S GD&ĐT NGH ANỞ Ệ LIÊN TR NG THPT TP VINHƯỜ Đ THI GIÁO VIÊN D Y GI I C P Ề Ạ Ỏ Ấ TR NGƯỜ NĂM H C 2018 – Ọ 2019 Môn Toán Th i gian 120ờ phút (Không k th i gian giao để ờ ề) Câu 1 (5 0 đi m)ể ( Ph n chu[.]
Trang 1S GD&ĐT NGH ANỞ Ệ
LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH
Đ THI GIÁO VIÊN D Y GI I C P Ề Ạ Ỏ Ấ
TRƯỜNG
NĂM H C 2018 – Ọ 2019 Môn: Toán
Th i gian: 120ờ phút (Không k th i gian giao đ ể ờ ề)
Câu 1 (5.0 đi m) ể ( Ph n chung)ầ
Câu 2.(5.0 đi m) ể
Cho đ nh lí v t ng n s h ng đ u c a c p s nhân:ị ề ổ ố ạ ầ ủ ấ ố '' Cho c p s nhân ấ ố ( )u n có công b i ộ q 1 . Đ t ặ S n = + + +u u1 2 u n. Khi đó 1
1 1
n n
q
S u
q
−
=
(Đ i s và Gi i tích l p 11 ạ ố ả ớ Tr 102).
Anh (ch ) hãy thi t k ị ế ế hai ví d khác nhau (kèm hụ ướng d n gi i), trong đó yêuẫ ả
c u ít nh t m t ví d có n i dung liên h th c ti n đ giúp h c sinh v n d ngầ ấ ộ ụ ộ ệ ự ễ ể ọ ậ ụ
đ nh lí trênị trong quá trình h c. ọ
Câu 3. (5.0 đi m) ể
Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành, BC= 2a và ∆ACD
vuông cân t i C. C nh bên ạ ạ SA vuông góc v i đáy và ớ SA a=
a) Tính th tích kh i chóp ể ố S ABCD. theo a
b) G i H là hình chi u vuông góc c a A lên ọ ế ủ SD và I là trung đi m ể SC. Tính tan
c a góc gi a hai m t ph ng ủ ữ ặ ẳ (AHI) và ( ABCD)
Câu 4.(5.0 đi m) ể
a) Cho phương trình: 23 9 4 6 10
4 3x = − +x x−
Anh (ch ) hãy nêu 3 đ nh hị ị ướng đ giúp h c sinh tìm để ọ ược ba cách gi i phả ươ ng trình trên và hãy đ t các câu h i hặ ỏ ướng d n h c sinh gi i chi ti t m t trong cácẫ ọ ả ế ộ cách đó
b) Cho các s th c dố ự ương a, b, c. Ch ng minh r ng:ứ ằ
2 2 2
.
a b + b c + c a − a b b c c a
Đ chính ề
th cứ
Trang 2Cán b coi thi không gi i thích gì thêm ộ ả
Trang 3HƯỚNG D N CH M Đ THI GIÁO VIÊN D Y GI I C P TRẪ Ấ Ề Ạ Ỏ Ấ ƯỜNG
NĂM H C 2018 – Ọ 2019 Môn: Toán
( g m 05 trang) ồ
m
1
(5đ)
Ph n chungầ
2
(5đ)
Chi t đi mế ể
L y m i m t ví d chính xác, có kèm hấ ỗ ộ ụ ướng d n gi i chi ti t cho 2,5 ẫ ả ế
đi m ể
Yêu c u v l y ví d : ầ ề ấ ụ
+ Chính xác khoa h c, có họ ướng d n gi i chi ti t đi kèm.ẫ ả ế
+ N i dung c n ph i áp d ng đ nh lý đ gi i.ộ ầ ả ụ ị ể ả
+ Ph i có ít nh t m t ví d có tính liên h th c ti n. ả ấ ộ ụ ệ ự ễ
M t s d ng ví d g i ý:ộ ố ạ ụ ợ
Cho u m và u k b t kì, tính t ng các s h ng c a c p s nhân. ấ ổ ố ạ ủ ấ ố
Cho u1 (ho c m t ặ ộ u k b t kì) và q, tính t ng các s h ng c a c p s ấ ổ ố ạ ủ ấ ố
nhân.
Cho n, S n và q, tìm u1 ho c ặ u knào đó
Cho n, S nvà u1 (ho c ặ u knào đó), tìm q
Cho m, n và S m, S ntìm u kvà q
Cho S nvà q, u1. Tìm n. …
Tính t ng các s h ng c a m t dãy s có qui lu t …ổ ố ạ ủ ộ ố ậ
Các ví d th c ti n liên quan đ n tăng trụ ự ễ ế ưởng kinh t , t l tăng dân s , ế ỉ ệ ố
tính t ng,…ổ
M t s g i ý:ộ ố ợ
1) Cho c p s nhân ấ ố ( )u n có u9 = 64, q= − 2. Tính t ng ổ 2019 s h ng đ u ố ạ ầ
tiên c a c p s nhân đã cho.ủ ấ ố
L i gi i: ờ ả
8
1
4
2019
�
+
Trang 4Ta có: 1 1 1
1 ( 2)
1 2
u − − = � − u = �u = −
+
3) Cho c p s nhân ấ ố ( )u n có u1 = 2, q= 3,S n = 2186. Tìm n
L i gi i: ờ ả
Ta có 1
n q
q
−
4) Cho c p s nhân ấ ố ( )u n có S3 = 168, S6 = 189. Tìm công b i q c a c p s ộ ủ ấ ố nhân đó
L i gi i: ờ ả
3
1
1
q
S u
q
−
− ; 6 1 6
1
1
q
S u
q
−
5) B n Nam v a t t nghi p đ i h c đi làm. Năm đ u tiên b n dành d mạ ừ ố ệ ạ ọ ầ ạ ụ
được A tri u đ ng. B n d đ nh m i năm s dành m t s ti n tích lũyệ ồ ạ ự ị ỗ ẽ ộ ố ề theo nguyên t c s ti n tích lũy năm sau s tăng h n s ti n tích lũy nămắ ố ề ẽ ơ ố ề
k trề ước là 20%. H i v i m c tăng nh v y thì sau 5 năm đi làm t ng sỏ ớ ứ ư ậ ổ ố
ti n b n Nam d đ nh s tích lũy đề ạ ự ị ẽ ược là bao nhiêu ?
L i gi i: ờ ả
S ti n năm th nh t b n Nam tích lũy đố ề ứ ấ ạ ược là A tri u đ ng.ệ ồ
S ti n năm th hai b n Nam tích lũy đố ề ứ ạ ược là:
A +20%. A = 120%. A =6.
5 A ( tri u đ ng)ệ ồ
S ti n năm th ba b n Nam tích lũy đố ề ứ ạ ược là:
6
.
5 A+20%.6.
5 A = 6 2
( )
5 A ( tri u đ ng)ệ ồ …
Nh v y s ti n tích lũy hàng năm c a Nam l p thành m t c p s nhânư ậ ố ề ủ ậ ộ ấ ố
có công b i ộ 6
5
q= Sau 5 năm thì s ti n Nam tích lũy đố ề ược là:
5
1 1
q
S u
q
−
=
− Thay u1 =A và 6
5
q= ta đượ ố ềc s ti n là: 7,4. A tri u đ ng. ệ ồ
Trang 5(2,5đ)
S ABCD S ACD ACD
a a
0,5
0,5 0,5 0,5 0.5
3.b
(2,5đ)
b) Ta có CD AC SA a= = = �AI ⊥SC (1)
L i cóạ CD SA⊥ và CD AC⊥ �CD⊥ AI (2)
T (1) và (2) ừ �AI ⊥ (SCD) �AI ⊥SD
SD AI
SD AHI
SD AH
⊥
⊥
�
⊥
Ta có: ( ) (( );( )) ( ; )
SA ABCD
ABCD AHI SA SD ASD
SD AHI
⊥
tan ASD AD 2
SA
= =
Ngoài ra có th gi i theo cách xác đ nh góc, công th c hình chi u ho c ể ả ị ứ ế ặ
t a đ hóa.ọ ộ
0,5 0,5
0,5 0,5
4.a
(3,5đ)
Câu 4. a)
Đ nh hị ướng 1: ( T o bình phạ ương) .
H th ng câu h i:ệ ố ỏ
Câu 1: Nêu m t s đ nh h ng gi i ph ng trình ch a căn?ộ ố ị ướ ả ươ ứ
Câu 2: Bi n đ i ph ng trình đã cho và nêu đi u ki n có nghi m c a ế ổ ươ ề ệ ệ ủ
phương trình ?
Câu 3: Do trong bi u th c c a ph ng trình xu t hi n tích c a hai s ể ứ ủ ươ ấ ệ ủ ố
h ng ạ (4 3 ) 4 − x −x, v y ta đ nh hậ ị ướng phương pháp gi i nào?ả
Câu 4: Đ làm xu t hi n bình ph ng c n thêm b t các s h ng nh ể ấ ệ ươ ầ ớ ố ạ ư
th nào?ế
Câu 5: Hãy gi i chi ti t ph ng trình đã cho.ả ế ươ
Gi i chi ti t.ả ế
Đi u ki n có nghi m: ề ệ ệ 3 4 0 4 (*)
x
x x
− <
<
�
0,5
0,5
Trang 69x − 24x+ − 16 4(4 3 ) 4 − x − +x 4(4 − = −x) x 4x+ 4
�
− = −
− = −
2
2
11 41
8
4 11 5 0
x
x
x x
−
=
(2)
2
3 0
x
x
x x
−
=
− − =
Đ nh hị ướng 2: ( Đ t n ph không hoàn toàn)ặ ẩ ụ
Đi u ki n có nghi m: ề ệ ệ 3 4 0 4 (*)
x
x x
− <
<
�
V i đk (*)ớ
Đ t ặ t= 4 −x t( > 0) Ta có pt: t2 − − (4 3 ) 2x t+ x2 − + = 5x 3 0 ; ∆ = − (x 2) 2
Pt có hai nghi m: ệ t= − 3 2 ;x t= − 1 x suy ra 4 3 2
− = −
( Cũng có th đ a v ể ư ề 2x2 + (3 5)t− x t+ − + = 2 4 3 0t ; ∆ = + ( 1)t 2
Pt có hai nghi m: ệ 1 ; 3
2
t
x= −t x= − suy ra 4 3 2
− = −
Đ nh hị ướng 3: ( Phương pháp liên h p không dùng MTBT h tr )ợ ỗ ợ
2
x
�
−
Đi u ki n có nghi m: ề ệ ệ 3 4 0 4 (*)
x
x x
− <
<
�
Ta bi n đ i ế ổ 2 2 6 7 (ax ) 4 (ax )
x
�
−
Đ xu t hi n nhân t chung ta c n tìm a, b sao cho:ể ấ ệ ử ầ
(3a+ 2)x + (3b− 4a− 6)x+ − 7 4b k a x= [ + + (1 2 )x+ 4] (ab b k R)
Đ ng nh t h s ta đồ ấ ệ ố ược:
2
2
3 2 (1 2 ) 3 4 6 ( 4) 7 4
ka a
k ab b a
= + + = − −
− = −
Thường thì k s b ng 1 ho c 1. Bài này v iẽ ằ ặ ớ k = 1 khi đó ch ng h n ẳ ạ
c p ặ
a = 1 và b = 1 th a mãn ( cũng có th ch n k = 1 và c p a = 2; b =3)ỏ ể ọ ặ
T đó ta có l i gi i nh sau: ừ ờ ả ư
V i đk (*) ớ 2 2 6 7 (1 ) 4 (1 )
x
�
2
x x
pt
− − =
Đ nh hị ướng 4: ( Phương pháp liên h p có dùng MTBT h tr )ợ ỗ ợ
Đi u ki n có nghi m: ề ệ ệ 3 4 0 4 (*)
x
x x
− <
<
�
0,5
0,5 0,5
0,5
0,5
Trang 7
V i đk (*) ớ pt� 2x2 − 6x+ = − 7 (4 3 ) 4x −x
Dùng máy tính b túi ta tìm đỏ ược 1 nghi m c a pt là: ệ ủ x0 0.5746
Thay x0 = 0.5746 vào 4 x− ta được 4 −x0 1,8508 = − 2x0 + 3 nên ta bi n ế
đ i phổ ương trình nh sau: ư pt� (4 3 ) − x 4 − − −x (3 2x)] = − 4x2 + 11x− 5
2 2
Đ nh hị ướng 5: ( Bình phương 2 v đ a v tích)ế ư ề …
Đi u ki n có nghi m: ề ệ ệ 3 4 0 4 (*)
x
x x
− <
<
�
V i đk (*) ớ pt� 2x2 − 6x+ = − 7 (4 3 ) 4x −x
Bình ph ươ ng hai v v i đk (*) ta đ ế ớ ượ c
pt� x + x + − x − x+ x = − x+ x −x
4x − 15x + 4x + 28x− = 15 0
�
Dùng MTBT ta b m đấ ược 4 nghi m:ệ
Ta có:
x + =x = x x = =
Suy ra x x1 , 2 là hai nghi m c a phệ ủ ương trình : 4x2 − 11x+ = 5 0
x + =x x x = −
Suy ra x x3 , 4 là hai nghi m c a phệ ủ ương trình : x2 − − =x 3 0
Đó là c s đ ta phân tích pt ơ ở ể � (x2 − −x 3)(4x2 − 11x+ = 5) 0
Gi i xong đ i chi u đk có nghi m…ả ố ế ệ
4.b
(1,5đ)
b) Bđt c n ch ng minhầ ứ
a b − + b c − + c a − − a b b c c a −
Đ t ặ x a b;y b c;z c a
a b b c c a
+ + + . Ta có 1 x 2a ;1 y 2b ;1 z 2c
+ = + = + =
Nh n xét:ậ
(1 +x)(1 +y)(1 + = −z) (1 x)(1 −y)(1 −z) ( vì cùng b ng ằ 8
abc
a b b c c a+ + + ) 0
x y z xyz+ + + =
Suy ra bđt c n ch ng minh ầ ứ x2 + y2 + +z2 2(1 +x)(1 + y)(1 + −z) 2 0
x +y + +z x y z xyz xy yz xz+ + + + + +
D u b ng x y ra ch ng h n khi x=y=z=0, hay a=b=c.ấ ằ ả ẳ ạ
0,25 0,25 0,5 0,25