Bài giảng toán cao cấp a1 chương 1 giới hạn và liên tục

Microsoft Word BG A1 2015 new BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ    BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1 Th S NGUYỄN HOÀNG ANH KHOA Huế, tháng 09 năm 2015 Th S Nguyễn Hoàng Anh Khoa 1 CHƯƠNG 1 GIỚ[.]

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ

  

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1

Th.S NGUYỄN HOÀNG ANH KHOA

Huế, tháng 09 năm 2015

CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1 Hàm số

1.1.1 Định nghĩa Cho X, Y là tập con khác rỗng của R Ánh xạ f : X  Y, x  y = f(x) được gọi

là hàm số

x được gọi là biến độc lập

y = f(x) được gọi là giá trị của hàm f tại x

X được gọi là tập xác định của hàm f

Quy ước Người ta thường viết gọn hàm số bởi đẳng thức y = f(x)

Tập xác định D là tập các giá trị x sao cho f(x) có nghĩa Tập giá trị T = f(D) = {f(x) | x  D}

Hàm số ngược Cho hàm số f : X  Y, x  y = f(x) Nếu mỗi y thuộc Y đều tồn tại duy nhất x thuộc x sao cho f(x) = y Khi đó hám số

g : Y  X

y  x = g(y)

Chú ý: Nếu f có hàm ngược thì:

 f – 1(f(x)) = x và f(f – 1(x))= x Định lí:

1.1.2 Các hàm số sơ cấp cơ bản

4) Các hàm lượng giác 5) Các hàm lượng giác ngược

2

;

2 

Ký hiệu là y = arcsin x

Vậy hàm

2 2

 





b) Hàm số y = cos x Hàm ắc-cô-sin là hàm

 





 trong đó cosy = x

c) Hàm số y = tanx Hàm ắc-tang là hàm

 



 trong đó tany = x

d) Hàm số y = cotx Hàm ắc-cô-tang là hàm

 







 trong đó coty = x



1.2 Dãy số 1.2.1 Định nghĩa dãy số, dãy con, giới hạn

Cho X, Y là hai tập khác rỗng một quy tắc f đặt tương ứng mỗi phần tử x  X với một và chỉ một phần tử y  Y gọi là một ánh xạ

Ký hiệu

Hay

f : X Y







Dãy con

Giới hạn của dãy số Định nghĩa 1

sao cho n>n0 thì |un – a| <  Kí hiệu: nlim u a n  , limun = a hay un  a

Định nghĩa 2 (Giới hạn vô hạn) Cho dãy số (an)n

Chú ý:

 limC = C (C là hằng số)

 lim 1

n

1 0

1.2.2 Tính chất của dãy hội tụ Định lí 1 Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất Định lí 2 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn

Định lí 3

i) lim(an  bn) = liman  limbn

ii) lim(anbn) = liman.limbn

n n

iv) Nếu an ≤ bn với mọi n > n0 thì liman ≤ limbn

1.3 Giới hạn của hàm số 1.3.1 Định nghĩa

Một số giới hạn cần nhớ

0

x xlim C C 

2



  

x

Tính chất

0

x xlim f (x) L  ,

0

x xlim g(x) L'  thì L  L' Định lí 3: (nguyên lý kẹp)

x xlim h(x) lim g(x) L x x  thì

0

x xlim f (x) L  Định lí 4: Giả sử

0

x xlim f (x) a  ;

0

x xlim g(x) b  Khi đó:

i) x xlim f (x) g(x) 0  a  b ii) x xlim f (x).g(x) 0 a.b iii) Nếu b  0 thì

0

x x

f (x) a

1.2.2 Vô cùng bé, vô cùng lớn a) Vô cùng bé

0

x xlim f (x) 0 

– Nếu

0

x x

f (x)

– Nếu

0

x x

f (x)

ký hiệu là f(x) ~ g(x)

– Nếu

0

x x

f (x)

g(x)

Ứng dụng VCB tương đương để khử dạng vô định 0

0

 

 

x x x x

  

b) Vô cùng lớn

0

x xlim | f (x) |  

– Nếu

0

x x

f (x)

– Nếu

0

x x

f (x)

g(x)

hiệu là f(x) ~ g(x)

x x x x

Chú ý: Khi x  +∞ ta có: ax >> xn >> lnx với a > 1, n > 0

1.4 Hàm số liên tục 1.4.1 Định nghĩa

x xlim f (x) f (x ) 

f liên tục trên (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x  (a;b)

f liên tục trên [a;b] nếu nó liên tục trên (a;b) và

x alim f (x) f (a); lim f (x) f (b) x b

    1.4.2 Tính chất

Định lí: Mọi hàm số sơ cấp đều liên trên từng khoảng xác định của nó

Định lí: Nếu f là hàm liên tục trên [a; b] thì f nhận mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của nó trên [a; b]

Bài tập chương 1

n 3n 10

1

n 1 n







1.2 Tính các giới hạn:

1.3 Xét tính liên tục các của hàm số:

x

,x 0 2





 





 

