
Đặt 𝑂𝐻 = 𝑥 là chiều cao của hình trụ (0 < 𝑥 < ℎ)
Gọi 𝑟 là bán kính đường tròn đáy của hình trụ, 𝑉 là thể tích khối trụ
Trang 3Xét tam giác 𝑆𝑂𝐴 vuông tại 𝑂, ta có:
𝑟
𝑆𝐻
𝑆𝑂−𝑂𝐻
ℎ−𝑥 ℎ
Suy ra: 𝑟 = 𝑅(ℎ−𝑥)
ℎ Thể tích của khối trụ được tính bởi công thức
𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ′ = 𝜋 (𝑅(ℎ−𝑥)ℎ )2. 𝑥 = 𝜋𝑅2
ℎ2 (ℎ − 𝑥)2 𝑥 Đưa bài toán đã cho trở thành bài toán: Tìm mối liên hệ giữa ℎ và 𝑥 để thể tích khối trụ là lớn nhất?
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm ℎ − 𝑥, ℎ − 𝑥, 2𝑥 ta có:
ℎ − 𝑥 + ℎ − 𝑥 + 2𝑥
3
Suy ra: (ℎ − 𝑥)2 2𝑥 ≤ (2ℎ)
3
27 ⟹ (ℎ − 𝑥)2 𝑥 ≤
4ℎ3 27
Do đó, ta có: 𝑉 ≤ 𝜋𝑅2
ℎ2 .4ℎ273 = 4𝜋𝑅2ℎ
27
Vậy 𝑉 đạt giá trị lớn nhất là bằng 4𝜋𝑅2ℎ
27 khi và chỉ khi ℎ − 𝑥 = 2𝑥 ⟺ 𝑥 =
ℎ
3
Vậy các nhà thiết kế phải thiết kế hình trụ nội tiếp hình nón đã cho với tỉ lệ chiều cao hình trụ và chiều cao hình nón là bằng 1
3.
Phân tích
Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh là sử dụng các thông tin mà bài toán cho để
thành lập một mô hình toán Bước này liên quan đến khả năng tưởng tượng của các
em học sinh, liên quan đến kiến thức cũng như hiểu biết của các em về hình dạng của hình nón, hình trụ cũng như hình trụ nội tiếp hình nón Ở bước này tối thiểu các em phải tưởng tượng được hình dạng mô hình toán mà bài toán đặt ra Giả sử rằng học sinh có đủ kiến thức và khả năng này thì em đó sẽ vẽ một mô hình như sau
Trang 4Sau đó, học sinh phải nhận ra rằng em phải đưa bài toán đã cho về bài toán liên quan đến các mặt tròn xoay, cụ thể ở đây là chỉ ra được hình trụ nội tiếp hình nón có đỉnh 𝑆 và đáy là hình tròn tâm 𝑂, bán kính 𝑅, chiều cao của hình nón là ℎ sao cho khối trụ có thể tích lớn nhất
Học sinh phải nhận ra rằng em phải có những thông tin nào để tính thể tích của khối trụ và so sánh xem đề bài đã cho những gì Nếu đề bài không cho thì chúng ta phải biết đặt ẩn phụ rồi tìm các mối liên hệ với các thông tin đề bài đã cho Rồi học sinh phải gọi ra được công thức tính thể tích khối trụ là: 𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ với ℎ là chiều cao của hình trụ, 𝑟 là bán kính đường tròn đáy của hình trụ
Học sinh biến đổi công thức này về dạng thích hợp, cố gắng biến đổi để tất cả đều được biểu diễn theo các thông tin mà đề đã cho và cuối cùng là tiến hành làm bài toán bất đẳng thức: tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 𝑉 Ở đó khả năng giải các bài toán liên quan đến bất đẳng thức của học sinh sẽ được bộc lộ, mà cụ thể là kĩ thuật biến đổi tương đương, kĩ thuật phân tích hằng đẳng thức, kĩ thuật thêm bớt hằng số,…
Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương đương
Giả sử những bước cơ bản đầu tiên học sinh đều đã thực hiện được, những bước đầu tiên chỉ kiểm tra được khả năng tương tượng cũng như đọc hiểu đề của học sinh Đồng thời cũng kiểm tra khả năng thể hiện câu hỏi bằng lời thành hình vẽ
Tiếp theo, bài toán kiểm tra khả năng nhớ của học sinh về công thức tính thể tích của các mặt tròn xoay, cụ thể là thể tích của khối trụ Ta có thể xây dựng một câu hỏi trắc nghiệm để kiểm tra khả năng đó như sau:
Trang 5Ví dụ 1 Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn (𝑂, 𝑅) và (𝑂′, 𝑅), hình trụ có chiều cao là ℎ Gọi 𝑉 là thể tích của khối trụ đã cho Hãy viết công thức tính 𝑉?
3 𝜋𝑅2ℎ
Câu hỏi này chỉ ở mức độ nhận biết, với câu hỏi này học sinh chỉ cần nhớ kiến thức liên quan đến thể tích của khối trụ thì có thể dễ dàng chọn được đáp án chính xác là đáp án C Tuy nhiên vẫn sẽ có học sinh chọn các phương án nhiễu, đặc biệt là phương án D, vì khi nhắc đến thể tích các em thường hay làm là
3 𝑆đá𝑦 ℎ.
Bước tiếp theo của bài toán là khả năng giải quyết các bài toán liên quan đến hình học phẳng, cụ thể là giải bài toán trong tam giác 𝑆𝑂𝐴 vuông tại 𝑂 Tương tự, ở đây ta cũng có thể viết những câu hỏi trắc nghiệm khách quan liên quan đến khía cạnh này để kiểm tra khả năng đó của học sinh
Ví dụ 2 Cho các tam giác I, II, III, IV sau đây:
Trang 6Cho mệnh đề sau: Trong các tam giác I, II, III, IV thì tam giác có đủ thông tin để tính
độ dài đoạn 𝐻𝐵 là:
(1) Chỉ có hai tam giác I, II
(2) Chỉ có ba tam giác I, II, III
(3) Chỉ có hai tam giác III, IV
(4) Cả bốn tam giác I, II, III, IV
Số mệnh đề đúng là:
Câu trả lời là cả bốn tam giác I, II, II, IV đều có đủ thông tin để tính độ dài đoạn 𝐻𝐵 Vậy phương án trả lời chính xác là phương án A: chỉ có mệnh đề (4) là mệnh đề đúng
Ở câu hỏi này, học sinh chỉ cần chú ý trong tam giác 𝑆𝑂𝐴 vuông tại 𝑂 có 𝐻𝐵//𝑂𝐴 thì
có thể trả lời được câu hỏi này
Tuy nhiên phương án nhiễu ở câu hỏi này sẽ làm cho học sinh dễ nhầm lẫn, đặc biệt là khi chỉ đọc qua loa câu hỏi, học sinh sẽ chọn sai phương án trả lời
Bước tiếp theo là khả năng biểu diễn các thông tin đề cho về dạng kí hiệu và tìm
ra mối liên hệ giữa các thông tin đề đã cho và những thông tin bài toán hỏi Ta có thể xây dưng câu hỏi trắc nhiệm khách quan như sau:
𝐻, 𝐵 lần lượt thuộc cạnh 𝑆𝑂, 𝑆𝐴 sao cho 𝐻𝐵//𝑂𝐴 Đặt 𝑂𝐻 = 𝑥 (0 < 𝑥 < ℎ) Độ dài của đoạn 𝐻𝐵 được biểu diễn bởi biểu thức là:
A 𝑟 = 𝑅(ℎ−𝑥)
ℎ−𝑥
𝑅𝑥 ℎ Phương án trả lời là phương án A Ở câu hỏi này, học sinh cần áp dụng định lí Thales trong tam giác 𝑆𝑂𝐴 thì học sinh sẽ chỉ ra được biểu thức biểu diễn độ dài của đoạn
𝐻𝐵
Trong các phương án nhiễu của câu hỏi này thì phương án D học sinh sẽ dễ nhầm lẫn nhất, vì nếu học sinh không để ý 𝑆𝐻 = 𝑆𝑂 − 𝑂𝐻 thì sẽ chọn đáp án D là câu trả lời Tuy nhiên, các phương án nhiễu còn lại là phương án B và C cũng sẽ làm cho học sinh nhầm lẫn, vì sẽ có học sinh biến đổi nhầm hoặc áp dụng định lý Thales trong tam giác sai dẫn đến chọn phương án sai
Trang 7Phương án đúng là phương án A 𝑟 = 𝑅(ℎ−𝑥)
ℎ
Xét tam giác 𝑆𝑂𝐴 vuông tại 𝑂, ta có: 𝐻𝐵//𝑂𝐴
Suy ra:
𝑟
𝑆𝐻
𝑆𝑂−𝑂𝐻
ℎ−𝑥 ℎ Suy ra: 𝑟 = 𝑅(ℎ−𝑥)
ℎ
Tiếp đến là khả năng về giải các bài toán liên quan đến bất đẳng thức của học sinh Các bài toán liên quan đến bất đẳng thức thường sẽ gây ra rất nhiều khó khăn cho học sinh trong việc đi tìm cách giải quyết bài toán Ta sẽ kiểm tra các kiến thức của học sinh về bất đẳng thức thông qua các câu hỏi trắc nghiệm khách quan sau:
Ví dụ 3 Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Bất đẳng thức sai là:
A 𝑎3+𝑏3+𝑐3
3
C (𝑎+𝑏+𝑐)3
𝑎3+𝑏3+𝑐3
Ở câu hỏi này đòi hỏi học sinh phải nắm rõ bất đẳng thức Cauchy cho ba số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Phương án trả lời của câu hỏi này là phương án D
Trong các phương án nhiễu thì phương án A sẽ được rất nhiều học sinh lựa chọn vì học sinh thường nhầm lẫn hoặc không chắc chắn phương án A có đúng hay không?
Đa số học sinh sẽ nghĩ mẫu của phân số phải là 27 mới đúng nên học sinh thường chọn bất đẳng thức sai là phương án A, còn phương án D là bất đẳng thức đúng
Bước cuối cùng là khả năng giải quyết bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức bằng việc áp dụng các bất đẳng thức đã học, phổ biến nhất là bất đẳng thức Cauchy hoặc bất đẳng thức Bunyakovsky Ta có thể xây dựng câu hỏi trắc nghiệm để kiểm tra khả năng đó: