Hh7 cđ9 2 tam giac can duong trung truc cua doan thang

1 ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1 Nhận biết tam giác cân, tam giác đều Vận dụng tính chất của tam giác cân, tam giác đều để tính số đo góc hoặc chứng minh các góc bằng nhau, các cạnh bằng nhau Bài 1 Bà[.]

ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1 Nhận biết tam giác cân, tam giác đều Vận dụng tính chất của tam giác cân, tam giác đều để tính số đo góc hoặc chứng minh các góc bằng nhau, các cạnh bằng nhau Bài

1 Bài 1: Bài Bài 1 Trong các hình sau, hình nào là tam giác cân, hình nào là tam giác đều?

Lời giải:

a) Trong có

Ta có

cân tại b) Ta có: có và đều

Suy ra (c.g.c)

cân

Xét có suy ra cân tại

Bài 2 Tìm số đo x trong hình vẽ sau:

Lời giải:

Vì nên cân tại

40°

70°

J I

K

60°

R

Q

G

F D

E

72°

36°

36°

KIJ

 K+ + =I J 180

=180− − = 70

QRS

 QR QS= QRS=   60 QRS

QN QM

DEF

X 70°

S T

Vì TY =YV nên cân tại

Ta có TYS là góc ngoài của nên TYS =YTV+ =V 2x= 70

35

x

 = 

Bài 3 Cho tam giác vuông cân tại Trên đường thẳng lấy điểm sao cho

( và khác phía so với ) Tính số đo các góc của tam giác

Lời giải:

Có

Tam giác cân tại suy ra

Suy ra

Bài 4 Cho cân tại Trên các cạnh , lần lượt lấy , sao cho

a) Chứng minh

b) Gọi là giao điểm của và Chứng minh tam giác cân

Lời giải:

a) Xét và ta có:

70

TYV

TYV



D

B

C A

2

67,5

ABC

ABM = ACN

C B

A

O

AMB

(gt)

là góc chung ( cân tại ) Suy ra (c.g.c)

b) Ta có: ,

Mà (cmt), ( cân tại )

Do đó

Bài 5 Cho = 60°, điểm thuộc tia phân giác của Kẻ ( ) và

( ) Tam giác là tam giác gì? Tại sao?

Lời giải:

Xét và ta có:

(vì là phân giác )

là cạnh chung

Suy ra (ch.gn)

cân tại

Bài 6 Cho tam giác vuông tại , là trung điểm cạnh Đường thẳng

vuông góc với tại cắt tại Chứng minh

a) cân b) đều

Lời giải:

AM =AN

BAC

ABM ACN

ABC=ABM+MBC ACB= ACN+NCB ABM = ACN ABC =ACB ABC A

MBC=NCB OBC=OCB OBC O

C

B

A y

ABO

O 90

OA

OBC

EAC

a) Xét và có

chung suy ra Suy ra cân

b) Ta có

(cùng phụ góc )

Suy ra cân tại

đều

Bài 7: Cho tam giác vuông tại Tia phân giác góc cắt tại Qua kẻ

đường thẳng vuông góc với tại , cắt tại Trên lấy điểm F sao cho

Chứng minh a) ; b) là tam giác cân; c)

Lời giải:

a) Ta có

suy ra

b) Xét và có: chung;

Suy ra (c.g.c)

mà cân tại

B

E

C D

A

EAD

 ECD DA DC= ; EDA EDC= ;

90

ABE ECA ECA EAC





=

BAE EBA

ABE

2

AB

ABE

 

D

F B

C E

A

90 ;

FAD

;

DFA DEA

DBF

c) Ta có

Tam giác cân tại

Từ và suy ra

Dạng 2 Vận dụng tính chất của đường trung trực để giải quyết bài toán

Bài 1 Tam giác có điểm thuộc đường trung trực của Biết Tính số đo

của các góc trong

Lời giải:

Vì nằm trên đường trung trực của nên

Suy ra cân tại

Tính được: ,

Bài 2 Cho cân tại có Các đường trung trực của và cắt cạnh

theo thứ tự ở và và hai trung trực cắt nhau ở

a) Biết Tính số đo góc

b) Chứng minh

c) Tính số đo

Lời giải:

a) cân tại

Ta có nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng

ABC

40°

C B

A

ABC

40

ACB =  BAC =100 

ABC

110

2BAC=DAE+ 180 

DFE

3 2 1

F

E

B

A

ABC

35

BAC

cân tại Tương tự nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng

cân tại

b) Ta có:

Vậy

Bài 3 Cho góc Từ điểm nằm trong góc đó kẻ vuông góc với ( thuộc )

và vuông góc với ( thuộc ) Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho

Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho Chứng minh

Lời giải:

là đường trung trực của ,

Nên (1)

Tương tự ta có là đường trung trực của ,

Nên (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Bài 4 Cho vuông tại là trung điểm của cạnh Đường trung trực của cạnh

cắt cạnh tại Gọi là giao điểm của và

a Chứng minh là tam giác cân So sánh: và

b Chứng minh là trung điểm của

c Nếu , tính số đo của

Lời giải:

ADB

  D  =B A1=35

AEC

  E  =C A3=35

1 3 110 2.35 40

2BAC=DAE+ 180 

OB=OC

y

x

K

H C

B

A

O

OA=OB

OA=OC

OB=OC ABC

ANB

a) Vì nằm trên đường trung trực của đoạn nên

là tam giác cân tại đỉnh b) là tam giác cân tại đỉnh nên

vuông tại nên

Suy ra cân tại

Mà nên

Do đó là trung điểm

c) Nếu mà nên là đường trung trực của

Mà nên

Khi đó vuông cân tại

Dạng 3 Chứng minh một điểm thuộc đường trung trực Chứng minh một đường thẳng là đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 1 Cho Trên tia lấy điểm , trên tia lấy điểm Kẻ đường trung trực

của đoạn thẳng ( , ) Chứng minh thuộc đường trung trực của

Lời giải:

Ta có là đường trung trực của đoạn thẳng nên

cân tại

I

N M

C

B

A 2

N M

C B

A 2 1

ANB

ANB

ABC

1 2 90

ANC

NA=NB NB=NC

AIN AB=AC

ABC

90

OB

y

O

M B

H

1

1

2 1

OMA

Mặt khác,

Vậy M thuộc trung trực của OB

Bài 2 Cho tam giác có cân tại Gọi là trung điểm của

a) Chứng minh rằng

b) Chứng minh rằng là đường trung trực của

c) Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho Chứng minh rằng: d) Chứng minh

a) và có:

(gt) cạnh chung ( là trung điểm ) Suy ra: (c-c-c)

b) Ta có: ( 2 góc kề bù)

Mà là trung điểm (gt)

Nên là đường trung trực của

c) và có:

(gt) (đối đỉnh)

1 1 2 1 90

1 1

CAH =CIH

I

H

C B

A

ABH

AB=AC

AH

180

AHB+AHC= 

AHB=AHC ABH = ACH

0

90

AHB

ABH

AHB=IHC

( là trung điểm ) Suy ra: (c-g-c)

Mà và ở vị trí so le trong

Nên

d) Ta có: ( do )

Mà ( cm trên)

Nên

Bài 3 Cho tam giác có Xác định điểm trên sao cho

Lời giải:

Ta có:

Nên

thuộc đường trung trực của

Vậy là giao điểm của với đường trung trực của thì

Bài 4 Cho bốn điểm , , , tạo thành hình có và như hình vẽ

Giao điểm của và là Từ vẽ vuông góc với cắt cạnh , lần lượt tại , Chứng minh là trung trực của và

Lời giải:

Chứng minh được:

(g.c.g) nên ; (g.c.g) nên

Do nên (so le trong)

//

IC AB

BAH =CAH ABH = ACH BAH =CIH

CAH =CIH

D

C B

A

AC=DA+DC

DA DB+ =AC DA DB+ =AD+DC

D

N

M

O

D

C B

A

//

, tại trung điểm của nên là trung trực của Suy ra và , và được cũng là trung trực của nên

Bài 5 Cho tam giác cố định, đường phân giác ( ) Trên đoạn thẳng lấy

điểm Từ kẻ đường thẳng song song với , cắt kéo dài tại và cắt tại Chứng minh:

a) Đường trung trực của luôn đi qua đỉnh của tam giác ;

b) Khi di động trên đoạn thẳng thì đường trung trực của đoạn thẳng luôn cố định

Lời giải:

a) Vì nên (đồng vị) và (so le trong)

Mà , do đó cân tại

Đường trung trực của luôn đi qua đỉnh của tam giác

b) Vì nên đường trung trực của vuông góc với

Từ kết quả ý a), suy ra đường trung trực của luôn đi qua điểm và vuông góc với

cố định Vậy đường trung trực của đoạn thẳng luôn cố định

AM =MC=CN=NA

F

1 2 1

E

F

H

B

A

//

1 2

//

PHIẾU BÀI TẬP

Dạng 1 Nhận biết tam giác cân, tam giác đều Vận dụng tính chất của tam giác cân, tam

giác đều để tính số đo góc hoặc chứng minh các góc bằng nhau, các cạnh bằng nhau

Bài 1 Trong các hình sau, hình nào là tam giác cân, hình nào là tam giác đều? Giải thích tại sao?

Bài 2 Trong các hình sau, hình nào là tam giác cân, hình nào là tam giác đều? Giải thích tại sao?

Bài 3 Cho tam giác cân tại Tính số đo các góc còn lại của tam giác nếu biết:

a) = 40°; b) = 50°; c) = 60°

Bài 4 Tìm số đo trong hình vẽ sau:

Bài 5 Cho tam giác cân tại có = 40° Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho

Tính số đo góc

Bài 6. Cho tam giác vuông tại , Trên cạnh lấy sao cho

Chứng minh đều

Bài 7 Cho tam giác Tia phân giác góc cắt cạnh tại Qua kẻ đường

thẳng song song với , nó cắt cạnh tại Chứng minh tam giác cân

Bài 8. Cho tam giác vuông cân tại Tia phân giác góc cắt cạnh tại Trên

cạnh và lần lượt lấy các điểm và sao cho Chứng minh

M C

B

A

F

80°

50°

K

D

I

H G

E

60°

G F

H E

M

x

x

D

C

B

A

AMC



ABD ADC AEF

Bài 9 Cho tam giác đều Trên cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho

Chứng minh tam giác đều

Bài 10 Cho tam giác cân tại Tia phân giác góc cắt cạnh tại , tia phân giác

góc cắt cạnh tại Chứng minh tam giác cân

Bài 11 Cho tam giác cân tại Trên tia đối của tia lấy điểm , trên tia đối của tia

lấy điểm sao cho Chứng minh tam giác cân

Bài 12 Cho = 120°, điểm thuộc tia phân giác của Kẻ ( ) và

( ) Tam giác là tam giác gì? Tại sao?

Bài 13 Cho tam giác cân tại ( < 90°) Kẻ vuông góc với tại , kẻ

vuông góc với tại

a) Chứng minh tam giác cân

b) Chứng minh

c) Gọi là giao điểm của và Chứng minh

d) Chứng minh

Bài 14 Cho tam giác cân tại Lấy điểm trên cạnh Trên tia đối của

tia lấy điểm sao cho Đường thẳng qua vuông góc với cắt tại Đường thẳng qua vuông góc cắt tại

a) Chứng minh:

b) Qua kẻ ( ) Chứng minh

c) cắt tại Chứng minh

Dạng 2 Vận dụng tính chất của đường trung trực để giải quyết bài toán

I Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó

II Bài toán

Bài 1. Cho hai điểm , nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng , Chứng minh

Bài 2 Cho cân tại Lấy điểm đối xứng với điểm qua Chứng minh

Bài 3 Tam giác vuông tại có Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho

Tính số đo góc

Bài 4. Cho góc vuông Điểm nằm trong góc đó Vẽ điểm và sao cho tia là

đường trung trực của và là đường trung trực của

a) Chứng minh

b) Chứng minh ba điểm , , thẳng hàng

ADE

//

EM FN=

ON =OP

Bài 5 Cho vuông tại Đường trung trực của đoạn thẳng cắt tại , cắt

tại Nối và

a) So sánh số đo góc và

b) Chứng minh là trung điểm của

Bài 6 Cho Các đường trung trực của và cắt cạnh theo thứ tự ở và

a) Biết , Tính số đo góc và

b) Chứng minh =

Bài 7 Cho góc vuông Trên các tia , lấy hai điểm và (không trùng với )

Đường trung trực của các đoạn thẳng và cắt nhau ở Chứng minh:

a) , , thẳng hàng

b) là trung điểm của

Bài 8 có = 30° Đường trung trực của cắt ở

a) Chứng minh

b) Tính số đo góc

c) Biết , Tính chu vi tam giác

Dạng 3 Chứng minh một điểm thuộc đường trung trực Chứng minh một đường thẳng

là đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 1. Cho đoạn thẳng Vẽ đường tròn tâm bán kính và đường tròn tâm

bán kính Hai đường tròn này cắt nhau tại , Chứng minh:

a) Điểm thuộc đường trung trực của

b) là đường trung trực của

Bài 2. Cho đoạn thẳng Dựng các tam giác cân , lần lượt tại và ( ,

nằm khác phía so với ) Chứng minh:

a) Điểm thuộc đường trung trực của ;

b) là đường trung trực của

Bài 3. Cho , đường phân giác Trên tia lấy điểm sao cho Chứng

minh:

a) ;

b) là đường trung trực của

Bài 4. Cho có Lấy điểm nằm trong tam giác sao cho Kẻ

vuông góc với ( ), vuông góc với ( ) Chứng minh:

a) thuộc đường trung trực của và ;

b) là đường trung trực của và Từ đó suy ra

ABC

ABC

30

MAN 2BAC −180 

ABC

KBC = KCB

ABK

3 cm

5 cm

AB

ABC

F DE

Bài 5. Cho cân tại , là trung điểm của vuông góc với , vuông

góc với Chứng minh:

a) là trung trực của của ;

b) và là trung trực của ;

c)

Bài 6. Cho góc khác góc bẹt là tia phân giác của Gọi là một điểm bất kì

thuộc tia Qua vẽ đường thẳng vuông góc với tại A, cắt tại và vẽ đường thẳng vuông góc với tại , cắt tại Chứng minh:

a) Điểm thuộc đường trung trực của ;

b) là đường trung trực của ;

c) là đường trung trực của

d)

Bài 7. Cho hai điểm , nằm cùng phía với đường thẳng Xác định vị trí điểm trên

đường thẳng sao cho cách đều hai điểm và

Bài 8 Cho tam giác cân tại ( < 90°) Đường trung trực của cạnh cắt tia tại

điểm Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho Chứng minh.:

a) Chứng minh cân;

b) Chứng minh ;

c) Chứng minh ;

d) Lấy là trung điểm của Chứng minh là đường trung trực của

Bài 9 Cho nhọn, đường cao Lấy các điểm và lần lượt đối xứng với qua

;

a) Chứng minh

b) Gọi , lần lượt là giao điểm của với , Chứng minh và

c) Chứng minh là tia phân giác của

d) Cho = 60° Tính số đo góc

Bài 10 Cho tam giác vuông tại Tia phân giác của cắt tại Từ kẻ

vuông góc với tại

a) Chứng minh:

b) Chứng minh là đường trung trực của đoạn thẳng

c) Kẻ Chứng minh là tia phân giác của

Phần III BÀI TẬP TƯƠNG TỰ TỰ GIẢI

ABC

AC

//

//

C AD



DAC= ABC

AD=CE

ABC

Dạng 1 Nhận biết tam giác cân, tam giác đều Vận dụng tính chất của tam giác cân, tam

giác đều để tính số đo góc hoặc chứng minh các góc bằng nhau, các cạnh bằng nhau

Bài 1: Trong các hình sau, hình nào là tam giác cân, hình nào là tam giác đều?

Bài 2 Tìm số đo trong hình vẽ sau:

Bài 3 Cho tam giác vuông cân tại Trên đường thẳng lấy điểm sao cho

( và khác phía so với ) Tính số đo các góc của tam giác Bài 4 Cho cân tại Trên các cạnh , lần lượt lấy , sao cho

a) Chứng minh

b) Gọi là giao điểm của và Chứng minh tam giác cân

Bài 5 Cho = 60°, điểm thuộc tia phân giác của Kẻ ( ) và

( ) Tam giác là tam giác gì? Tại sao?

Bài 6 Cho tam giác vuông tại , là trung điểm cạnh Đường thẳng

vuông góc với tại cắt tại Chứng minh

a) cân b) đều

Bài 7: Cho tam giác vuông tại Tia phân giác góc cắt tại Qua kẻ

đường thẳng vuông góc với tại , cắt tại Trên lấy điểm F sao cho

Chứng minh a) b) là tam giác cân c)

Dạng 2 Vận dụng tính chất của đường trung trực để giải quyết bài toán

Bài 1 Tam giác có điểm thuộc đường trung trực của Biết Tính số đo

40°

70°

J I

K

60°

R

Q

G

F D

E

72°

36°

36°

x

X 70°

S T

ABC

ABM = ACN

EAC

Bài 2 Cho cân có Các đường trung trực của và cắt cạnh theo thứ

tự ở và và hai trung trực cắt nhau ở

a) Biết Tính số đo góc

b) Chứng minh

c) Tính số đo

Bài 3 Cho góc Từ điểm nằm trong góc đó kẻ vuông góc với ( thuộc )

và vuông góc với ( thuộc ) Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho

Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho Chứng minh

Bài 4 Cho vuông tại là trung điểm của cạnh Đường trung trực của cạnh

cắt cạnh tại Gọi là giao điểm của và

a Chứng minh là tam giác cân So sánh: và

b Chứng minh là trung điểm của

c Nếu , tính số đo của

Dạng 3 Chứng minh một điểm thuộc đường trung trực Chứng minh một đường thẳng là đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 1 Cho Trên tia lấy điểm , trên tia lấy điểm Kẻ đường trung trực

của đoạn thẳng ( , ) Chứng minh thuộc đường trung trực của

Bài 2 Cho tam giác có Xác định điểm trên sao cho

Bài 3 Cho bốn điểm , , , tạo thành hình có và như hình vẽ

Giao điểm của và là Từ vẽ vuông góc với cắt cạnh , lần lượt tại , Chứng minh là trung trực của và

Bài 4 Cho tam giác ABC vuông tại A Tia phân giác của cắt AC tại E Từ E kẻ EH vuông

góc với BC tại H

a) Chứng minh:

b) Chứng minh BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH

c) Kẻ Chứng minh AH là tia phân giác của

ABC

110

2BAC=DAE+ 180 

DFE

OB=OC

ABC

ANB

90

OB

N

M

O

D

C B

A

B