Từ câu hỏi truyền thống đến trắc nghiệm khách quan chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN ********** VÕ THỊ VÂN HÒA TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG (PHẦN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG) HỌC PHẦN LÝ[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

KHOA TOÁN

**********

VÕ THỊ VÂN HÒA

TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

CHỦ ĐỀ:

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

(PHẦN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG)

HỌC PHẦN

LÝ LUẬN DẠY HỌC TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐÁNH GIÁ TRONG GIÁO DỤC TOÁN

Huế, tháng 4 năm 2017

VÕ THỊ VÂN HÒA 1

Mở đầu

Câu hỏi trắc nghiệm khách quan đã thể hiện nhiều ưu điểm trong đánh giá khả năng toán của học sinh như đo lường các quá trình tư duy cao hơn, đo lường sự áp dụng trong những tình huống mới tốt hơn so với câu hỏi tự luận Ngoài ra, trắc nghiệm khách quan còn cung cấp các đơn vị kiến thức trên diện rộng, tương đối đủ

và phù hợp với mục tiêu giáo dục toán Vì vậy, việc chuyển từ câu hỏi truyền thống sang câu hỏi trắc nghiệm khách quan sẽ phát huy những ưu điểm trên, đồng thời hạn chế những khuyết điểm của câu hỏi truyền thống

Một số bài toán minh họa

Bài 1: Cho tam giác 𝑨𝑩𝑪, 𝑴(𝟏; 𝟐), 𝑵(𝟎; 𝟐), 𝑷(𝟐; 𝟑) lần lượt là trung điểm của

𝑨𝑩, 𝑩𝑪, 𝑪𝑨 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác

Giải:

Cách 1: 𝑀𝑃, 𝑃𝑁, 𝑁𝑀 là các đường trung bình

của tam giác 𝐴𝐵𝐶 nên ta có:

𝑀𝑃 ∥ 𝑁𝐶 𝑃𝑁 ∥ 𝑀𝐵 𝑁𝑀 ∥ 𝑃𝐴

𝑀𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 1) 𝑛⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1; 1) 𝐵𝐶

𝑁𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 0) 𝑛⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0; 1) 𝐴𝐶

𝑃𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−2; −1) 𝑛⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; −2) 𝐴𝐵

Phương trình tổng quát của đường thẳng 𝐵𝐶 đi qua 𝑁(0; 2) và nhận 𝑛⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1; 1) 𝐵𝐶 làm vector pháp tuyến là: −𝑥 + 𝑦 − 2 = 0

Phương trình tổng quát của đường thẳng 𝐴𝐵 đi qua 𝑀(1; 2) và nhận 𝑛⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; −2) 𝐴𝐵 làm vector pháp tuyến là: 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0

Phương trình tổng quát của đường thẳng 𝐴𝐶 đi qua 𝑃(2; 3) và nhận 𝑛⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0; 1) 𝐴𝐶 làm vector pháp tuyến là: 𝑦 − 3 = 0

Vì 𝐴 là giao điểm của 𝐴𝐵 và 𝐴𝐶 nên tọa độ điểm 𝐴 là nghiệm của hệ {𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0 𝑦 − 3 = 0 ⇔ {𝑥 = 3𝑦 = 3

VÕ THỊ VÂN HÒA 2

Vậy 𝐴(3; 3)

Vì 𝐵 là giao điểm của 𝐴𝐵 và 𝐵𝐶 nên tọa độ điểm 𝐵 là nghiệm của hệ { 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0−𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 ⇔ {𝑥 = −1

𝑦 = 1 Vậy 𝐵(−1; 1)

Vì 𝐶 là giao điểm của 𝐵𝐶 và 𝐴𝐶 nên tọa độ điểm 𝐶 là nghiệm của hệ { 𝑦 − 3 = 0−𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 ⇔ {𝑥 = 1𝑦 = 3

Vậy 𝐶(1; 3)

Cách 2: 𝑀𝑃, 𝑃𝑁, 𝑁𝑀 là các đường trung bình của tam giác 𝐴𝐵𝐶 nên ta có:

𝑀𝑃 ∥ 𝑁𝐶, 𝑀𝑃 = 𝑁𝐶 𝑃𝑁 ∥ 𝑀𝐵, 𝑃𝑁 = 𝑀𝐵 𝑁𝑀 ∥ 𝑃𝐴, 𝑁𝑀 = 𝑃𝐴

𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 1) 𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥𝐶; 𝑦𝐶 − 2)

𝑁𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 0) 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥𝐴− 2; 𝑦𝐴 − 3)

𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−2; −1) 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥𝐵 − 1; 𝑦𝐵 − 2)

𝑁𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ {𝑥𝐶 = 1

𝑦𝐶 − 2 = 1⇔ {

𝑥𝐶 = 1

𝑦𝐶 = 3 Vậy 𝐶(1; 3)

𝑃𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑁𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ {𝑥𝐴 − 2 = 1

𝑦𝐴 − 3 = 0 ⇔ {

𝑥𝐴 = 3

𝑦𝐴 = 3 Vậy 𝐴(3; 3)

𝑀𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ {𝑥𝐵 − 1 = −2

𝑦𝐵 − 2 = −1 ⇔ {

𝑥𝐵 = −1

𝑦𝐵 = 1 Vậy 𝐵(−1; 1)

Cách 3: 𝐴(𝑥𝐴; 𝑦𝐴) 𝐵(𝑥𝐵; 𝑦𝐵) 𝐶(𝑥𝐶; 𝑦𝐶)

{𝑥𝑦𝐴 + 𝑥𝐵 = 2

𝐴 + 𝑦𝐵 = 4 (I) {

𝑥𝐴 + 𝑥𝐶 = 4

𝑦𝐴 + 𝑦𝐶 = 6 (II) {

𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 = 0

𝑦𝐵 + 𝑦𝐶 = 4 (III)

VÕ THỊ VÂN HÒA 3

Từ (I), (II), (III), suy ra

{

𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 = 0

𝑥𝐵 − 𝑥𝐶 = −2

𝑦𝐵 + 𝑦𝐶 = 4

𝑦𝐵 − 𝑦𝐶 = −2

𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 = 2

𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 = 4

⇔ {

𝑥𝐵 = −1

𝑦𝐵 = 1

𝑥𝐶 = 1

𝑦𝐶 = 3

𝑥𝐴 = 3

𝑦𝐴 = 3 Vậy 𝐴(3; 3), 𝐵(−1; 1), 𝐶(1; 3)

Cách 4: 𝑀𝑃, 𝑃𝑁, 𝑁𝑀 là các đường trung bình của tam giác 𝐴𝐵𝐶 nên ta có:

𝑀𝑃 ∥ 𝑁𝐶, 𝑀𝑃 = 𝑁𝐶 𝑃𝑁 ∥ 𝑀𝐵, 𝑃𝑁 = 𝑀𝐵 𝑁𝑀 ∥ 𝑃𝐴, 𝑁𝑀 = 𝑃𝐴

Suy ra 𝐴𝑀𝑁𝑃, 𝐵𝑁𝑃𝑀, 𝐶𝑃𝑀𝑁 là các hình bình hành

𝑀𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 1) 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1; 0) 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥 − 1; 𝑦 − 2) 𝑃𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1; −1) 𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−2; −1) 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥 − 2; 𝑦 − 3)

𝑁𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 0) 𝑁𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2; 1) 𝑁𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥; 𝑦 − 2)

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta được:

𝑀𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ {𝑥 − 1 = 0𝑦 − 2 = 1⇔ {𝑥 = 1𝑦 = 3

Vậy 𝐶(1; 3)

Tương tự ta tính được 𝐴(3; 3), 𝐵(−1; 1)

Bài toán này có khá nhiều cách giải, trong đó mỗi cách thể hiện một hoặc hai nội dung kiến thức và kỹ thuật giải toán Chẳng hạn, cách 4 dùng kiến thức về đường trung bình và quy tắc hình bình hành, còn cách 3 chỉ sử dụng quy tắc trung điểm Khi làm bài toán tự luận này, học sinh chỉ lựa chọn giải theo một cách nhất định và

ta cũng chỉ kiểm tra được một kỹ thuật nào đó, ví dụ như cách 3 ta chỉ biết học sinh dùng quy tắc trung điểm Trong lúc đó, còn nhiều kỹ thuật ở những cách giải khác nữa, ví dụ như ta muốn kiểm tra kỹ thuật viết phương trình đường thẳng ở cách 1, kiến thức về hai vector bằng nhau ở cách 2 Ở đây, các câu hỏi trắc nghiệm sẽ phát huy tác dụng của mình

Hoặc là, trong trường hợp cách 1, 2, 4, học sinh cần sử dụng tính chất đường trung bình Nếu không nhớ hoặc nhầm lẫn tính chất này thì học sinh không thể làm

VÕ THỊ VÂN HÒA 4

tiếp bài toán được, ta cũng không thể biết học sinh có làm được các kỹ thuật, kiến thức ở phần sau hay không Trắc nghiệm khách quan sẽ cho ta cơ hội tìm ra ở phần nào của bài toán thì học sinh có thể là được Tận dụng cả bốn cách giải trên, ta có thể đặt ra các câu hỏi trắc nghiệm tương ứng nhằm kiểm tra nhiều kiến thức, kỹ thuật hơn Cụ thể, ta có những câu hỏi trắc nghiệm sau

Những câu hỏi trắc nghiệm tương ứng

Câu 1: Đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh của tam giác có tính chất nào sau

đây?

A Định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng bằng nhau

B Có độ dài bằng nửa cạnh thứ ba

C Là đường trung tuyến của tam giác đó

D Song song với cạnh thứ ba

Để chọn được đáp án đúng là D, học sinh cần biết định nghĩa và tính chất của đường trung bình

Phương án A, B, C gây nhiễu cho những học sinh không học kĩ kiến thức, nhớ mang máng các tính chất

Câu 2: Cho đường thẳng 𝑑 có vectơ chỉ phương 𝑢⃗ = (−2; −1) Hãy tìm một vectơ pháp tuyến của nó

A 𝑛⃗ = (−2; 4) B 𝑛⃗ = (−4; −2) C 𝑛⃗ = (−1; −2) D 𝑛⃗ = (1; 2)

Để chọn được đáp án đúng là A, học sinh phải biết quy tắc đổi tọa độ vector chỉ phương sang vector pháp tuyến và lưu ý nếu 𝑛⃗ là vector pháp tuyến thì 𝑘𝑛⃗ cũng

là vector pháp tuyến

Phương án C, D gây nhiễu cho những học sinh không biết cách đổi tọa độ vector chỉ phương sang vector pháp tuyến, nhầm dấu

Câu 3: Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng 𝑑 đi qua điểm 𝑀(1; 2) và có vectơ pháp tuyến 𝑛⃗ = (1; −2)?

A 2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 B 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0 C 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0 D 2𝑥 − 𝑦 = 0

Để chọn được đáp án đúng là B, học sinh phải biết viết phương trình tổng quát của đường thẳng

VÕ THỊ VÂN HÒA 5

Phương án C gây nhiễu cho những học sinh nhầm lẫn giữa điểm và vector, phương án A gây nhiễu cho những học sinh nhầm lẫn giữa vector pháp tuyến và vector chỉ phương

độ điểm 𝐼

A 𝐼(1; 3) B 𝐼(1; 2) C 𝐼(−1; 1) D Không tồn tại 𝐼

Để chọn được đáp án đúng là C, học sinh phải biết vị trí tương đối của hai đường thẳng và kỹ năng giải hệ phương trình

Phương án A, B gây nhiễu cho những học sinh sử dụng phương pháp thế tọa

độ điểm vào phương trình, học sinh có thể đưa ra những kết luận vội vàng khi tọa

độ điểm thỏa một phương trình

Câu 5: Hai vector nào sau đây là hai vector bằng nhau?

A 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ B 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗

C 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ D 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑁𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Để chọn được đáp án đúng là A, học sinh phải biết kiến thức về vector và điều kiện để hai vector bằng nhau

Phương án B, C, D gây nhiễu những học sinh chưa hiểu điều kiện để hai vector bằng nhau là phải cùng hướng (phương án B, D) và cùng độ dài (phương án C)

Câu 6: Cho 𝑀 là trung điểm của 𝐴𝐵, biểu thức tọa độ nào sau đây được biểu diễn đúng?

A.{𝑦𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 = 𝑥𝑀

𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 = 2𝑥𝑀

𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 = 2𝑦𝑀 C.{

2𝑥𝐴+ 2𝑥𝐵 = 𝑥𝑀 2𝑦𝐴+ 2𝑦𝐵 = 𝑦𝑀 D.{

𝑥𝐴 + 𝑥𝑀 = 2𝑥𝐵

𝑦𝐴 + 𝑦𝑀 = 2𝑦𝐵

Để chọn được đáp án đúng là B, học sinh cần biết biểu thức tính tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

Phương án A, C gây nhiễu cho những học sinh không nhớ hoặc nhớ mang máng biểu thức tọa độ, nếu học sinh nhầm lẫn giữa vị trí các điểm thì có thể chọn phương án D

VÕ THỊ VÂN HÒA 6

Câu 7: Cho 𝑀𝑁𝑃𝑄 là hình bình hành Biểu thức vector

nào sau đây đúng?

A 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ B 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑁𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗

C 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ D 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Để chọn được đáp án đúng là C, học sinh cần hiểu quy tắc hình bình hành Phương án A, B, D gây nhiễu cho những học sinh không hiểu quy tắc hình bình hành, nhầm lẫn giữa các quy tắc trung điểm (phương án D) hay quy tắc trọng tâm (phương án A), hoặc áp dụng sai quy tắc ba điểm (phương án B)

Tóm lại, để làm được những câu trắc nghiệm khách quan, học sinh cần nắm vững kiến thức và những kỹ năng tính toán cơ bản, điều đó giúp các em hạn chế sa vào những phương án nhiễu, tiết kiệm thời gian làm bài và hiệu quả bài kiểm tra cao hơn

Bài 2: Cho hình bình hành có tọa độ một đỉnh là (𝟒; 𝟎) Biết phương trình các

đường thẳng chứa hai cạnh là 𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟎 và 𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟐 = 𝟎 Tìm tọa độ ba đỉnh còn lại của hình bình hành đó

Giải: Gọi 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 là bốn đỉnh của

hình bình hành

Vì 𝐶 là giao điểm của 𝐵𝐶 và 𝐷𝐶 nên

tọa độ điểm 𝐶 là nghiệm của hệ

{ 𝑥 − 3𝑦 = 0

2𝑥 − 5𝑦 + 2 = 0 ⇔ {

𝑥 = −6

𝑦 = −2 Vậy 𝐶(−6; −2)

Trước khi bắt tay vào giải bài toán này, học sinh cần vẽ hình để xác định vị trí các điểm và đường thẳng mà đề bài cho Học sinh có thể chọn cách vẽ các dữ kiện trên hệ trục tọa độ 𝑂𝑥𝑦 Nhưng thật mất thời gian và phải thật chính xác Thay vào

đó, học sinh có thể xét xem điểm (4; 0) có nằm trên các đường thẳng 𝑥 − 3𝑦 = 0

và 2𝑥 − 5𝑦 + 2 = 0 hay không và các đường thẳng đó có cắt nhau hay không, từ đó xác định được vị trí của điểm, đường thẳng ứng với phần nào của hình bình hành Tiếp tục bài toán, ta có thể giải theo các cách sau