Từ câu hỏi truyền thống đến trắc nghiệm khách quan chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN  HỒ THỊ ĐỨC THẢO TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Huế, tháng 4 năm 2017 Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T 2[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

KHOA TOÁN

- -

HỒ THỊ ĐỨC THẢO

TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

CHỦ ĐỀ:

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG

KHÔNG GIAN

Huế, tháng 4 năm 2017

Bài toán 1:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ( 4; 2;4)A   và

đường thẳng

3 2

1 4











  

  

Bài giải:

Cách 1: Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )P và ( )Q , trong đó ( )P là mặt phẳng đi qua A và chứa d , ( )Q là mặt phẳng đi qua A và

vuông góc với d

Đường thẳng d đi qua ( 3 ; 1 ; 1) B   và có vectơ chỉ phương u(2 ; 1 ; 4)

Ta có: AB(1 ; 3 ; 5)

7

n  u AB   Mặt phẳng ( )P đi qua A( 4 ; 2 ; 4)  và nhận n(1 ; 2 ; 1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

1(x 4) 2(y 2) 1(z 4) 0 hay x2y  z 4 0

Vì ( )Q d nên ( )Q nhận u(2 ; 1 ; 4) làm vectơ pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng ( )Q là:

2(x 4) 1(y 2) 4(z 4) 0 hay 2x y 4z100

( )P ( )Q



1 3 2 3

  



  



  



Cách 2: Vì  đi qua A và vuông góc với d nên phải nằm trong mặt phẳng ( )P đi qua A và vuông góc với d

Mặt phẳng ( )P nhận vecto chỉ phương u(2 ; 1 ; 4) của d làm vectơ pháp

tuyến

Phương trình của mặt phẳng ( )P là: 2 x y 4z100

Gọi M  d ( )P thì M( 3 2 ;1  t   t; 1 4 )t d và M

Vậy M( 1;0;3)

x  y  z



Cách 3: Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên d thì Md

Suy ra: M( 3 2 ;1  t   t; 1 4 )t

Khi đó: AM  (1 2 ;3t   t; 5 4 )t

Ta có: AM  d AM u  0 2(1 2 ) 1(3 t     t) 4( 5 4 )t   0 t 1

x  y  z



Phân tích: Bài toán này có nhiều cách giải, học sinh có thể viết phương trình

đường thẳng  là giao tuyến của 2 mặt phẳng( )P và ( ) Q , trong đó mp ( ) P chứa

A và d , mp ( ) Q chứa A và vuông góc với d (cách 1) hoặc xác định giao điểm

M của  và d rồi lập phương trình  đi qua A và M (cách 2 và 3) Nếu học

sinh thất bại ngay từ bước xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng d dựa

trên phương trình tham số đề cho thì câu hỏi tự luận sẽ không thể cho ta biết điều

gì về khả năng của học sinh về các khía cạnh khác của câu hỏi

Các cách giải khác nhau kiểm tra học sinh nhiều kiến thức và kỹ năng như cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng khi biết phương trình tham số, viết phương trình mặt phẳng khi biết tọa độ điểm đi qua và vectơ pháp tuyến hoặc hai vectơ chỉ phương, chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn khác nhau của phương trình đường thẳng

Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương ứng:

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

1 2 1 2 3 5

z

 











3

C.a6; 1;0  D. 2; 1;5

3

Đáp án: C

Phân tích: Để chọn được phương án đúng thì học sinh cần biết được cách tìm

vectơ chỉ phương của đường thẳng khi biết phương trình tham số và các vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với nhau, đây cũng là điểm mà học sinh

có thể không chú ý

3

u  

này lại không trùng với cả 4 phương án câu hỏi đưa ra, dẫn đến việc học sinh

6; 1;0

ra dựa trên việc học sinh có thể nhầm lẫn tọa độ điểm mà đường thẳng đi qua (tương ứng với hệ số tự do) với tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng (tương ứng với hệ số của tham số t)

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(4 ; 3 ; 1) và có vectơ pháp tuyến n(2 ; 3 ; 4) là phương trình nào trong các phương trình sau đây?

A 2x3y4z130 B 4x3y z 130

C 2x3y4z130 D 2x3y4z 9 0

Đáp án: A

Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh cần nhớ được phương trình

mặt phẳng đi qua điểm M x y z( ;0 0; )0 có vectơ pháp tuyến n ( ; ; )a b c là:

a xx b y y c zz 

Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể nhầm lẫn tọa độ

điểm M với tọa độ vectơ pháp tuyến (phương án B), hay sai sót, bất cẩn trong

quá trình tính toán (phương án C và D)

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )

A x y 2z 1 0 B x y 2z 1 0

C x y 2z 1 0 D x y 2z 3 0

Đáp án: A

Phân tích: Để làm được câu hỏi này, học sinh cần biết rằng khi một mặt phẳng

Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể sai sót trong quá trình tính toán

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1 3

3

  



  



  





x  y  z



C.

1 6 4

3 2

  



  



  



D.

2 3

1 2

4 1

  



  



  



Đáp án: D

Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần có sự chuyển đổi linh

hoạt giữa các dạng biểu diễn khác nhau của phương trình đường thẳng

Các phương án gây nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh lúng túng khi đường thẳng được biểu diễn dưới dạng giao của 2 mặt phẳng (phương án A), dạng

chính tắc của phương trình đường thẳng (phương án B ), dạng khác của phương trình tham số khi chọn điểm đi qua và vecto chỉ phương của đường thẳng khác với phương trình đề cho (phương án C)

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(4 ; -3 ; 2) và đường

 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc M của A trên

Đáp án: B

Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh có thể làm theo hai cách: tìm

giao điểm M của mặt phẳng đi qua A vuông góc với đường thẳng d và đường

Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể sai sót trong quá trình tính toán

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1 :

1 2

x t

d y t

z t

 



  



  



và

mặt phẳng ( ) : 2P x   y z 2 0 Giao điểm M của d và (P) có tọa độ là gì?

Đáp án: A

Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh cần biết được rằng khi điểm

Md thì M(1t ; t ; 1 2 ) t sau đó thế tọa độ điểm M vào phương trình mặt

phẳng (P) để tìm giá trị t

Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể nhầm lẫn trong quá trình tính toán

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng song song với hai đường thẳng

:

x y z

d  

 

 và 2

2

1

x t

d y t

z t

 



  



  



có vectơ pháp tuyến là gì?

C n   ( 5; 6;7) D n  ( 5;6;7)

Đáp án:D

Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần tìm được vecto chỉ

phương của đường thẳng d1 và d2 được cho dưới dạng phương trình tham số hay chính tắc, sau đó tính được tích có hướng của 2 vectơ chỉ phương để tìm được vectơ pháp tuyến

Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể sai sót về dấu trong quá trình tính toán

Bài toán 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng

( )P đi qua (3;0;0), (0;0;1)A C và tạo với mp(Oxy) một góc 60

Bài giải: Mặt phẳng ( )P đi qua A C, và tạo với mp(Oxy) một góc 60 nên ( )P cắt

Oy tại điểm (0; ;0) B b khác gốc O b 0

b

Suy ra: n P ( ;3;3 )b b

Mặt phẳng (Oxy)có vecto pháp tuyến là k(0;0;1)

Theo giả thiết, ta có:

0

cos( , ) cos 60

2

9 9

6 10 9

p

b

n k

 

Phân tích: Nếu từ giả thiết mặt phẳng ( ) P đi qua điểm A Ox và tạo với mp