Tr ng THPT M Đ cườ ỹ ứ A Đ CHÍNH TH CỀ Ứ K THI OLYMPIC L P 11 NĂM H C 2019 2020Ỳ Ớ Ọ Môn Toán Th i gian 150 phút (không k th i gian phát đ )ờ ể ờ ề oOo [.]
Trang 1Tr ườ ng THPT M Đ c ỹ ứ
A
Đ CHÍNH TH C Ề Ứ
K THI OLYMPIC L P 11 NĂM H C 2019 2020 Ỳ Ớ Ọ
Môn: Toán
oOo
Câu 1. (5 đi m) ể
a) Gi i ph ả ươ ng trình l ượ ng giác: .
b) Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s : ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố
Câu 2. (4 đi m) ể
a) Cho hãy tính t ng sau: ổ
b) Ba b n A, B, C m i b n vi t ng u nhiên lên b ng m t s t nhiên thu c đo n ạ ỗ ạ ế ẫ ả ộ ố ự ộ ạ Tính xác su t đ t ng các l p ph ấ ể ổ ậ ươ ng c a ba s đ ủ ố ượ c vi t ra chia h t cho 3. ế ế Câu 3. (5 đi m) ể
a) M t t giác có b n góc t o thành m t c p s nhân và s đo góc l n nh t g p 8 ộ ứ ố ạ ộ ấ ố ố ớ ấ ấ
l n s đo góc nh nh t. Tính s đo các góc c a t giác ầ ố ỏ ấ ố ủ ứ
b) Cho dãy s đ ố ượ c xác đ nh b i ị ở
Tìm công th c c a s h ng t ng quát theo ứ ủ ố ạ ổ
Câu 4. (5 đi m) ể
Cho m t ph ng và hai đ ặ ẳ ườ ng th ng chéo nhau c t t i . G i là đ ẳ ắ ạ ọ ườ ng th ng ẳ thay đ i luôn song song v i , c t t i c t t i Đ ổ ớ ắ ạ ắ ạ ườ ng th ng qua luôn song song v i ẳ ớ
c t t i ắ ạ
a) T giác là hình gì? ứ
b) Tìm t p h p các đi m ậ ợ ể
c) G i là trung đi m c a là trung đi m c a Ch ng minh r ng là đ ọ ể ủ ể ủ ứ ằ ườ ng th ng c ẳ ố
đ nh khi di đ ng ị ộ
Câu 5. (1 đi m) ể
Cho các s th c d ố ự ươ ng th a mãn đi u ki n: Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c ỏ ề ệ ị ỏ ấ ủ ể ứ
bi t: ế
H T Ế
HƯỚNG D N CH M THI OLYMPIC MÔN TOÁN L P 11Ẫ Ấ Ớ
Câu 1
a)
Trang 20,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ b)
2,0 đ
0,5 đ 0,5 đ Giá tr nh nh t c a hàm sị ỏ ấ ủ ố : đ t đạ ượ ạc t i 0,5 đ Giá tr l n nh t c a hàm sị ớ ấ ủ ố : đ t đạ ượ ạc t i 0,5 đ
Câu 2
a)
2,0 đ
S h ng t ng quát ố ạ ổ 0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
b)
2,0 đ
S ph n t c a không gian m u là: ố ầ ử ủ ẫ 0,25 đ
Đo n có 6 s chia h t cho 3; có 7 s chia cho 3 d 1; 7 s chia cho 3 d 2.ạ ố ế ố ư ố ư 0,25 đ
V i m i s t nhiên ta luôn có .ớ ọ ố ự
Do đó t ng l p phổ ậ ương c a ba s chia h t khi và ch khi t ng c a ba s đó ủ ố ế ỉ ổ ủ ố
TH1: C 3 s đả ố ược vi t chia h t cho 3: có kh năng x y raế ế ả ả
TH2: C 3 s đả ố ược vi t chia cho 3 d 1: có kh năng x y ra.ế ư ả ả
TH3: C 3 s đ u chia cho 3 d 2 : có kh năng x y ra.ả ố ề ư ả ả
TH4: C 3 s đả ố ược vi t g m 1 s chia h t cho 3; 1 s chia 3 d 1 và 1 s ế ồ ố ế ố ư ố
chia 3 d 2: có kh năng x y ra ư ả ả
0,5 đ
S k t qu thu n l i là ố ế ả ậ ợ 0,25 đ Xác su t c n tính là ấ ầ 0,25 đ
Câu 3
a)
2,5 đ
Gi s b n góc A, B, C, D theo th t l p thành c p s nhân v i công ả ử ố ứ ự ậ ấ ố ớ
0,5 đ 0,5 đ
b)
2,5 đ
V i m i , ta cóớ ọ : 0,5 đ Xét dãy s , v i . ta có .ố ớ
Do đó, dãy s là 1 c p s nhân có công b i và s h ng đ u b ng 2ố ấ ố ộ ố ạ ầ ằ 0,5 đ
0,5 đ
Trang 35,0 đ N i dungộ
Điể
m
a)
2,0 đ
d
b
d2
d1
( )
α
A
N'
B M
O
0,5 đ
Có AM // NN’
Do d // d1 nên t n t i m t ph ng ch a d và dồ ạ ặ ẳ ứ 1 0,5 đ
0,5 đ
b)
2,0 đ
G i (P) là m t ph ng ch a d và dọ ặ ẳ ứ 2, vì d // d1 nên (P) // d1. 0,5 đ
Do (P) ch a đứ ường th ng c đ nh dẳ ố ị 2 và song song v i đớ ường th ng c đ nh dẳ ố ị 1 nên (P) c ố
N’ là đi m chung c a ( ) và (P) nên ể ủ α 0,5 đ
G i V y t p h p các đi m N’ là đọ ậ ậ ợ ể ường th ng b.ẳ 0,5 đ
c)
1,0 đ
0,5 đ
D ng đự ường th ng qua E và song song v i dẳ ớ 1 c t dắ 2 t i Nạ 0, D ng đự ường th ng qua Nẳ 0
song song v i AE, đớ ường th ng này c t dẳ ắ 1 t i Mạ 0.
0,5 đ
Trang 41,0 đ
m
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy ta có:ụ ấ ẳ ứ
đ Khi đó
khi . V y giá tr nh nh t c a H b ng 2.ậ ị ỏ ấ ủ ằ 0,25
đ