Công thức môn toán 12 chương i hàm số và các bài toán liên quan file word

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định hoặc trên từng khoảng xác định Cho hàm số , m là tham số, có tập xác định.. 4 So sánh các nghiệm của

đ ng bi n ồ ế trên

b) Hàm s ố

ngh ch bi n ị ế trên

NH C L I Ắ Ạ

Đ nh lý: ị Cho tam th c b c haiứ ậ ta cĩ:





VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm số ta thực hiện các bước như sau:

– Tìm tập xác định của hàm số.

– Tính y  Tìm các điểm mà tại đó hoặc không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)

– Lập bảng xét dấu (bảng biến thiên) Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến

trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Cho hàm số , m là tham số, có tập xác định

 Hàm số f đồng biến trên

 Hàm số f nghịch biến trên

Từ đó suy ra điều kiện của Chú ý:

1) chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai :

 Nếu thì luôn cùng dấu với

 Nếu thì luôn cùng dấu với (trừ )

 Nếu thì có hai nghiệm và trong khoảng hai nghiệm thì khác dấu với , ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với

4) So sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số 0:

 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:

 Biến đổi thành

 Sử dụng định lí Viet đưa thành phương trình theo m.

 Giải phương trình, so với điều kiện để chọn nghiệm.

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

 Chuyển bất đẳng thức về dạng (hoặc ) Xét hàm số trên tập xác định do đề bài chỉ định.

 Xét dấu Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.

 Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.

Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của thì ta đặt và quay lại tiếp tục xét dấu … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.

2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng:

Xét tính đơn điệu của hàm số trong khoảng

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Để chứng minh phương trình (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

 Chọn được nghiệm của phương trình.

 Xét các hàm số và y = g(x) Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến Khi đó và giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng thì kết luận trên vẫn đúng.

Gi s hàm s f có đ o hàm trên kho ng ả ử ố ạ ả ch a đi m ứ ể , và f có đ o hàmạ

c p hai khác không t i đi m ấ ạ ể Khi đó

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số

Qui tắc 1: Dùng định lí 1.

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

1 Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm thì hoặc tại không có đạo hàm.

2 Để hàm số đạt cực trị tại điểm thì đổi dấu khi x đi qua

Chú ý:

 Hàm số bậc ba có cực trị Phương trình

có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị bằng hai cách:

+ + , trong đó là phần dư trong phép chia y cho y .

 Hàm số có cực trị Phương trình

có hai nghiệm phân biệt khác

Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị bằng hai cách:

hoặc

 Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải

kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.

 Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến

thức khác nữa, nhất là định lí Vi–et.

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

1) Hàm số bậc ba

 Chia cho ta được:

 Khi đó, giả sử là các điểm cực trị thì:

 Các điểm nằm trên đường thẳng

2) Hàm số phân thức

 Giả sử là điểm cực trị thì

 Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường

thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy là:

 Xét dấu và lập bảng biến thiên.

 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên

 So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.

VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức

Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số

 Chứng minh một bất đẳng thức.

 Tìm một điểm thuộc sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng

thức vừa tìm được trở thành đẳng thức.

Vì y 0 là một giá trị bất kì của nên từ (3) ta suy ra được:

VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT,

BPT

Giả sử là một hàm số liên tục trên miền và có

Khi đó:

1) Hệ phương trình có nghiệm

2) Hệ bất phương trình có nghiệm

3) Hệ bất phương trình có nghiệm

4) Bất phương trình đúng với mọi x

5) Bất phương trình đúng với mọi x

4 Đ ƯỜ NG TI M C N Ệ Ậ

1 Định nghĩa:

 Đường thẳng được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thịhàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoảmãn:

 Đường thẳng được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thịhàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoảmãn:

;

 Đường thẳng được gọi là đường tiệm cận xiên củađồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đượcthoả mãn:

;

2 Chú ý:

a) Nếu là hàm số phân thức hữu tỷ

 Nếu có nghiệm thì đồ thị có tiệm cận đứng

 Nếu bậc bậc thì đồ thị có tiệm cận ngang

 Nếu bậc bậc thì đồ thị có tiệm cận xiên

b) Để xác định các hệ số trong phương trình của tiệm cậnxiên, ta có thể áp dụng các công thức sau:

hoặc

5 KH O SÁT S BI N THIÊN VÀ VẼ Đ TH HÀM S Ả Ự Ế Ồ Ị Ố

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

 Tìm tập xác định của hàm số

 Xét sự biến thiên của hàm số:

+ Tính y

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định.+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận(nếu có)

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biếnthiên, cực trị của hàm số

 Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm củađồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt cáctrục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏqua) Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chínhxác hơn

+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếucó) của đồ thị

6 S T Ự ƯƠ NG GIAO C A Đ TH HÀM S Ủ Ồ Ị Ố

Bài toán t ng quát ổ

Trong Hãy xét s t ự ươ ng giao c a đ th hai hàm s : ủ ồ ị ố

và không có đi m chung ể và c t nhau ắ và ti p xúc nhauế

S nghi m ố ệ c a ph ng trình ủ ươ chính là s giao đi m ố ể c a hai đ th ủ ồ ị và

Ghi nh : S nghi m c a pt ớ ố ệ ủ b ng s giao đi m c a hai đ th ằ ố ể ủ ồ ị và

Chú ý 1 :

* vô nghi m ệ và không có đi m đi m chung ể ể

7 TI P TUY N C A Đ TH HÀM S Ế Ế Ủ Ồ Ị Ố

* có nghi m ệ và có đi m chungể

Chú ý 2 :

* Nghi m ệ c a ph ng trình ủ ươ chính là hoành đ đi m chung ộ ể c a ủ và

Khi đó tung đ đi m chung là ộ ể ho c ặ

Ph ươ ng pháp: Ta có th ti n hành theo các b c sauể ế ướ

B ướ c 1: G i ọ là ti p đi m c a ti p tuy n v i ế ể ủ ế ế ớ

B ướ : Tìm b ng cách gi i ph ng trình : c 2 ằ ả ươ , t đó suy ra ừ

B ướ : Thay các y u t tìm đ c vào ph ng trình: c 3 ế ố ượ ươ ta s đ c ph ngẽ ượ ươtrình ti p tuy n c n tìm.ế ế ầ

Chú ý : Đ i v i d ng 2 ng i ta có th cho h s góc ố ớ ạ ườ ể ệ ố d i d ng gián ti p nh : ướ ạ ế ư ti p ế

tuy n song ế songti p tuy n vuông góc v i m t đ ế ế ớ ộ ườ ng th ng cho tr ẳ ướ c

Khi đó ta c n ph i s d ng các ki n th c sau: ầ ả ử ụ ế ứ

Đ nh lý 1: ị N u đ ng th ng ế ườ ẳ có ph ng trình d ng: ươ ạ thì h s góc c aệ ố ủ là:

Đ nh lý 2: ị Trong cho hai đ ng th ng ườ ẳ Khi đó:

Ph ươ ng pháp : Ta có th ti n hành theo các b c sau ể ế ướ

B ướ c 1: Vi t ph ng trình ti p tuy n ế ươ ế ế v i ớ t i đi m ạ ể

B ướ c 2: Đ nh ị đ ể đi qua đi m ể Ta có:

đi qua đi m ể

B ướ c 3: Gi i ph ng trình ả ươ tìm Thay tìm đ c vào ượ ta s đ c ph ng ẽ ượ ươtrình ti p tuy n c n tìm.ế ế ầ

8 BI N LU N S NGHI M C A PH Ệ Ậ Ố Ệ Ủ ƯƠ NG TRÌNH B NG Đ Ằ Ồ

THỊ

C s c a ph ơ ở ủ ươ ng pháp

Xét ph ng trình ươ

Nghi m ệ c a ph ng trình ủ ươ chính là hoành đ giao đi m c a ộ ể ủ và

Bài toán: B ng đ th hãy bi n lu n theo m s nghi m c a ph ằ ồ ị ệ ậ ố ệ ủ ươ ng trình d ng: ạ

)

;0

)(C2

B ướ c 2: V ẽ và lên cùng m t h tr c t a độ ệ ụ ọ ộ

B ướ c 3: Bi n lu n theo m s giao đi m c a ệ ậ ố ể ủ và

T đó suy ra s nghi m c a ph ng trình ừ ố ệ ủ ươ

Minh h a: ọ

D ng: ạ gi i t ả ươ ng t ự

9 TÌM ĐI M THU C Đ TH TH A ĐI U KI N CHO Ể Ộ Ồ Ị Ỏ Ề Ệ